Teorema dell'energia cinetica - chiarimenti dimostrazione

[Expboy]

Ciao, sui miei appunti di fisica (slide fornite dal docente) ho la dimostrazione del teorema dell'energia cinetica...però alcuni passaggi mi sono poco chiari... Ecco cosa dice la slide:

Le parti riquadrate in blu non le ho capite.... ad esempio come si fa a cambiare la variabile di integrazione da un vettore $r$ a $t$?? e poi che passaggi matematici vengono fatti per passare da un integrale all'altro? non so come comportarmi col prodotto scalare (primo riquadro in blu).

Che cosa viene fatto per passare dal primo integrale al secondo ? (nel secondo riquadro in blu)?

Grazie per le risposte !!!

[Akuma1]

ciao, il primo passaggio è formale, cioè il vettore posizione $vecr(t)$ dipende dal tempo, ovvero è funzione del tempo, di conseguenza tutto l'integrale dipende da $t$, e gli estremi di integrazione vanno cambiati con gli istanti per i quali $r(t_A)=A$ e $r(t_B)=B$, nel seconda seconda uguaglianza ha moltiplicato e diviso per $dt$ e nella (8.3) ha usato la definizione di velocità cioè $(dvec r)/(dt)=vecv$. L'ultimo riquadro blu è un giochetto cioè: $x=1/2*(x+x)=1/2*(2*x)=x$

[Akuma1]

ps. gli ultimi 2 passaggi non sono altro che l'applicazione della regola della derivazione del prodotto (solo che in questo caso è il prodotto della stessa funzione) e il prodotto interno di un vettore per se stesso.

[Expboy]

Grazie mille *_* mi hai davvero aiutato!!!!!