Teorema di Gauss per il vettore induzione dielettrica
Una sfera dielettrica di raggio R ha una polarizzazione radiale che varia con la distanza dal centro della sfera con la legge P=αr con α costante. Applicando il teorema di Gauss calcolare il campo elettrico nei punti interni ed esterni alla sfera.
1) Il vettore induzione dielettrica $ \vecD=\epsilon_0\vecE+\vecP $. Le sorgenti del campo elettrico all’interno del dielettrico sono rappresentate dalle cariche di polarizzazione (giusto?), la cui distribuzione dipende da $ \vecP $. La dipendenza radiale di questo vettore conferisce al vettore campo una direzione anch’essa radiale e quindi al problema una simmetria sferica. Presa una superficie sferica di raggio $ r
Esplicitando i termini del flusso e sfruttando le simmetrie si giunge alla conclusione $ \vecE=-\frac{\alphar}{\epsilon_0}\hatr $
2) All’esterno della sfera $ \vecD=\epsilon_0\vecE $ ed è ancora $ \Phi(\vecD)=q=0 $. Ripetendo gli stessi argomenti di simmetria di prima otterrei campo nullo.
I miei dubbi sono:
- Non deve esistere un campo esterno che produca la polarizzazione del dielettrico?
- La carica totale di polarizzazione, a quanto so, dovrebbe essere nulla anche nel caso di polarizzazione non uniforme. Se esplicito i contributi di polarizzazione ottengo:
$ \rho_p=-\vec\nabla.\vecP=-\alpha->q_p= \rho_pV= -\alpha4/3\piR^3 $
$ \sigma_p=\vecP.\hatn=\alphaR->q_p= \sigma_pS= \alpha4\piR^3 $
La somma dei due contributi non è nulla. Dove sbaglio? E il fatto che la carica totale contenuta in un’eventuale superficie sferica con $ r>R $ sia non nulla, non dovrebbe comportare una campo non nullo all’esterno della sfera dielettrica?
Grazie
1) Il vettore induzione dielettrica $ \vecD=\epsilon_0\vecE+\vecP $. Le sorgenti del campo elettrico all’interno del dielettrico sono rappresentate dalle cariche di polarizzazione (giusto?), la cui distribuzione dipende da $ \vecP $. La dipendenza radiale di questo vettore conferisce al vettore campo una direzione anch’essa radiale e quindi al problema una simmetria sferica. Presa una superficie sferica di raggio $ r
Esplicitando i termini del flusso e sfruttando le simmetrie si giunge alla conclusione $ \vecE=-\frac{\alphar}{\epsilon_0}\hatr $
2) All’esterno della sfera $ \vecD=\epsilon_0\vecE $ ed è ancora $ \Phi(\vecD)=q=0 $. Ripetendo gli stessi argomenti di simmetria di prima otterrei campo nullo.
I miei dubbi sono:
- Non deve esistere un campo esterno che produca la polarizzazione del dielettrico?
- La carica totale di polarizzazione, a quanto so, dovrebbe essere nulla anche nel caso di polarizzazione non uniforme. Se esplicito i contributi di polarizzazione ottengo:
$ \rho_p=-\vec\nabla.\vecP=-\alpha->q_p= \rho_pV= -\alpha4/3\piR^3 $
$ \sigma_p=\vecP.\hatn=\alphaR->q_p= \sigma_pS= \alpha4\piR^3 $
La somma dei due contributi non è nulla. Dove sbaglio? E il fatto che la carica totale contenuta in un’eventuale superficie sferica con $ r>R $ sia non nulla, non dovrebbe comportare una campo non nullo all’esterno della sfera dielettrica?
Grazie
Risposte
"TS778LB":
... La somma dei due contributi non è nulla. Dove sbaglio? ...
Sbagli nel calcolo della divergenza.
Vero! Grazie mille. A questo punto resta giustificata la nullità del campo esterno. Chi ha indotto, dunque, la polarizzazione della sfera?
"TS778LB":
... Chi ha indotto, dunque, la polarizzazione della sfera?
Non ci è dato di saperlo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo