Teorema di Noether in Meccanica Analitica
Evidentemente sono tonto.
Il professore ha spiegato per ben due volte questo teorema, ma tutto ciò che sono riuscito a capire è soltanto: questo teorema ci dice che esistono "k" integrali primi del moto. Null'altro.
Qualcuno sa spiegarmi come si ricavano, tramite questo teorema, tali quantità conservate?
Il professore ha spiegato per ben due volte questo teorema, ma tutto ciò che sono riuscito a capire è soltanto: questo teorema ci dice che esistono "k" integrali primi del moto. Null'altro.
Qualcuno sa spiegarmi come si ricavano, tramite questo teorema, tali quantità conservate?
Risposte
"giuliofis":
ma tutto ciò che sono riuscito a capire è soltanto: questo teorema ci dice che esistono "k" integrali primi del moto. Null'altro.
Sì, però dovresti almeno aver capito cosa è k...puoi scriverlo per favore?
"mathbells":
[quote="giuliofis"]ma tutto ciò che sono riuscito a capire è soltanto: questo teorema ci dice che esistono "k" integrali primi del moto. Null'altro.
Sì, però dovresti almeno aver capito cosa è k...puoi scriverlo per favore?
[/quote]Ho preso una lettera a caso per indicare un numero... Tutto quello che ho capito è che esistono un certo numero di integrali primi...
Nessuno?
"giuliofis":
questo teorema ci dice che esistono "k" integrali primi del moto
Come avrai notato studiando il teorema, la tesi del teorema di Noether non è proprio data in questa forma, nel senso che non stabilisce nessun numero particolare di costanti del moto, ma collega l'esistenza delle costanti alle trasformazioni di coordinate che causano alcune particolari trasformazioni della lagrangiana. Il teorema di Noether può essere enunciato così (non è la formulazione più generale, ma aiuta a capire meglio...:
Considera un sistema di lagrangiana \(\displaystyle L(\dot{ \vec q}, \vec q) \). Se riesci a trovare una trasformazione infinitesima di coordinate, dipendente dal parametro \(\displaystyle \epsilon \), della forma
\(\displaystyle q_{i}'=q_{i}+\epsilon f_{i}(\vec q,\dot{ \vec q},t) \) con \(\displaystyle i=1,...,n \) (e dove le \(\displaystyle f_{i} \) sono funzioni qualsiasi delle coordinate generalizzate, delle velocità generalizzate e del tempo)
tale che la corrispondente variazione infinitesima della lagrangiana si può scrivere come:
\(\displaystyle \delta L = \epsilon \dot F (\vec q,\dot {\vec q},t) \)
allora esiste una costante del moto che è data dalla formula:
\(\displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{\partial L}{\partial \dot q_{i}}f_{i} -F \)
Come esempio, possiamo prendere la lagrangiana di una particella collegata ad una molla che si muove su un piano (invece di \(\displaystyle q_{1} \) e \(\displaystyle q_{2} \), prendo le coordinate cartesiane come coordinate lagrangiane così mi si semplifica la notazione):
\(\displaystyle L=\frac{1}{2}m({\dot x}^2+{\dot y}^2)+\frac{1}{2}k(x^2+y^2) \)
Come trasformazione infinitesima, consideriamo la rotazione infinitesima di un angolo \(\displaystyle \epsilon \) :
\(\displaystyle X=x-\epsilon y \)
\(\displaystyle Y=\epsilon x + y \)
Per questa trasformazione, le funzioni\(\displaystyle f_{i} \)del teorema sono:
\(\displaystyle f_{1}=-y\)
\(\displaystyle f_{2}=x \)
Ora calcoliamo la variazione della lagrangiana:
\(\displaystyle \delta L= \frac{\partial L}{\partial \dot x}\delta \dot x + \frac{\partial L}{\partial \dot y}\delta \dot y +\frac{\partial L}{\partial x}\delta x + \frac{\partial L}{\partial y}\delta y = -m\dot x \dot y \epsilon +m\dot y \dot x \epsilon -kxy\epsilon +kyx\epsilon =0 \)
La variazione è nulla e quindi possiamo prendere come funzione F una qualsiasi funzione che abbia derivata totale rispetto al tempo nulla; per semplicità possiamo prendere F=0.
Ora possiamo finalmente scrivere la nostra costante del moto:
\(\displaystyle C=\frac{\partial L}{\partial \dot x}f_{1} + \frac{\partial L}{\partial \dot y}f_{2} - F = -m\dot x y +m\dot y x \)
Come puoi verificare facilmente, questa costante non è altro che il momento angolare del sistema calcolato rispetto all'origine delle coordinate (cioè l'estremo fisso della molla).
Quante e quali costanti del moto trovi, dipende quindi (ovviamente) da come è fatta la lagrangiana, in particolare da quante trasformazioni di coordinate riesci a trovare che generano il tipo di variazione della lagrangiana indicato dal teorema.
"mathbells":
[quote="giuliofis"]questo teorema ci dice che esistono "k" integrali primi del moto
Come avrai notato studiando il teorema, la tesi del teorema di Noether non è proprio data in questa forma, nel senso che non stabilisce nessun numero particolare di costanti del moto, ma collega l'esistenza delle costanti alle trasformazioni di coordinate che causano alcune particolari trasformazioni della lagrangiana. Il teorema di Noether può essere enunciato così (non è la formulazione più generale, ma aiuta a capire meglio...:
Considera un sistema di lagrangiana \(\displaystyle L(\dot{ \vec q}, \vec q) \). Se riesci a trovare una trasformazione infinitesima di coordinate, dipendente dal parametro \(\displaystyle \epsilon \), della forma
\(\displaystyle q_{i}'=q_{i}+\epsilon f_{i}(\vec q,\dot{ \vec q},t) \) con \(\displaystyle i=1,...,n \) (e dove le \(\displaystyle f_{i} \) sono funzioni qualsiasi delle coordinate generalizzate, delle velocità generalizzate e del tempo)
tale che la corrispondente variazione infinitesima della lagrangiana si può scrivere come:
\(\displaystyle \delta L = \epsilon \dot F (\vec q,\dot {\vec q},t) \)
allora esiste una costante del moto che è data dalla formula:
\(\displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{\partial L}{\partial \dot q_{i}}f_{i} -F \)
Come esempio, possiamo prendere la lagrangiana di una particella collegata ad una molla che si muove su un piano (invece di \(\displaystyle q_{1} \) e \(\displaystyle q_{2} \), prendo le coordinate cartesiane come coordinate lagrangiane così mi si semplifica la notazione):
\(\displaystyle L=\frac{1}{2}m({\dot x}^2+{\dot y}^2)+\frac{1}{2}k(x^2+y^2) \)
Come trasformazione infinitesima, consideriamo la rotazione infinitesima di un angolo \(\displaystyle \epsilon \) :
\(\displaystyle X=x-\epsilon y \)
\(\displaystyle Y=\epsilon x + y \)
Per questa trasformazione, le funzioni\(\displaystyle f_{i} \)del teorema sono:
\(\displaystyle f_{1}=-y\)
\(\displaystyle f_{2}=x \)
Ora calcoliamo la variazione della lagrangiana:
\(\displaystyle \delta L= \frac{\partial L}{\partial \dot x}\delta \dot x + \frac{\partial L}{\partial \dot y}\delta \dot y +\frac{\partial L}{\partial x}\delta x + \frac{\partial L}{\partial y}\delta y = -m\dot x \dot y \epsilon +m\dot y \dot x \epsilon -kxy\epsilon +kyx\epsilon =0 \)
La variazione è nulla e quindi possiamo prendere come funzione F una qualsiasi funzione che abbia derivata totale rispetto al tempo nulla; per semplicità possiamo prendere F=0.
Ora possiamo finalmente scrivere la nostra costante del moto:
\(\displaystyle C=\frac{\partial L}{\partial \dot x}f_{1} + \frac{\partial L}{\partial \dot y}f_{2} - F = -m\dot x y +m\dot y x \)
Come puoi verificare facilmente, questa costante non è altro che il momento angolare del sistema calcolato rispetto all'origine delle coordinate (cioè l'estremo fisso della molla).
Quante e quali costanti del moto trovi, dipende quindi (ovviamente) da come è fatta la lagrangiana, in particolare da quante trasformazioni di coordinate riesci a trovare che generano il tipo di variazione della lagrangiana indicato dal teorema.[/quote]
Il mio professore si è espresso praticamente nello stesso modo, solo che così l'ho capito!Grazie mille! Il mio prof è un genio, sa veramente tutto, solo che come didatta non è il massimo...
Grazie ancora!
"giuliofis":
Il mio professore si è espresso praticamente nello stesso modo, solo che così l'ho capito!
Bè, forse qualcosina di diverso c'era senno significa che quando ascolti il tuo prof vai in trance o ti ipnotizza
"mathbells":
[quote="giuliofis"]Il mio professore si è espresso praticamente nello stesso modo, solo che così l'ho capito!
Bè, forse qualcosina di diverso c'era senno significa che quando ascolti il tuo prof vai in trance o ti ipnotizza
[/quote]È che il professore va molto veloce nello spiegare, a volte non faccio neanche in tempo a scrivere una frase che è già molto avanti (poiché molte cose le dice a parole e non le scrive...).
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