Teorema di Thevenin
Ciao ragazzi! Purtroppo non riesco a risolvere questo esercizio..
Mi chiede di misurare la tensione ai capi di R3 usando il teorema di Thevenin nella figura sottostante.
Ho provato cosi:
Se taglio il circuito ai capi di R3, avremo solo una maglia in cui circola corrente. Mi risulta che I = 0,714 A.
A questo punto i miei problemi sono 2:
1) quando devo conoscere Vth (cioè la tensione nel circuito prima dell'inserimento di R3), è possibile che tra i punti A e B vi sia una ddp di -2 Volt? (ho chiamato A e B i capi dove ho tagliato il circuito). A= 4V B = 6V ?? Possibile???
2) quando devo cortocircuitare i generatori e calcolare la resistenza interna totale, devo considerare le reistenze interne dei generatori oppure no perchè sono cortocircuitate?
Vi ringrazio in anticipo per la risposta!
Mi chiede di misurare la tensione ai capi di R3 usando il teorema di Thevenin nella figura sottostante.
Ho provato cosi:
Se taglio il circuito ai capi di R3, avremo solo una maglia in cui circola corrente. Mi risulta che I = 0,714 A.
A questo punto i miei problemi sono 2:
1) quando devo conoscere Vth (cioè la tensione nel circuito prima dell'inserimento di R3), è possibile che tra i punti A e B vi sia una ddp di -2 Volt? (ho chiamato A e B i capi dove ho tagliato il circuito). A= 4V B = 6V ?? Possibile???
2) quando devo cortocircuitare i generatori e calcolare la resistenza interna totale, devo considerare le reistenze interne dei generatori oppure no perchè sono cortocircuitate?
Vi ringrazio in anticipo per la risposta!
Risposte
Le resistenze interne dei generatori si modellano ponendo dei resistori in serie ai generatori stessi.
Riporto nuovamente il circuito:
I resistori \(Rf_i\) modellano le resistenze interne dei generatori \(F_i\).
La tensione \(V_{Th}\) equivalente di Thevenin è quella vista ai terminali A e B quando \(R_3\) non è connesso alla rete.
Secondo il riferimento che ho utilizzato, abbiamo:
\[V_C=F_2\]
Come giustamente hai osservato, abbiamo una sola maglia nella quale scorre corrente quindi sui resistori \(R_{f3}\) , \(R_{f_4}\) e \(R_2\) non scorre corrente (a causa della mancanza di \(R_3\)).
Di conseguenza non vi è neanche caduta di tensione, quindi possiamo corto circutarli.
Troviamo quindi:
\[\begin{split} & V_A =V_C-F_3=F_2-F_3 \\ & V_B=0-F_4=-F_4\end{split}\]
Assumendo che il potenziale di al terminale in A sia maggiore di quello in B, si ha che:
\[\begin{split} V_{Th} &=V_A-V_B \\ & = F_2-F_3+F_4\end{split}\]
Numericamente:
\[V_{Th}=7 \quad \text{[V]}\]
Siccome la \(V_{Th}\) trovata è positiva, l'assunzione precedente è verificata e la polarità di tale tensione è quella precedentemente indicata.
Dobbiamo ora calcolare la resistenza \(R_{Th}\) equivalente della rete.
Per farlo si disattivano tutti i generatori, quindi ogni generatore deve erogare una ddp nulla.
Questo significa corto circuitare ogni generatore.
Il ramo costituito dalla serie \(Rf_1\)-\(R_1\) è sottoposto a tensione nulla, quindi possiamo trascurarlo.
Di conseguenza la \(R_{Th}\) è data dalla serie dei resistori rimanenti:
\[R_{Th}=Rf_3+Rf_4+R_2\]
Numericamente:
\[R_{Th}=7 \quad [\Omega]\]
A questo punto il circuito equivalente di Thevenin è il seguente:
Quindi concludiamo che la tensione \(V_{R_3}\) a cui è sottoposto il resistore \(R_3\) corrisponde a:
\[V_{R_3}=V_{Th}\frac{R_3}{R_{Th}+R_3}\]
Numericamente:
\[V_{R_3}=\frac{28}{11} \quad \text{[V]}\]
Riporto nuovamente il circuito:
I resistori \(Rf_i\) modellano le resistenze interne dei generatori \(F_i\).
La tensione \(V_{Th}\) equivalente di Thevenin è quella vista ai terminali A e B quando \(R_3\) non è connesso alla rete.
Secondo il riferimento che ho utilizzato, abbiamo:
\[V_C=F_2\]
Come giustamente hai osservato, abbiamo una sola maglia nella quale scorre corrente quindi sui resistori \(R_{f3}\) , \(R_{f_4}\) e \(R_2\) non scorre corrente (a causa della mancanza di \(R_3\)).
Di conseguenza non vi è neanche caduta di tensione, quindi possiamo corto circutarli.
Troviamo quindi:
\[\begin{split} & V_A =V_C-F_3=F_2-F_3 \\ & V_B=0-F_4=-F_4\end{split}\]
Assumendo che il potenziale di al terminale in A sia maggiore di quello in B, si ha che:
\[\begin{split} V_{Th} &=V_A-V_B \\ & = F_2-F_3+F_4\end{split}\]
Numericamente:
\[V_{Th}=7 \quad \text{[V]}\]
Siccome la \(V_{Th}\) trovata è positiva, l'assunzione precedente è verificata e la polarità di tale tensione è quella precedentemente indicata.
Dobbiamo ora calcolare la resistenza \(R_{Th}\) equivalente della rete.
Per farlo si disattivano tutti i generatori, quindi ogni generatore deve erogare una ddp nulla.
Questo significa corto circuitare ogni generatore.
Il ramo costituito dalla serie \(Rf_1\)-\(R_1\) è sottoposto a tensione nulla, quindi possiamo trascurarlo.
Di conseguenza la \(R_{Th}\) è data dalla serie dei resistori rimanenti:
\[R_{Th}=Rf_3+Rf_4+R_2\]
Numericamente:
\[R_{Th}=7 \quad [\Omega]\]
A questo punto il circuito equivalente di Thevenin è il seguente:
Quindi concludiamo che la tensione \(V_{R_3}\) a cui è sottoposto il resistore \(R_3\) corrisponde a:
\[V_{R_3}=V_{Th}\frac{R_3}{R_{Th}+R_3}\]
Numericamente:
\[V_{R_3}=\frac{28}{11} \quad \text{[V]}\]
semplice, chiaro, perfetto! Grazie ancora !
Avrei però delle domande di chiarimento:
1) perchè hai inserito un collegamento a terra nel ramo di mezzo? (vicino al generatore F 2) ? voglio dire..
nel disegno non c'è.. perchè si può fare?
2) Hai detto che il potenziale in C è uguale a F 2 giusto? perchè non potrebbe essere uguale a F1? Del resto tra F1 e il punto C non c'è alcuna caduta di potenziale..
3) Quando hai ridisegnato il circuito, hai messo tutte le resistenze interne dei generatori in corrispondenza della faccia a potenziale minore. Perchè non possono trovarsi dopo la faccia a potenziale maggiore?
Avrei però delle domande di chiarimento:
1) perchè hai inserito un collegamento a terra nel ramo di mezzo? (vicino al generatore F 2) ? voglio dire..
nel disegno non c'è.. perchè si può fare?
2) Hai detto che il potenziale in C è uguale a F 2 giusto? perchè non potrebbe essere uguale a F1? Del resto tra F1 e il punto C non c'è alcuna caduta di potenziale..
3) Quando hai ridisegnato il circuito, hai messo tutte le resistenze interne dei generatori in corrispondenza della faccia a potenziale minore. Perchè non possono trovarsi dopo la faccia a potenziale maggiore?
Partiamo domanda più facile da trattare fino ad arrivare a quella un po' più complessa...
Domanda 3)
L'importante è porre il resistore in serie al generatore.
Il fatto che li abbia posti tutti in corrispondenza della faccia a potenziale minore è una coincidenza
Domanda 1/2)
Ho fissato il riferimento in prossimità della faccia a potenziale minore del generatore \(F_2\) in quanto semplifica l'analisi del circuito (un po' come quando in meccanica si cerca di fissare il sistema di riferimento più comodo per risolvere un esercizio).
La scelta di tale riferimento è del tutto arbitraria.
Il nodo di riferimento (chiamiamolo M), detto massa, è un nodo nel quale si assume che il potenziale sia nullo.
Sotto questa ipotesi, troviamo molto semplicemente il valore del potenziale al nodo C in quanto sappiamo che tra esso e il riferimento è presente una differenza di potenziale di valore pari a \(F_2\):
\[\begin{split} & V_C-V_M=F_2 \Rightarrow & V_C=F_2+V_M \Rightarrow \\ & V_C=F_2+0=F_2 \\\end{split}\]
Il valore \(V_C\) non può corrispondere a \(F_1\) in quanto sui resistori \(Rf_1\) e \(R_1\) scorre corrente, quindi sono presenti delle differenze di potenziale ai loro capi.
E' corretto affermare che tra la faccia a potenziale più alto di \(F_1\) e il nodo C non c'è una differenza di potenziale, ma tra la faccia a potenziale più basso e la massa c'è una differenza di potenziale!
Se per caso il potenziale sulla faccia a potenziale più basso fosse X, allora la faccia a potenziale più alto sarebbe \(F_1\)+X, non sarebbe solo \(F_1\).
Comunque possiamo semplicemente determinare il valore di X, in quanto sappiamo che \(F_1\)+X=\(V_C\).
Se questa giustificazione non te gusta, puoi osservare che \(F_2\) è in parallelo al ramo contenente la serie \(F_1\)-\(Rf_1\)-\(R_1\), quindi la ddp sarà fissata dal generatore \(F_2\).
Probabilmente adesso ti avrò confuso un po' le idee, ma tranquillo è normale!
Dopo qualche esercizio si riesce a prendere bene dimestichezza con questi potenziali
Domanda 3)
L'importante è porre il resistore in serie al generatore.
Il fatto che li abbia posti tutti in corrispondenza della faccia a potenziale minore è una coincidenza
Domanda 1/2)
Ho fissato il riferimento in prossimità della faccia a potenziale minore del generatore \(F_2\) in quanto semplifica l'analisi del circuito (un po' come quando in meccanica si cerca di fissare il sistema di riferimento più comodo per risolvere un esercizio).
La scelta di tale riferimento è del tutto arbitraria.
Il nodo di riferimento (chiamiamolo M), detto massa, è un nodo nel quale si assume che il potenziale sia nullo.
Sotto questa ipotesi, troviamo molto semplicemente il valore del potenziale al nodo C in quanto sappiamo che tra esso e il riferimento è presente una differenza di potenziale di valore pari a \(F_2\):
\[\begin{split} & V_C-V_M=F_2 \Rightarrow & V_C=F_2+V_M \Rightarrow \\ & V_C=F_2+0=F_2 \\\end{split}\]
Il valore \(V_C\) non può corrispondere a \(F_1\) in quanto sui resistori \(Rf_1\) e \(R_1\) scorre corrente, quindi sono presenti delle differenze di potenziale ai loro capi.
E' corretto affermare che tra la faccia a potenziale più alto di \(F_1\) e il nodo C non c'è una differenza di potenziale, ma tra la faccia a potenziale più basso e la massa c'è una differenza di potenziale!
Se per caso il potenziale sulla faccia a potenziale più basso fosse X, allora la faccia a potenziale più alto sarebbe \(F_1\)+X, non sarebbe solo \(F_1\).
Comunque possiamo semplicemente determinare il valore di X, in quanto sappiamo che \(F_1\)+X=\(V_C\).
Se questa giustificazione non te gusta, puoi osservare che \(F_2\) è in parallelo al ramo contenente la serie \(F_1\)-\(Rf_1\)-\(R_1\), quindi la ddp sarà fissata dal generatore \(F_2\).
Probabilmente adesso ti avrò confuso un po' le idee, ma tranquillo è normale!
Dopo qualche esercizio si riesce a prendere bene dimestichezza con questi potenziali
Credo di aver capito! Grazie mille
PS: ho visto che studi ingegneria elettronica... per te queste cosine saranno il pane quotidiano! Beato te... veramente bravo!
PS: ho visto che studi ingegneria elettronica... per te queste cosine saranno il pane quotidiano! Beato te... veramente bravo!
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