Teorema di poynting
ciaoho un bel papiro per voi...
ho un dubbio sull'interpretazone del teorema di poynting...
il teorema afferma che:
preso un genrico corpo di volume $V$ di superficie $Sigma_V$
se questo corpo ha densità di carica $rho=(dq)/(dV)$ allora ogni volumetto $dV$ ha carica $dq$.
se nello spazio dove si trova il corpo c'è un campo elettromagnetico, ogni volumetto infinitesimo
risentirà sia di questo ccampo esterno che di quello generato dalle altre parti del corpo.
se $dV$ è pensato come puntiforme, per semplicità, risentirà di una forza $vec F = dq(vec(E) + vec(v)^^vec(B))$. (v è la velocità di dV)
quindi il lavoro elementare che il campo elettromagnetico fa su ogni volumetto è $delta L = dq vec(E) vec(v) dt = rho vec(E) vec(J) dV dt$
la potenza "erogata" dal campo in tutto il corpo è quindi $(delta L)/(dt) = int_V vec(E) vec(J) dV$
con vari calcoli si dimostra che $vec(E) vec(J) = -del/(del t) (1/2 epsilon_0 E^2 + 1/(2 u_0) B^2) - nabla * ((vec(E)^^vec(B))/u_0)$
n
quindi si arriva al teorema di poynting
$(del U)/(del t) = (delta L)/(dt) = - del/(del t) int_V 1/2 epsilon_0 E^2 dV - del/(del t) int_V 1/(2 u_0) B^2 dV - oint_(Sigma_V) vec(S)*hat(n) d sigma$
con $vec(S) = (vec(E)^^vec(B))/u_0$ = vettore di poynting
ok, il mio dubbio riguarda l'interpretazione... cioè non so se riesco a cogliere pienamente il significato.
se $u_e = 1/2 epsilo_0 E^2$ e $u_m = int_V 1/(2 u_0) B^2$ sono le densità di energia del campo elettrico e magnetico dentro il corpo,
allora posso dire che la densità di energia del campo elettromagnetico sarà a somme delle due, cioè $u_(em) = u_e + e_m$ o no?
in tal caso quello che ci vedo scritto è che
1. la potenza che il campo elettromagnetico trasferisce al corpo è $(delta L)/(dt)$, e questa è uguale all'energia, nell'unità di tempo,
che le cariche del corpo ricevono e quindi rappresenta l'energia (cinetica..) che queste possiedono (ammesso che vi sia solo l'interazione con tale campo
elettromagnetico). e questo deriva dal teorema delle forze vive, $(del U)/(del t) = (delta L)/(dt)$ ok?
2. il secondo membro è l'espressione di tale potenza trasferita, e quindi dell'energia (per unità di tempo) di tutto il corpo, in termini di Campo elettromagnetico
3. i primi due integrali, riassunmibili in $- del/(del t) int_V u_(em) dV$ rappresentano la variazione nel tempo dell'energia immagazzinata nel campo
elettromagnetico interno al volume. il fatto che c'è il meno l'ho interpretato col fatto che se tale energia cala allora la derivata è negativa e la potenza
trasferita al corpo aumenta, a parità di flusso di S. cioè che , a parità di flusso di S se nel campo elettromagnetico diminuisce l'energia immagazzinata è
perchè questa viene trasferita alle cariche del corpo sottoforma di energia cinetica... ok? e se invece aumenta vuol dire che l'energia che si sta accumolando
dentro il campo deriva dall'energia delle cariche, ossia dal loro moto.
4. Il 3° termine del secondo membro è il flusso del vettore di poynting. tale termine l'ho interpretato come segue: preso il corpo, questo all'interno ha delle
cariche immerse in un campo elettromagntico, quindi le cariche possiederanno una certa energia meccanica e il campo all'interno avrà associata una
determinata energia elettromagnetica. dal punto 3. segue che le due forme di energia interagiscono, cioè l'na può trasformarsi nell'altra.
se l'energia totale (cioè energia meccanica+ elettromagnetica)aumenta allora il flusso di S è negativo, viceversa è positivo.
questo significa che l'incremento\decremento dell'energia totale dentro il volume V è legata al flusso del vettore di poynting, cioè che l'energia che entra ed
esce è associata al vettore $vec(S)$ e se entra S è entrante nel corpo (flusso <0) se esce S è uscente. posso quindi concludere che il modulo di S è pari
all'intensità di energia che entra\esce per unità di secondo e di superficie ??
6. in che senso $U$ è l'enrgia dissipata per effetto joule? nel senso che poichè U è uguale al lavoro meccanico che il campo elettromagnetico ha fatto sulle
cariche allora tale affermazione deriva dal fatto che il lavoro fatto dal campo sulle cariche è pari a quello necessario per vincere l'attrito e gli urti di queste e
quindi la potenza trasferita è uguale a quella dissipata dentro V per effetto joule (infatti un aumento della temperatura corrisponde ad un incremento
dell'energia meccanica delle particelle del corpo)?
se cosi è, allora si può fare un'altra interpretazione, cioè che se l'energia associata a un campo elettromagnetico in un volume V cambia nel tempo allora tale
energia o è fouriuscita dal volume come onda elettromagnetica (vettore di poynting) oppure è stata dissipata per effetto joule?
grazie
ho un dubbio sull'interpretazone del teorema di poynting...
il teorema afferma che:
preso un genrico corpo di volume $V$ di superficie $Sigma_V$
se questo corpo ha densità di carica $rho=(dq)/(dV)$ allora ogni volumetto $dV$ ha carica $dq$.
se nello spazio dove si trova il corpo c'è un campo elettromagnetico, ogni volumetto infinitesimo
risentirà sia di questo ccampo esterno che di quello generato dalle altre parti del corpo.
se $dV$ è pensato come puntiforme, per semplicità, risentirà di una forza $vec F = dq(vec(E) + vec(v)^^vec(B))$. (v è la velocità di dV)
quindi il lavoro elementare che il campo elettromagnetico fa su ogni volumetto è $delta L = dq vec(E) vec(v) dt = rho vec(E) vec(J) dV dt$
la potenza "erogata" dal campo in tutto il corpo è quindi $(delta L)/(dt) = int_V vec(E) vec(J) dV$
con vari calcoli si dimostra che $vec(E) vec(J) = -del/(del t) (1/2 epsilon_0 E^2 + 1/(2 u_0) B^2) - nabla * ((vec(E)^^vec(B))/u_0)$
n
quindi si arriva al teorema di poynting
$(del U)/(del t) = (delta L)/(dt) = - del/(del t) int_V 1/2 epsilon_0 E^2 dV - del/(del t) int_V 1/(2 u_0) B^2 dV - oint_(Sigma_V) vec(S)*hat(n) d sigma$
con $vec(S) = (vec(E)^^vec(B))/u_0$ = vettore di poynting
ok, il mio dubbio riguarda l'interpretazione... cioè non so se riesco a cogliere pienamente il significato.
se $u_e = 1/2 epsilo_0 E^2$ e $u_m = int_V 1/(2 u_0) B^2$ sono le densità di energia del campo elettrico e magnetico dentro il corpo,
allora posso dire che la densità di energia del campo elettromagnetico sarà a somme delle due, cioè $u_(em) = u_e + e_m$ o no?
in tal caso quello che ci vedo scritto è che
1. la potenza che il campo elettromagnetico trasferisce al corpo è $(delta L)/(dt)$, e questa è uguale all'energia, nell'unità di tempo,
che le cariche del corpo ricevono e quindi rappresenta l'energia (cinetica..) che queste possiedono (ammesso che vi sia solo l'interazione con tale campo
elettromagnetico). e questo deriva dal teorema delle forze vive, $(del U)/(del t) = (delta L)/(dt)$ ok?
2. il secondo membro è l'espressione di tale potenza trasferita, e quindi dell'energia (per unità di tempo) di tutto il corpo, in termini di Campo elettromagnetico
3. i primi due integrali, riassunmibili in $- del/(del t) int_V u_(em) dV$ rappresentano la variazione nel tempo dell'energia immagazzinata nel campo
elettromagnetico interno al volume. il fatto che c'è il meno l'ho interpretato col fatto che se tale energia cala allora la derivata è negativa e la potenza
trasferita al corpo aumenta, a parità di flusso di S. cioè che , a parità di flusso di S se nel campo elettromagnetico diminuisce l'energia immagazzinata è
perchè questa viene trasferita alle cariche del corpo sottoforma di energia cinetica... ok? e se invece aumenta vuol dire che l'energia che si sta accumolando
dentro il campo deriva dall'energia delle cariche, ossia dal loro moto.
4. Il 3° termine del secondo membro è il flusso del vettore di poynting. tale termine l'ho interpretato come segue: preso il corpo, questo all'interno ha delle
cariche immerse in un campo elettromagntico, quindi le cariche possiederanno una certa energia meccanica e il campo all'interno avrà associata una
determinata energia elettromagnetica. dal punto 3. segue che le due forme di energia interagiscono, cioè l'na può trasformarsi nell'altra.
se l'energia totale (cioè energia meccanica+ elettromagnetica)aumenta allora il flusso di S è negativo, viceversa è positivo.
questo significa che l'incremento\decremento dell'energia totale dentro il volume V è legata al flusso del vettore di poynting, cioè che l'energia che entra ed
esce è associata al vettore $vec(S)$ e se entra S è entrante nel corpo (flusso <0) se esce S è uscente. posso quindi concludere che il modulo di S è pari
all'intensità di energia che entra\esce per unità di secondo e di superficie ??
6. in che senso $U$ è l'enrgia dissipata per effetto joule? nel senso che poichè U è uguale al lavoro meccanico che il campo elettromagnetico ha fatto sulle
cariche allora tale affermazione deriva dal fatto che il lavoro fatto dal campo sulle cariche è pari a quello necessario per vincere l'attrito e gli urti di queste e
quindi la potenza trasferita è uguale a quella dissipata dentro V per effetto joule (infatti un aumento della temperatura corrisponde ad un incremento
dell'energia meccanica delle particelle del corpo)?
se cosi è, allora si può fare un'altra interpretazione, cioè che se l'energia associata a un campo elettromagnetico in un volume V cambia nel tempo allora tale
energia o è fouriuscita dal volume come onda elettromagnetica (vettore di poynting) oppure è stata dissipata per effetto joule?
grazie
Risposte
Non vuole essere un messaggio di risposta ai tuoi dubbi questo, volevo solo chiedere se per maggiore chiarezza puoi postare un link ai passaggi che permettono di giungere a quella equazione dell'energia. Questo perchè può essere che vengano fatte delle ipotesi un po' come quelle presenti nel calcolo dell'energia del campo elettrico (integrando anche fuori dal volume in cui si trovano le cariche) per esprimere l'energia di cariche puntiformi distribuite in un certo volume, approssimate con una distribuzione continua di carica, come è spiegato qui:
http://www3.unifi.it/clfisi/upload/sub/docenti/spina/appunti/pdf/capitolo-07.pdf
Potrebbe anche entrare nel volume. è quello che accade ad esempio per una barretta di materiale conduttore che si trova immersa in un campo magnetico uniforme, soggetta alla forza peso, e in grado di scorrere lungo guide prive di attrito che costituiscono con la barra un circuito chiuso, anche queste di materiale conduttore.
http://www3.unifi.it/clfisi/upload/sub/docenti/spina/appunti/pdf/capitolo-07.pdf
6. in che senso è l'enrgia dissipata per effetto joule? nel senso che poichè U è uguale al lavoro meccanico che il campo elettromagnetico ha fatto sulle
cariche allora tale affermazione deriva dal fatto che il lavoro fatto dal campo sulle cariche è pari a quello necessario per vincere l'attrito e gli urti di queste e
quindi la potenza trasferita è uguale a quella dissipata dentro V per effetto joule (infatti un aumento della temperatura corrisponde ad un incremento
dell'energia meccanica delle particelle del corpo)?
se cosi è, allora si può fare un'altra interpretazione, cioè che se l'energia associata a un campo elettromagnetico in un volume V cambia nel tempo allora tale
energia o è fouriuscita dal volume come onda elettromagnetica (vettore di poynting) oppure è stata dissipata per effetto joule?
Potrebbe anche entrare nel volume. è quello che accade ad esempio per una barretta di materiale conduttore che si trova immersa in un campo magnetico uniforme, soggetta alla forza peso, e in grado di scorrere lungo guide prive di attrito che costituiscono con la barra un circuito chiuso, anche queste di materiale conduttore.
intanto grazie per la risposta!
si, l'approssimazione a cariche puntiforme viene fatta. a mio avviso può essere fatta in due modi equivalenti,
o si considera il volumetto infinitesimo dV approssimabile ad una carica puntiforme oppure si considera il corpo composto da cariche puntiformi, in entrambi i casi i passaggi che ho seguito sono questi:
se dentro V c'è un campo elettromagnetico (dovuto alle cariche del corpo e\o a cariche e correnti esterne) allora
se considero dV ~puntiformi allora su ogni dV agisce una forza $d vec(F) = dq(vec(E) + vec(v)^^vec(B) )$ dovuta al campo, che quindi esercita un lavoro elementare pari a $delta L = dq vec(E) *vec(v) dt$ poichè $dq=rho dV$ si ha $delta L = vec(E) * (rho vec(v)) dV dt$ poichè $vec J := rho vec v$ diventa
$delta L = vec(E)*vec(j) dV dt$
se invece si considera la seconda ipotesi di approssimazione, allora su ogni carica agisce $vec(F) = q(vec(E) + vec(v)^^vec(B))$ quindi il lavoro elementare su ogni carica del campo è $delta L = q vec(E) * vec(v) dt$
se ogni dV contiene n cariche, il lavoro fatto su tale volumetto infinitesimo è $delta L = vec(E)*(n q vec(v)) dV dt = vec(E)*vec(J) dV dt$
il fattore $vec(E)*vec(J)$ è possibile scriverlo completamente in termini del campo elettromagnetico tramite la 4° eq. di Maxwell:
$vec(J) = (vec(nabla)^^vec(B))/u_0 - epsilon_0 (d vec(E))/(dt)$
sostituendo : $vec(E)*vec(J) = vec(E)*(vec(nabla)^^vec(B))/u_0 - epsilon_0 vec(E)*(d vec(E))/(dt)$
dall'identità $vec(nabla)*(v^^u) = (vec(nabla)^^v)*u - v(vec(nabla)^^u)$ si ha
$vec(E)*(vec(nabla)^^B) = (vec(nabla)^^vec(E))*vec(B) - vec(nabla)*(vec(E)^^vec(B))$
poichè $E*(del E)/(del t) = del/(del t) (1/2 E^2)$
$E*J = 1/u_0 (nabla^^E)*B - nabla*((E^^B)/u_0) - del/(del t) (1/2 epsilon_0 E^2)$
poi per la 3° di maxwell $nabla^^E = - del/(del t) B$ sempre contando che $B (del B)/(del t) = del/(del t) (1/2 B^2)$ si ha
$E*J = - del/(del t) (1/(2u_0) B^2) - del/(del t) (1/2 epsilon_0 E^2) - nabla*((E^^B)/u_0)$
quindi
$(delta L)/(d t) = - del/(del t) (1/(2u_0) B^2) dV - del/(del t) (1/2 epsilon_0 E^2)dV - nabla*((E^^B)/u_0)dV$
e integrando su tutto il volume del corpo e applicando il teorema della divergenza per S si ha la formulazione di prima.
quell'energia elettromagnetica è l'energia associata al campo, ma al campo esterno che non sta solo dentro V o sia al campo interno che quello esterno?
per campo interno intendo quello generato dalle cariche interne al volume per esterno quello che c'è su tutto lo spazio generato da chissachi.
secondo me è l'energia del campo elettromagnetico esterno
infatti quell'espressione è derivata dal lavoro del campo interno + esterno in ogni volumetto
solo che in tutto il volume il lavoro totale del campo interno è nullo per il terzo principio della dinamica quindi resta quello del campo che viene dall'esterno e questo spiegherebbe quell'espressione dell'energia del campo elettrico e magnetico che vale per il campo di una distribuzione di carica nelo spazio...
temo di non aver capito
"sonoqui_":
Non vuole essere un messaggio di risposta ai tuoi dubbi questo, volevo solo chiedere se per maggiore chiarezza puoi postare un link ai passaggi che permettono di giungere a quella equazione dell'energia. Questo perchè può essere che vengano fatte delle ipotesi un po' come quelle presenti nel calcolo dell'energia del campo elettrico (integrando anche fuori dal volume in cui si trovano le cariche) per esprimere l'energia di cariche puntiformi distribuite in un certo volume, approssimate con una distribuzione continua di carica
si, l'approssimazione a cariche puntiforme viene fatta. a mio avviso può essere fatta in due modi equivalenti,
o si considera il volumetto infinitesimo dV approssimabile ad una carica puntiforme oppure si considera il corpo composto da cariche puntiformi, in entrambi i casi i passaggi che ho seguito sono questi:
se dentro V c'è un campo elettromagnetico (dovuto alle cariche del corpo e\o a cariche e correnti esterne) allora
se considero dV ~puntiformi allora su ogni dV agisce una forza $d vec(F) = dq(vec(E) + vec(v)^^vec(B) )$ dovuta al campo, che quindi esercita un lavoro elementare pari a $delta L = dq vec(E) *vec(v) dt$ poichè $dq=rho dV$ si ha $delta L = vec(E) * (rho vec(v)) dV dt$ poichè $vec J := rho vec v$ diventa
$delta L = vec(E)*vec(j) dV dt$
se invece si considera la seconda ipotesi di approssimazione, allora su ogni carica agisce $vec(F) = q(vec(E) + vec(v)^^vec(B))$ quindi il lavoro elementare su ogni carica del campo è $delta L = q vec(E) * vec(v) dt$
se ogni dV contiene n cariche, il lavoro fatto su tale volumetto infinitesimo è $delta L = vec(E)*(n q vec(v)) dV dt = vec(E)*vec(J) dV dt$
il fattore $vec(E)*vec(J)$ è possibile scriverlo completamente in termini del campo elettromagnetico tramite la 4° eq. di Maxwell:
$vec(J) = (vec(nabla)^^vec(B))/u_0 - epsilon_0 (d vec(E))/(dt)$
sostituendo : $vec(E)*vec(J) = vec(E)*(vec(nabla)^^vec(B))/u_0 - epsilon_0 vec(E)*(d vec(E))/(dt)$
dall'identità $vec(nabla)*(v^^u) = (vec(nabla)^^v)*u - v(vec(nabla)^^u)$ si ha
$vec(E)*(vec(nabla)^^B) = (vec(nabla)^^vec(E))*vec(B) - vec(nabla)*(vec(E)^^vec(B))$
poichè $E*(del E)/(del t) = del/(del t) (1/2 E^2)$
$E*J = 1/u_0 (nabla^^E)*B - nabla*((E^^B)/u_0) - del/(del t) (1/2 epsilon_0 E^2)$
poi per la 3° di maxwell $nabla^^E = - del/(del t) B$ sempre contando che $B (del B)/(del t) = del/(del t) (1/2 B^2)$ si ha
$E*J = - del/(del t) (1/(2u_0) B^2) - del/(del t) (1/2 epsilon_0 E^2) - nabla*((E^^B)/u_0)$
quindi
$(delta L)/(d t) = - del/(del t) (1/(2u_0) B^2) dV - del/(del t) (1/2 epsilon_0 E^2)dV - nabla*((E^^B)/u_0)dV$
e integrando su tutto il volume del corpo e applicando il teorema della divergenza per S si ha la formulazione di prima.
quell'energia elettromagnetica è l'energia associata al campo, ma al campo esterno che non sta solo dentro V o sia al campo interno che quello esterno?
per campo interno intendo quello generato dalle cariche interne al volume per esterno quello che c'è su tutto lo spazio generato da chissachi.
secondo me è l'energia del campo elettromagnetico esterno
infatti quell'espressione è derivata dal lavoro del campo interno + esterno in ogni volumetto
solo che in tutto il volume il lavoro totale del campo interno è nullo per il terzo principio della dinamica quindi resta quello del campo che viene dall'esterno e questo spiegherebbe quell'espressione dell'energia del campo elettrico e magnetico che vale per il campo di una distribuzione di carica nelo spazio...
Potrebbe anche entrare nel volume. è quello che accade ad esempio per una barretta di materiale conduttore che si trova immersa in un campo magnetico uniforme, soggetta alla forza peso, e in grado di scorrere lungo guide prive di attrito che costituiscono con la barra un circuito chiuso, anche queste di materiale conduttore.
temo di non aver capito
Interessante come argomento. Si in effetti il volume in questo caso è proprio quello in cui sono presenti le cariche.
Nelle equazioni di Maxwell non mi sembra che si faccia distinzione tra campo elettrico o magnetico interno ed esterno, ci sono solo campo elettrico e magnetico nello spazio in funzione del tempo.
Tra l'altro non so quanto sia giusta questa tua distinzione. Per quanto riguarda delle cariche fisse nello spazio o delle correnti fissate nello spazio mi risulta corretto applicare la sovrapposizione, ricavando il campo elettrico come somma di quello prodotto dalle singole cariche o il campo magnetico come somma di quelli prodotti dalle singole correnti fissate. Andrebbe visto nel problema genereico costituito dalle equazioni di Maxwell, forza di Lorentz, relazioni costitutive, se e come si possono sovrapporre soluzioni per ricavare la soluzione effettiva al problema.
Volevo dire che variazione dell'energia elettromagnetica può significare riduzione o incremento.
"cyd":
intanto grazie per la risposta!
quell'energia elettromagnetica è l'energia associata al campo, ma al campo esterno che non sta solo dentro V o sia al campo interno che quello esterno?
per campo interno intendo quello generato dalle cariche interne al volume per esterno quello che c'è su tutto lo spazio generato da chissachi.
secondo me è l'energia del campo elettromagnetico esterno
infatti quell'espressione è derivata dal lavoro del campo interno + esterno in ogni volumetto
solo che in tutto il volume il lavoro totale del campo interno è nullo per il terzo principio della dinamica quindi resta quello del campo che viene dall'esterno e questo spiegherebbe quell'espressione dell'energia del campo elettrico e magnetico che vale per il campo di una distribuzione di carica nelo spazio...
Nelle equazioni di Maxwell non mi sembra che si faccia distinzione tra campo elettrico o magnetico interno ed esterno, ci sono solo campo elettrico e magnetico nello spazio in funzione del tempo.
Tra l'altro non so quanto sia giusta questa tua distinzione. Per quanto riguarda delle cariche fisse nello spazio o delle correnti fissate nello spazio mi risulta corretto applicare la sovrapposizione, ricavando il campo elettrico come somma di quello prodotto dalle singole cariche o il campo magnetico come somma di quelli prodotti dalle singole correnti fissate. Andrebbe visto nel problema genereico costituito dalle equazioni di Maxwell, forza di Lorentz, relazioni costitutive, se e come si possono sovrapporre soluzioni per ricavare la soluzione effettiva al problema.
"cyd":Potrebbe anche entrare nel volume. è quello che accade ad esempio per una barretta di materiale conduttore che si trova immersa in un campo magnetico uniforme, soggetta alla forza peso, e in grado di scorrere lungo guide prive di attrito che costituiscono con la barra un circuito chiuso, anche queste di materiale conduttore.
temo di non aver capito
Volevo dire che variazione dell'energia elettromagnetica può significare riduzione o incremento.
"cyd":
quell'energia elettromagnetica è l'energia associata al campo, ma al campo esterno che non sta solo dentro V o sia al campo interno che quello esterno?
per campo interno intendo quello generato dalle cariche interne al volume per esterno quello che c'è su tutto lo spazio generato da chissachi.
Beh, scusa, come fai a distinguere?
Il teorema di Poynting, diciamo in forma locale, riguarda quello che succede nello spazio in un punto. Se in quel punto arriva anche il campo generato dall'esterno, anche lui rientra nell'espressione. Infatti, le correnti all'interno del corpo sono influenzate da _tutto_ il campo elettromagnetico.
solo che in tutto il volume il lavoro totale del campo interno è nullo per il terzo principio della dinamica
Non mi torna: allora come fa un dipolo ad irraggiare? Il campo viene tutto generato da correnti in un volume limitato, ma l'energia irraggiata porta via parte del lavoro prodotto.
Se consideri per esempio il caso tipico dell' "atomo di idrogeno classico" (cioe' senza MQ), hai un sistema (isolato) di due corpi, ciononostante parte dell'energia viene irraggiata (e l'atomo non sarebbe stabile: esercizio standard di Fisica II era calcolare il tempo di caduta): di questa parte tiene conto il termine del vettore di Poynting.
quindi resta quello del campo che viene dall'esterno e questo spiegherebbe quell'espressione dell'energia del campo elettrico e magnetico che vale per il campo di una distribuzione di carica nelo spazio...
Questo non l'ho proprio capito, purtroppo...
Devo ancora rivedere bene il Teorema di Poynting.
Comunque, molto semplicemente, come un qualsiasi bilancio
di energia, mi sembra che indichi che l'energia varia:
-per produzione (positiva o negativa) interna: in questo caso il termine è negativo, ed indica la trasformazione
di energia elettromagnetica in altre forme.
-per trasferimento da/a l'esterno, e questo è
dato dal termine di flusso del vettore di Poynting, che indica
l'energia entrante/uscente come energia dell'onda elettromagnetica.
Comunque, molto semplicemente, come un qualsiasi bilancio
di energia, mi sembra che indichi che l'energia varia:
-per produzione (positiva o negativa) interna: in questo caso il termine è negativo, ed indica la trasformazione
di energia elettromagnetica in altre forme.
-per trasferimento da/a l'esterno, e questo è
dato dal termine di flusso del vettore di Poynting, che indica
l'energia entrante/uscente come energia dell'onda elettromagnetica.
"orazioster":
-per trasferimento da/a l'esterno, e questo è
dato dal termine di flusso del vettore di Poynting, che indica
l'energia entrante/uscente come energia dell'onda elettromagnetica.
Per quanto riguarda questo, un ulteriore spunto utile di studio e' la relazione del vettore di Poynting con la pressione di radiazione.
"sonoqui_":
Nelle equazioni di Maxwell non mi sembra che si faccia distinzione tra campo elettrico o magnetico interno ed esterno, ci sono solo campo elettrico e magnetico nello spazio in funzione del tempo.
Tra l'altro non so quanto sia giusta questa tua distinzione. Per quanto riguarda delle cariche fisse nello spazio o delle correnti fissate nello spazio mi risulta corretto applicare la sovrapposizione, ricavando il campo elettrico come somma di quello prodotto dalle singole cariche o il campo magnetico come somma di quelli prodotti dalle singole correnti fissate. Andrebbe visto nel problema genereico costituito dalle equazioni di Maxwell, forza di Lorentz, relazioni costitutive, se e come si possono sovrapporre soluzioni per ricavare la soluzione effettiva al problema.
yoshiharu:
Beh, scusa, come fai a distinguere?
si, era una distinzione fittizia. comunque rileggendo mi sono reso conto dell'assurdità di tali affermazioni (lapsus sul lavoro delle forze interne),
"yoshiharu":
Questo non l'ho proprio capito, purtroppo...
a parte lo sfaso di prima che mi ha buttato fuori strada, la radice di ciò era la seguente.
per trovare l'energia associata al campo elettrico generato da una configurazione di cariche ho considerato il lavoro necessario per costruirla e sono arrivato alla espresione (dove T=volume considerato e $S_V$ è la superficie che racchiude tale volume) $U = L_(ext) = 1/2 epsilon_0 int_(S_T) Vvec(E)*hat(n) dS + 1/2 epsilon_0 int_T E^2 dT$
poi considerando come volume tutto lo spazio il primo termine tendeva a zero e restava l'espressione $U=int 1/2 epsilon_0 vec(E)*vec(E) dT$
se io considero in uno spazio vuoto un volume V contenente delle cariche e una distribuzione di cariche esterna al volume allora il campo nello spazio per il principio di sovrapposizione è la somma del campo generato dalla distribuzione intrna al volume e da quella esterna. questo è vero anche in una regione coincidente con V.
se io considero l'energia del campo elettrico generato dalla distribuzione interna al volume nel volume stesso ho$ U_1 = L_(ext) = 1/2 epsilon_0 int_(S_V) Phi vec(E_1)*hat(n) dS + 1/2 epsilon_0 int_V E_1^2 dV$ poi estendendola a tutto lo spazio resta solo il secondo termine. il problema è che se io mi limito all'interno del volume V in teoria l'energia dovrebbe essere data dalla prima espressione. (probabilmente sto facendo un errore concettuale) e non capisco come, se eliminata la distribuzione di carica esterna, nella relazione di poynting compare il termine $1/2 epsilon_0 int_V E_1^2 dV$ e non $1/2 epsilon_0 int_(S_V) Phi vec(E_1)*hat(n) dS $. tutto qui ( forse la prima espressione dell'energia sarebbe valida se tutto il campo fosse concentrato in un volume V, quindi comparirebbe quel termine nel teorema di poynting se il campo generato dalla distribuzione interna non si estendesse in tutto lo spazio ma solo in tale volume?)
"sonoqui_":ah, ok questo è pacifico!
Volevo dire che variazione dell'energia elettromagnetica può significare riduzione o incremento.
"orazioster":il significato generale penso che mi sia chiaro (ho scritto questo post appunto per essere sicuro della correttezza della mia lettura), è sui termini che ho qualche astruso dubbio
Comunque, molto semplicemente, come un qualsiasi bilancio
di energia, mi sembra che indichi che l'energia varia:
-per produzione (positiva o negativa) interna: in questo caso il termine è negativo, ed indica la trasformazione
di energia elettromagnetica in altre forme.
-per trasferimento da/a l'esterno, e questo è
dato dal termine di flusso del vettore di Poynting, che indica
l'energia entrante/uscente come energia dell'onda elettromagnetica.
Mi viene ora in mente:
come è contata la produzione positiva di energia elettrostatica mediante una f.e.m.?
In quel caso, mi chiedo se si consideri $vecJ$ (intendendo una migrazione di cariche)come discorde dal campo elettrostatico.
come è contata la produzione positiva di energia elettrostatica mediante una f.e.m.?
In quel caso, mi chiedo se si consideri $vecJ$ (intendendo una migrazione di cariche)come discorde dal campo elettrostatico.
"orazioster":non ho capito la domanda
come è contata la produzione positiva di energia elettrostatica mediante una f.e.m.?
Quella è l'espressione dell'energia elettrostatica, cioè il lavoro prodotto da forze esterne per portare le cariche dall'infinito fino alla configurazione data.
Nei passaggi che hai postato si fa riferimento alla potenza che istantaneamente le forze dipendenti da campo elettrico e magnetico producono sulle cariche in moto.
Nell'esempio della barretta conduttrice che scorre su guide a formare un circuito, soggetta a forza peso e immersa in un campo magnetico secondo me è interessante notare come lo spazio contenga, in teoria, energia elettromagnetica che viene dissipata nel circuito per effetto Joule. Tra l'altro se la barretta incrementa la sua velocità si ha un aumento della corrente che circola nel circuito e un incremento dell'energia elettromagnetica accumulata nello spazio esterno al circuito e proveniente dallo spazio all'infinito.
Sono convinto che su testi specifici si possa trovare spiegato in maniera più completa. A questo link si possono trovare i passaggi che permettono di ottenere la legge di Biot Savart dalle equazioni di Maxwell
http://www.electroyou.it/edmonddantes/wiki/elettromagnetismo
Nei passaggi che hai postato si fa riferimento alla potenza che istantaneamente le forze dipendenti da campo elettrico e magnetico producono sulle cariche in moto.
Nell'esempio della barretta conduttrice che scorre su guide a formare un circuito, soggetta a forza peso e immersa in un campo magnetico secondo me è interessante notare come lo spazio contenga, in teoria, energia elettromagnetica che viene dissipata nel circuito per effetto Joule. Tra l'altro se la barretta incrementa la sua velocità si ha un aumento della corrente che circola nel circuito e un incremento dell'energia elettromagnetica accumulata nello spazio esterno al circuito e proveniente dallo spazio all'infinito.
Sono convinto che su testi specifici si possa trovare spiegato in maniera più completa. A questo link si possono trovare i passaggi che permettono di ottenere la legge di Biot Savart dalle equazioni di Maxwell
http://www.electroyou.it/edmonddantes/wiki/elettromagnetismo
"cyd":non ho capito la domanda
[quote="orazioster"]
come è contata la produzione positiva di energia elettrostatica mediante una f.e.m.?
[/quote]Ho trovato la soluzione al mio dubbio.
Io intendevo dire che un generatore di f.e.m. produce energia, e di questo si dovrebbe tenere conto nel bilancio.
Infatti, grazie ai miei ricordi di Chimica, vidi che effettivamente
la "corrente" DENTRO il generatore è considerata tale che $\vecE*\vecJ$ sia negativo. Infatti
le cariche si muovono facendo un lavoro CONTRO le forze del campo.
Così il termine $-\vecE*\vecJ$ è positivo per il generatore.
Dal punto di vista energetico quindi la fem prodotta da una batteria è sostanzialmente diversa rispetto ad una fem prodotta per effetto della forza di Lorentz.
ora ci penso.
In una batteria chimica è l'energia chimica appunto ad
essere trasformata in energia elettromagnetica.
Invece il campo elettrico di Lorentz è un effettivo campo elettrico.
In una batteria chimica è l'energia chimica appunto ad
essere trasformata in energia elettromagnetica.
Invece il campo elettrico di Lorentz è un effettivo campo elettrico.
Si, si tratta di un effettivo campo elettrico. Quello che mi suona strano è l'origine dell'energia elettromagnetica nell'esempio della barretta che, sottoposta alla forza peso, cade e per mezzo della forza di Lorentz si genera una fem nel circuito. Dovrebbe venire dall'infinito questa energia elettromagnetica essendo il campo elettrico in ogni punto legato dalla relazione valida per i materiali conduttori $vecE=sigmavecJ$ (tranne qualche eccezione) ed essendo la corrente uniforme (diciamo che lo sia), ma sta di fatto che se non ci fosse la forza peso a compiere lavoro la barretta lasciata ferma rimarrebbe ferma, o se non ci fosse il campo magnetico non ci sarebbe corrente che scorre nel circuito.
Stavo pensando proprio al caso che dici!
considera ipoteticamente la barretta con una velocità iniziale $v_0$ ed in una regione dove non c'è campo di induzione magnetica.
Poi la barretta "entra" in una zona dove è presente un campo ortogonale alla velocità ed alla lunghezza della barretta.
Che il campo sia uniforme ora non importa.
si manifesta la forza di Lorentz -quindi una corrente nella barretta, una separazione di cariche contro il campo elettrostatico.
se consideri il versi di questa corrente, vedrai che sulle cariche in moto si manifesta anche una altra componente di Forza di Lorentz -tale che
vi sia una forza DISCORDE dalla velocità di traslazione della barretta.
Inoltre c'è da dire che, se considero il campo costante, la corrente indotta nella barretta in moto genera un flusso magnetico variabile nel tempo (dunque una f..e.m. indotta) nel circuito da cui dipende il campo di induzione magnetica sulla barretta -una f.e.m. tale
da opporsi alla separazione delle cariche. Dunque per mantenere la corrente nel circuito induttore sulla barretta, serve maggiore
lavoro del generatore di f.e.m.del circuito.
All'equilibrio, quando cioè il campo elettrostatico nella barretta avrà equilibrato il campo indotto di Lorentz, la
energia elettrostatica nella barretta sarà stata ottenuta a spese della sua energia cinetica e dell'energia del generatore di f.e.m. .
considera ipoteticamente la barretta con una velocità iniziale $v_0$ ed in una regione dove non c'è campo di induzione magnetica.
Poi la barretta "entra" in una zona dove è presente un campo ortogonale alla velocità ed alla lunghezza della barretta.
Che il campo sia uniforme ora non importa.
si manifesta la forza di Lorentz -quindi una corrente nella barretta, una separazione di cariche contro il campo elettrostatico.
se consideri il versi di questa corrente, vedrai che sulle cariche in moto si manifesta anche una altra componente di Forza di Lorentz -tale che
vi sia una forza DISCORDE dalla velocità di traslazione della barretta.
Inoltre c'è da dire che, se considero il campo costante, la corrente indotta nella barretta in moto genera un flusso magnetico variabile nel tempo (dunque una f..e.m. indotta) nel circuito da cui dipende il campo di induzione magnetica sulla barretta -una f.e.m. tale
da opporsi alla separazione delle cariche. Dunque per mantenere la corrente nel circuito induttore sulla barretta, serve maggiore
lavoro del generatore di f.e.m.del circuito.
All'equilibrio, quando cioè il campo elettrostatico nella barretta avrà equilibrato il campo indotto di Lorentz, la
energia elettrostatica nella barretta sarà stata ottenuta a spese della sua energia cinetica e dell'energia del generatore di f.e.m. .
"orazioster":
se consideri il versi di questa corrente, vedrai che sulle cariche in moto si manifesta anche una altra componente di Forza di Lorentz -tale che
vi sia una forza DISCORDE dalla velocità di traslazione della barretta.
Si, la forza di Lorentz può avere anche componente parallela alla velocità nel momento in cui la velocità media in un punto delle cariche diventa diversa rispetto a quella della barretta, non c'avevo pensato. Questo porterà, durante il moto delle cariche rispetto alla barretta, ad un accumulo di carica positiva nella zona del conduttore (in cui le cariche di conduzione sono negative) nel verso opposto del moto e un accumulo di cariche negative nella zona nel verso del moto. Se fossero raggiunte delle condizioni stazionarie di corrente costente che circola nella barretta, come per esempio avviene se questa si trova collegata a delle guide conduttrici a formare una spira con lato mobile in particolari condizioni di campo magnetico e di velocità della barretta, queste distribuzioni di cariche dovrebbero far si che le cariche di conduzione rispettino il vincolo di rimanere all'interno del conduttore, amesso che questo sia possibile.
Su come siano distribuite le cariche avrei dei dubbi. Non so se sia una distribuzione che si concentra sulle superfici del conduttore, negativa sulla parte di superficie nel verso del moto e positiva in quella opposta, o piuttosto una distribuzione di cariche volumetrica, o un passaggio tra le due.
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