Teorema di Gauss

[valentina921]

Salve a tutti,
ho qualche dubbio sul teorema di Gauss: premetto che non lo sto studiando a proposito dell'elettromagnetismo (cercando su internet mi vengono fuori siti e spiegazioni praticamente solo su questo), ma per spiegare il motivo per cui una massa di distribuzione sferica si può approssimare ad un punto con tutta la massa concentrata su di sè. Il teorema è questo: (correggetemi se ci sono imprecisioni, sono appunti che ho preso a lezione)

"Se un campo di forze è del tipo: $\vec F(\vec r) \sim 1/r^3 \hat r $ , allora il flusso lungo qualunque superficie chiusa $\Omega$ è pari a:
$\phi_\Omega (\vec F)=4\pic$ ".

Il mio dubbio è sulla natura del campo di forze; non l'abbiamo ancora introdotto se non solo in un accenno e mi chiedevo, il teorema si riferisce a un campo di forze centrali (visto che, tra l'altro, lo studio per spiegare come trascuro il raggio dei pianeti nella gravitazione)? E poi, non dovrebbe essere $\vec F(\vec r) \sim m/r^3 \hat r $?
Tra l'altro, cos'è c? Applicando il teorema per ricavare la legge di gravitazione universale ho scritto che e uguale a $Gm_1m_2$, ma non ho capito perchè (immagino sia una costante, ma allora perchè in questo caso non compare anche il raggio?

Grazie in anticipo

Valentina

[Sk_Anonymous]

Il teorema di Gauss vale per tutti i campi centrali la cui dipendenza è del tipo $[1/r^2]$. Quindi:

$[vecF=1/(4piepsilon_0)(Qq)/r^3vecr] rarr [vecE=vecF/q=1/(4piepsilon_0)Q/r^3vecr] rarr [Phi_S(vecE)=Q/epsilon_0]$

$[vecF=G(Mm)/r^3vecr] rarr [vecK=vecF/m=GM/r^3vecr] rarr [Phi_S(vecK)=4piGM]$

In entrambi i casi, quando la distribuzione di carica/massa gode di simmetria sferica, il campo all'esterno della distribuzione è equivalente a quello generato da una carica/massa puntiforme pari alla carica/massa totale posta nel centro di simmetria della distribuzione medesima.

[valentina921]

Ok penso di esserci un po' di più; il secondo che hai scritto sarebbe il flusso del campo gravitazionale, giusto? ma non dovrebbero comparire entrambe le masse? Cioè, io ricavo la forza di gravitazione universale utilizzando il teorema di Gauss in questo modo:

$\int_{S} F \hat n dS=4\piGm_1m_2$
$F\int_{S} dS = 4\piGm_1m_2$ dove S è una superficie sferica, e quindi
$F4\pir^2=4\piGm_1m_2$ da cui $F=G(m_1m_2)/r^2$

e qui c sarebbe appunto $Gm_1m_2$ , e ci sono tutte e due le masse!

[Sk_Anonymous]

Se utilizzi il campo $[vecK]$, allora$[Phi_S(vecK)=4piGM]$. Ovviamente, se utilizzi la forza $[vecF=mvecK]$, allora$[Phi_S(vecF)=4piGMm]$. In ogni modo, servirsi del teorema di Gauss per ricavare la legge di gravitazione universale è piuttosto insolito, visto che il teorema vale proprio perchè l'espressione della forza è quella che tutti conosciamo. Piuttosto, viene utilizzato in modo molto efficace per determinare il campo gravitazionale oppure la forza gravitazionale nel caso in cui la distribuzione della massa abbia simmetria sferica ma non sia banalmente puntiforme.

[valentina921]

Noi l'abbiamo utilizzato in questo modo per dimostrare che quando, nella gravitazione, trascuriamo il raggio della Terra (che diciamo, di per sè, non è che sia proprio trascurabile), non abbiamo commesso un errore perchè c'è appunto questo teorema per cui una massa di distribuzione sferica è approssimabile a un punto! Ma quindi, mi sto confondendo su una cosa: il flusso è di una forza o di un campo? O di tutti e due? E che cosa cambia? (Nei due libri che uso non si fa proprio cenno del flusso )

[Sk_Anonymous]

"valentina92":
Noi l'abbiamo utilizzato in questo modo per dimostrare che quando, nella gravitazione, trascuriamo il raggio della Terra (che diciamo, di per sè, non è che sia proprio trascurabile), non abbiamo commesso un errore perchè c'è appunto questo teorema per cui una massa di distribuzione sferica è approssimabile a un punto!

Ok, all'esterno della distribuzione però, come già sottolineato. Tuttavia, la possibilità di trascurare il raggio della Terra rientra in un altro discorso. Voglio dire, se devi determinare la forza di attrazione tra la Terra e il Sole, puoi trascurare i rispettivi raggi quando valuti $[r]$ al denominatore, in quanto la loro distanza è estremamente più grande. Ma se devi determinare la forza di attrazione che agisce su un corpo in prossimità della superficie terrestre, in realtà si trascura l'altezza del corpo in quanto il raggio della Terra, questa volta, è estremamente più grande.

"valentina92":
Ma quindi, mi sto confondendo su una cosa: il flusso è di una forza o di un campo? O di tutti e due? E che cosa cambia? (Nei due libri che uso non si fa proprio cenno del flusso.

Il flusso si definisce per un generico vettore attraverso una superficie, che sia il campo o la forza poco importa, basta tenere conto di una costante moltiplicativa, la carica o la massa di prova. Se il tuo libro non accenna al flusso, l'avrà dato per scontato. Del resto, il teorema di Gauss, nelle applicazioni qui ricordate, si preoccupa proprio di calcolarlo.

[valentina921]

Bene, adesso ho capito allora. Penso anch'io che avesse dato per scontate queste informazioni, ecco perchè non mi raccapezzavo... ti ringrazio, ora approfondirò l'argomento visto che ho capito da dove partire. Buon weekend!