Teorema di Earnshaw - elettrostatica.

[matteol1]

Posto qui un interessante esercizio con una mia proposta di soluzione

testo: Si dimostri che sotto l'azione di sole forze elettrostatiche l'equilibrio stabile è impossibile. (Teorema di Earnshaw)

Suggerimento: si assuma che in un certo punto $P$ di un campo elettrico $E$ una carica +q stia in condizione di equilibrio stabile. Si tracci una superficie gaussiana sferica attorno a P. Si immagini come sia orientato $E$ in corrispondenza della superficie e si applichi la legge di Gauss per dimostrare che l'ipotesi asserita porta ad una contraddizione.

ecco come ho fatto:

$E_1=0$ interno alla sfera

$E_2= 1/(4\pi\epsilon_0) q/r^2$ esterno alla sfera

dal teorema di GAUSS $\Psi= \int EdS = E S$

tesi: equilibrio statico $rArr$ $E_1S=E_2S$

$E_1=E_2$ in generale non è vero $rarr$ $E_1!=E_2$

non sono sicuro della correttezza di quanto sopra ... sarei grato se qualcuno mi sapesse consigliare .

[Falco5x]

Non mi è chiaro perché nella tua dimostrazione il campo interno alla sfera deve essere nullo...
Io direi invece così.
Un punto è di equilibrio stabile solo se si trova in una situazione di potenziale di minimo relativo. Poiché il campo è il -gradiente del potenziale, nell'intorno di un minimo di potenziale il campo sarebbe convergente da ogni lato verso il punto di minimo. Ciò significa che la divergenza di quel punto sarebbe diversa da zero in assenza di cariche, cosa impossibile!
Infatti posta una carica positiva in quel punto, tracciata una superficie chiusa nell'intorno del punto il flusso attraverso questa sarebbe la somma dei flussi dei campi elettrici componenti, e cioè quello relativo alla carica ivi posta meno quello prodotto dal campo esterno preesistente. Però il teorema di Gauss dice che il flusso deve essere proporzionale alla sola carica interna alla superficie, dunque il campo esterno dovrebbe essere nullo, e quindi non possiamo trovarci in un punto di minimo relativo del potenziale esterno (al massimo saremmo in situazione di equilibrio indifferente nel caso di campo esterno uniformemente nullo).

[matteol1]

Non ho molta dimestichezza con gli operatori differenziali ... in analisi 2 per ora abbiamo fatto solo il gradiente. Non ho ben chiaro cosa vuoi dire con "la divergenza in quel punto sarebbe diversa da zero in assenza di cariche".
Poi so per certo che una carica esterna non contribuisce al flusso del campo elettrico.

[Falco5x]

Prendi una superficie chiusa qualsiasi attorno a un punto $P$, calcola il flusso del campo attraverso di essa e fa' il rapporto tra questo flusso e il volume racchiuso entro questa superficie. Poi fa' il limite di questo rapporto quando la superficie si restringe fino a diventare il punto $P$ stesso: questo limite è il valore della divergenza del campo nel punto $P$.
Allora se nel punto P c'è una carica puntiforme, il rapporto di cui sopra tende a infinito, e la divergenza è infinita in quel punto. Se siamo in una zona senza cariche, la divergenza in ogni punto è sempre nulla per il teorema di Gauss. Se invece siamo in una zona con carica distribuita, la divergenza del vettore spostamento $D=\epsilonE$ è uguale ala densità di carica $\rho$.
Volevo dire che se ci fosse un punto $P$ di minimo relativo del potenziale inerente un campo creato da un assetto qualsiasi di cariche situate altrove nello spazio, allora tutti i vettori campo nell'immediato intorno di quel punto sarebbero diretti verso di esso, e quindi calcolando il flusso attraverso una qualsiasi superficie che circonda detto punto uscirebbe un valore (negativo) diverso da zero; ma questo contasterebbe col teorema di Gauss, poiché in quel punto abbiamo supposto che non ci sono cariche.