Teorema delle velocità relative

[Plepp]

Salve ragazzi.
Purtroppo a noi ingegneri si insegnano sia la matematica che la fisica a cazz*, per cui ho bisogno di una mano nel capire un passaggio nella dimostrazione del teorema delle velocità relative.

In particolare sto studiando il moto relativo rotatorio. Prese due terne $(O,x,y,z)$ e $(O',x',y',z')$ e considerato un punto materiale $P$, abbiamo
\[\mathbf{r}=\mathbf{OP}=\mathbf{O'P}+\mathbf{OO'}=\mathbf{r}'+\mathbf{OO'}\]
Derivando tale relazione rispetto al tempo, e ricordando che nel moto rotatorio il punto $O'$ è fisso rispetto ad $O$ (quindi $d\mathbf{OO'}/dt=\mathbf{0}$) abbiamo
\[\mathbf{v}=\dfrac{d\mathbf{r'}}{dt}\]
A questo punto, devo calcolare $\dfrac{\mathbf{r'}}{dt}$, tenendo conto del fatto che i versori $i,j,k$ della terna $(O',x',y',z')$ ruotano con velocità angolare $\vec{\omega}$.

Qui cominciano i problemi. Il mio prof ha scritto una dispensa: senza mettere in mezzo le formule di Poisson, dice questo:
"senza perdere di generalità, supponiamo che $O\equiv O'$, per cui $\mathbf{r}=\mathbf{r'}$. Ricordando la relazione:
\[\mathbf{v}=\vec{\omega}\times \mathbf{r}\qquad (1)\]
e sostituendo nella precedente i versori $i,j,k$ otteniamo $(di)/dt=\vec{omega}\times i$, ecc... per $j$ e $k$."


Il mio problema è il seguente: volendo considerare il caso generico in cui $\mathbf{OO'}\ne \mathbf{0}$, come faccio a giustificare (per esempio) la formula
\[\dfrac{d\,i}{dt}=\vec{\omega}\times i\qquad \]
senza tirare in ballo le formule di Poisson, per far contento il mio prof??? Non potrei certo fare le considerazioni che fa il prof, se assumo che $O$ e $O'$ non coincidono, in quanto non sarei piu "autorizzato" a sostituire i versori $i,j,k$ nella $(1)$

La necessità nasce da questo fatto: una volta dimostrato il teorema nel caso del moto rotatorio, passa a enunciarlo/dimostrarlo nel caso generale di un moto roto-traslatorio. Qui lui stesso osserva che non piu è possibile assumere $\mathbf{r}=\mathbf{r'}$, in quanto $O$ e $O'$ sono in moto l'uno rispetto all'altro. Senonché, senza dare la minima giustificazione, continua ad affermare che vale quanto dimostrato nel caso del moto rotatorio

Vi prego, sto impazzendo datemi una mano!

Ciao!!

[Plepp]

UP!

[Sk_Anonymous]

Un pò di casino lo fai tu, ma devo dire che, se le cose stanno come tu dici, il prof non ha fatto molto per chiarivi le idee per bene...

"Plepp":
..........................
In particolare sto studiando il moto relativo rotatorio. Prese due terne $(O,x,y,z)$ e $(O',x',y',z')$ e considerato un punto materiale $P$, abbiamo
\[\mathbf{r}=\mathbf{OP}=\mathbf{O'P}+\mathbf{OO'}=\mathbf{r}'+\mathbf{OO'}\]
Derivando tale relazione rispetto al tempo, e ricordando che nel moto rotatorio il punto $O'$ è fisso rispetto ad $O$ (quindi $d\mathbf{OO'}/dt=\mathbf{0}$) abbiamo
\[\mathbf{v}=\dfrac{d\mathbf{r'}}{dt}\]

La tua frase che ho sottolineato, è semplicemente una ipotesi, e cioè che l'origine $O'$ del riferimento mobile non si muova rispetto al riferimento fisso. Questa ipotesi, la si fa proprio perchè si vuole studiare, per ora, solo la parte rotatoria del moto, in cui si suppone che il riferimento mobile ruoti soltanto, attorno ad un asse passante per $O'$.
E' la stessa ipotesi che il tuo prof ha scritto nella sua dispensa : senza perdere di generalità.... Infatti, dire che $O'$
è fermo rispetto ad $O$ , oppure dire che coincide con $O$ , ha le stesse conseguenze quando si va a calcolare la derivata rispetto al tempo di $OO'$ , che è zero in entrambe le ipotesi.

A questo punto, devo calcolare $\dfrac{\mathbf{r'}}{dt}$, tenendo conto del fatto che i versori $i,j,k$ della terna $(O',x',y',z')$ ruotano con velocità angolare $\vec{\omega}$.

Qui cominciano i problemi. Il mio prof ha scritto una dispensa: senza mettere in mezzo le formule di Poisson, dice questo:
"senza perdere di generalità, supponiamo che $O\equiv O'$, per cui $\mathbf{r}=\mathbf{r'}$. Ricordando la relazione:
\[\mathbf{v}=\vec{\omega}\times \mathbf{r}\qquad (1)\]
e sostituendo nella precedente i versori $i,j,k$ otteniamo $(di)/dt=\vec{omega}\times i$, ecc... per $j$ e $k$."

Il tuo prof vuol dire questo: poichè $ \vecv = (d\vecr)/(dt)$ , e nel moto rotatorio di un corpo rigido si ha che : $ \vecv = \vec\omega\times\vecr$ , si può scrivere : $(d\vecr)/(dt) = \vec\omega\times\vecr$.

Ora questa relazione vale anche se, al posto di $\vecr$ , ci metti uno per volta i tre versori degli assi mobili: ottieni proprio le formule di Poisson. Ciò è dovuto al fatto che lo "spazio mobile", solidale alla terna mobile, si muove come un "corpo rigido" rispetto alla terna fissa.

Il mio problema è il seguente: volendo considerare il caso generico in cui $\mathbf{OO'}\ne \mathbf{0}$, come faccio a giustificare (per esempio) la formula
\[\dfrac{d\,i}{dt}=\vec{\omega}\times i\qquad \]
senza tirare in ballo le formule di Poisson, per far contento il mio prof??? Non potrei certo fare le considerazioni che fa il prof, se assumo che $O$ e $O'$ non coincidono, in quanto non sarei piu "autorizzato" a sostituire i versori $i,j,k$ nella $(1)$

Devi far contento il tuo prof? Che vuol dire? LE origini dei due riferimenti ora non coincidono, e se $O'$ si muove rispetto ad $O$, devi derivare $(O'-O)$risp al tempo, per ottenere la sua velocità di traslazione rispetto ad $O$ .

La necessità nasce da questo fatto: una volta dimostrato il teorema nel caso del moto rotatorio, passa a enunciarlo/dimostrarlo nel caso generale di un moto roto-traslatorio. Qui lui stesso osserva che non piu è possibile assumere $\mathbf{r}=\mathbf{r'}$, in quanto $O$ e $O'$ sono in moto l'uno rispetto all'altro. Senonché, senza dare la minima giustificazione, continua ad affermare che vale quanto dimostrato nel caso del moto rotatorio :evil:

Vale quanto dimostrato nel caso del moto rotatorio, per la parte rotatoria del moto roto-traslatorio! . Per la parte traslatoria, devi aggiungere la velocità di $O'$ rispetto ad $Oxyz$, come ti ho detto.

PEr riassumere, In termini più chiari : lo scopo finale di tutto è dimostrare che la "velocità assoluta" del punto P( cioè, rispetto ad $Oxyz$) è somma della "velocità relativa" di $P$( cioè rispetto a $O'x'y'z'$ ) e della "velocità di trascinamento" : $ \vecv_(ass) =\vecv_(rel) + \vecv_(trasc) $.

Ora si ha : $ \vecv_(ass) = (d(P-O))/(dt)$ , essendo $(P-O)$ il vettore posizione di $P$ rispetto a $Oxyz$
$\vecv_(rel) = (d(P-O'))/(dt)$, essendo $(P-O')$ il vettore posizione di $P$ rispetto a $O'x'y'z'$


La "velocità di trascinamento" , se il rif mobile è dotato di moto roto-traslatorio, nel quale l'origine $O'$ trasla con velocità $(d(O'-O))/(dt)$ e il rif stesso ruota con vel angolare $\vec\omega$ attorno a un asse passante per $O'$, è somma di due termini : $ \vecv_(trasc) = (d(O'-O))/(dt) + \vec\omega\times\(P-O') $ .

E' chiaro?

..........................................

Nota per moderatore : non si può far nulla per migliorare la scrittura delle formule? Ogni volta che si mette la frecciadi vettore su una lettera , la lettera si addossa alla seguente , e gli apici non si vedono quasi più, è tutto spostato!

[Plepp]

Ciao Navigatore! Scusa per l'enorme ritardo, non mi ero accorto della tua risposta! e non ho avuto nemmeno la premura di controllare poichè decisi di risolvere diversamente Grazie infinite lo stesso.

Premesso che capisco benissimo quello che dici (le mie sono solo imperfezioni nel linguaggio "tecnico", derivanti dal fatto che mi sono accinto da poco alla materia) e che, salvo il problema originario, è tutto chiaro, ti riformulo la questione.

Il mio prof si "trae in salvo" dal mettere in mezzo le formule di Poisson (che a lezione non abbiamo fatto, nè tanto meno ci sono sul libro) con l'ipotesi $O \equiv O'$: in questo modo può dire che sostituendo i versori $i,j,k$ nella (1) si ottengono le relazioni $(di)/dt=\omega \times i$ ecc..

Se viene meno questa ipotesi ($O$ distinto da $O'$, come in generale accade in una rotazione), questa giustificazione mi pare (correggimi se sbaglio: mi viene il sospetto che non sia come dico) che non regga più, vero? A questo punto andrebbero introdotte e dimostrate le formule di Poisson, per giustificare i calcoli successivi svolti affrontando il caso più generale della rototraslazione.

Io decisi di prendere per dogma (almeno per il momento) le parole del prof, e non perdere altro tempo prezioso per preparare l'esame. Però la questione mi interessa lo stesso!

La domanda è: si può giustificare la relazione $(di)/dt=\omega \times i$, nell'ipotesi $O$ distinto da $O'$, senza tirare in ballo Poisson?

Spero di essere stato chiaro questa volta! Ciao, e grazie ancora!

PS: ovviamente, scherzavo quando dicevo di voler far contento il professore

[sonoqui_1]

Il procedimento seguito dal prof di meccanica razionale che ho avuto fu diverso. Prima mostra che la derivata di ogni versore può essere scritta come prodotto vettoriale, con $vecomega_i$ diversi per i singoli versori, poi mostra che i tre vettori sono uno stesso vettore $omega$ essendo ortogonale la matrice di trasformazione associata alla rotazione.

Qui puoi trovare una spiegazione (da pag.96)
http://www.albertostrumia.it/libri/didattica/Meccanica/03_capitolo3.pdf

[fab_mar9093]

"Plepp":
Il mio problema è il seguente: volendo considerare il caso generico in cui $\mathbf{OO'}\ne \mathbf{0}$, come faccio a giustificare (per esempio) la formula
\[\dfrac{d\,i}{dt}=\vec{\omega}\times i\qquad \]
senza tirare in ballo le formule di Poisson, per far contento il mio prof??? Non potrei certo fare le considerazioni che fa il prof, se assumo che $O$ e $O'$ non coincidono, in quanto non sarei piu "autorizzato" a sostituire i versori $i,j,k$ nella $(1)$

Dipende dal fatto che è la derivata di un vettore solidale.. io lo dimastravo, però, attraverso le formule di Poisson, non capisco questa "ostilità"
A parer mio la matematica a cazz* non esiste, esiste chi la capisce a cazz* per il fatto che vi si dedica poco tempo nei pochi corsi disponibili.

[Plepp]

@sonoqui: grazie mille! appena posso ci do una bella occhiata.

@seven: ...solidale con l'ALTRO sistema di rifermento, però (per intenderci, il sistema "fisso"). Sbaglio?

Quanto alla Matematica (e anche alla Fisica). Non intendo di questo. Voglio dire che ad Ingegneria (almeno qui da me), le discipline vengono trattate in maniera abominevole, secondo il mio insignificante parere.

Giusto per farti un piccolissimo esempio: come fa un ragazzo che non ha studiato Analisi II ad affrontare il programma di Fisica? Non capirà una beneamata mazza, o perlomeno non saprà come muoversi tra equazioni differenziali, integrali di linea (anche quelli "semplici", che talvolta si studiano in Analisi II), curve (cinematica del punto), concettini di geometria differenziale, etc, etc...nella migliore delle ipotesi passerà l'esame pur non sapendo appieno con cosa ha avuto a che fare.

Bene, qui da noi (Politecnico di Bari) e in molte altre università, le due discipline (Analisi II e Fisica) vengono "somministrate" contemporaneamente, col risultato che il 95% degli iscritti sta (ri)seguendo Fisica al secondo anno.
Non è fare la Fisica a cazz* questo? E poi ci sarebbero tante altre cose, ma vabè...

EDIT: Ah dimenticavo: funzioni di più variabili, campi vettoriali (quindi forme differenziali)...

[fab_mar9093]

"Plepp":
@seven: ...solidale con l'ALTRO sistema di rifermento, però (per intenderci, il sistema "fisso"). Sbaglio?

"somministrate" contemporaneamente, col risultato che il 95% degli iscritti sta (ri)seguendo Fisica al secondo anno.
Non è fare la Fisica a cazz* questo? E poi ci sarebbero tante altre cose, ma vabè...

EDIT: Ah dimenticavo: funzioni di più variabili, campi vettoriali (quindi forme differenziali)...

la formula \( \frac{d\vec{u}}{dt}=\vec{\omega}\times\vec{u}\) dove $\vec{\omega}$ è la velocità angolare assoluta del corpo rigido, è corretta nel caso $\vec{u}$ sia un vettore solidale,
solidale si intende al corpo rigido, all'osservatore in moto.
E' vera questa cosa di corsi propedeudici che si seguono in contemporanea o anche dopo.. si è proprio
una cazzata.. come dici alla fine imparano solo le tecniche mnemoniche di risoluzione oppure nessuno capisce nulla quindi mi chiedo io che senso ha!! mi chiedo che genere di laureati usciranno.. e hai ragione capita in molti atenei, ma non capisco il perchè di queste scelte

[Plepp]

"seven":
la formula \( \frac{d\vec{u}}{dt}=\vec{\omega}\times\vec{u}\) dove $\vec{\omega}$ è la velocità angolare assoluta del corpo rigido, è corretta nel caso $\vec{u}$ sia un vettore solidale,
solidale si intende al corpo rigido, all'osservatore in moto.

Si, questo lo so seven (perchè ho fatto delle "ricerche" per conto mio), ma senza mettere in mezzo le formule di Poisson come faccio a giustificare la tua affermazione? (nel caso $O\ne O'$). E' questo il mio problema!

E' vera questa cosa di corsi propedeudici che si seguono in contemporanea o anche dopo.. si è proprio
una cazzata.. come dici alla fine imparano solo le tecniche mnemoniche di risoluzione oppure nessuno capisce nulla quindi mi chiedo io che senso ha!! mi chiedo che genere di laureati usciranno.. e hai ragione capita in molti atenei, ma non capisco il perchè di queste scelte

Guarda è una cosa che mi chiedo spesso...non a tutti (anzi alla maggior parte degli studenti...) hanno un interesse per la Matematica, come ce l'ho io ad esempio, che li spinga ad andare oltre quello che si fa in aula, per dare un senso a ciò a che studia e capirci davvero qualcosa. E se non si capisce bene la Matematica (almeno quella "base") non si capisce una cippa di nient'altro...

[Sk_Anonymous]

Se ci pensi un attimo, ti accorgi che le famose formule di Poisson sono di una immediatezza unica.
Supponi di avere un riferimento “fisso” $OXYZ$ , e un riferimento “mobile” $ O’xyz$ , i cui assi hanno versori $\veci,\vecj,\veck$ .
Vogliamo studiare, per ora, solo il “moto rotatorio” del rif mobile rispetto al fisso. Perciò , che il punto $O’$ coincida o meno col punto $O$ è del tutto indifferente, chiaro ? E allora, facciamoli coincidere.
Supponiamo che in un certo istante ci sia un asse di istantanea rotazione passante per $O =O’$, su cui mettiamo il vettore $\vec\omega$ . Prendiamo un punto $P$ nel riferimento mobile, che abbia vettore posizione $\vecr$ . Evidentemente $P$ è fermo rispetto al rif mobile, ma ruota rispetto al fisso, come ruota tutto lo spazio mobile. Se ci stiamo occupando della sola rotazione, esprimiamo la velocità vettoriale di $P$ in questa maniera, che tu già conosci : $ \vecv = (d\vecr)/(dt) = \vec\omega\times\vecr$ . D’accordo fin qui?
Ora supponiamo che il punto $P$ abbia, nel rif mobile, coordinate $(1,0,0)$.
Perciò il vettore posizione di$ P$ non è altro che : $\vecr = \veci$. Calcoliamo la velocità di $P$, ora :
$(d\vecr)/(dt) = (d\veci)/(dt) = \vec\omega\times\veci $.
Abbiamo ottenuto la prima delle tre formule di Poisson, che non sono nulla di strabiliante. E così perle altre due.
Ma c’è qualcosa di più interessante ancora, che forse non è spiegata a dovere. Ed è questa.
La derivata di un vettore $\vecv$ qualsiasi , fatta nel riferimento fisso, è uguale alla derivata dello stesso vettore, fatta nel riferimento mobile , più una certa quantità, che è il prodotto vettoriale : $\vec\omega\times\vecv$ .
In formule : $[(d\vecv)/(dt)]_F = [(d\vecv)/(dt)]_M + \vec\omega\times\vecv$ -------(1)
Te l'hanno spiegata, questa formula? Le formulette di Poisson si possono ricavare dalla (1) , semplicemente mettendo al posto di $\vecv$ i versori degli assi mobili, e tenendo presente che i tre versori sono "solidali" agli assi mobili, quindi il primo termine a secondo membro è zero.
La (1) vale qualunque sia il vettore $\vecv$ . Perciò si può definire un "operatore derivata nel riferimento fisso" mettendo dei puntini sospensivi al posto del vettore, così :
$[(d....)/(dt)]_F = [(d....)/(dt)]_M + \vec\omega\times....$ -------(2)
Puoi applicare la (2) a qualunque vettore tu voglia derivare nel rif fisso, se è nota la sua derivata nel rif mobile ( un vettore può cambiare anche rispetto a questo), e se è nota la velocità angolare del mobile rispetto al fisso.
Se al posto dei puntini metti $\vec\omega$ , il secondo termine al secondo membro è nullo, e quindi :
$[(d\vec\omega)/(dt)]_F = [(d\vec\omega)/(dt)]_M$
Cioè, la derivata del vettore velocità angolare è la stessa, sia fatta nel riferimento fisso, sia fatta nel riferimento mobile.

[Plepp]

quella sera avrò fatto un po' (parecchia) di confusione, dopo le 9 ore di Fisica!! Sono un emerito imbecille.
E' tutto chiaro navigatore, cristallino! Mi sono anche accorto di avercela sui miei stessi appunti la risposta...bah...era una stronzata colossale...in breve, non avevo pensato che effettivamente $i$ individua un punto nello spazio (che per ipotesi ruota con velocità angolare $\vec\omega$ rispetto al sistema fisso... ).

"navigatore":
Ma c’è qualcosa di più interessante ancora, che forse non è spiegata a dovere. Ed è questa.
La derivata di un vettore $\vecv$ qualsiasi , fatta nel riferimento fisso, è uguale alla derivata dello stesso vettore, fatta nel riferimento mobile , più una certa quantità, che è il prodotto vettoriale : $\vec\omega\times\vecv$ .
In formule : $[(d\vecv)/(dt)]_F = [(d\vecv)/(dt)]_M + \vec\omega\times\vecv$ -------(1)
Te l'hanno spiegata, questa formula? (*) Le formulette di Poisson si possono ricavare dalla (1) , semplicemente mettendo al posto di $\vecv$ i versori degli assi mobili, e tenendo presente che i tre versori sono "solidali" agli assi mobili, quindi il primo termine a secondo membro è zero.
La (1) vale qualunque sia il vettore $\vecv$ . Perciò si può definire un "operatore derivata nel riferimento fisso" mettendo dei puntini sospensivi al posto del vettore, così :
$[(d....)/(dt)]_F = [(d....)/(dt)]_M + \vec\omega\times....$ -------(2)
Puoi applicare la (2) a qualunque vettore tu voglia derivare nel rif fisso, se è nota la sua derivata nel rif mobile ( un vettore può cambiare anche rispetto a questo), e se è nota la velocità angolare del mobile rispetto al fisso.
Se al posto dei puntini metti $\vec\omega$ , il secondo termine al secondo membro è nullo, e quindi :
$[(d\vec\omega)/(dt)]_F = [(d\vec\omega)/(dt)]_M$
Cioè, la derivata del vettore velocità angolare è la stessa, sia fatta nel riferimento fisso, sia fatta nel riferimento mobile.

(*) non farmi ridere (=figurati se ce l'hanno spiegata) Comunque, interessante il discorso sull'operatore "derivata nel sistema fisso"

Grazie ancora!