Teorema delle forze vive
Ciao ragazzi in un post precedente, avevo inserito un esercizio e si è aperta una discussione molto interessante sul teorema delle forze vive...per cui sto approfondendo meglio
per esempio in questo problema
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Un corpo avente massa 1 kg e velocità iniziale di modulo , scivola su un piano lungo 2 m e
inclinato di 30° rispetto all’orizzontale. Alla fine del suddetto piano percorre un tratto orizzontale
scabro con coefficiente d’attrito di valore 0.2, urta una molla elicoidale, avente attrito interno e
massa trascurabili, fissata ad una parete rigida e si ferma dopo averla compressa di 10 cm. Sapendo
che il percorso sul piano orizzontale è lungo 300 cm, compresa la deformazione della molla, e che
la costante elastica della molla è di 2000 Nm-1, si calcoli la velocità iniziale del corpo.
Per applicare questo teorema
io ho calcolato i vari lavori delle forze agenti
sul piano inclinato ci sta il lavoro della gravita
Il dubbio: in questo caso questo lavoro è positivo perché concorde con lo spostamento ?
poi nel tratto orizzontale ci sta il lavoro dell'attrito e il lavoro della molla , che va preso con il meno perchè la molla è a riposo..
quindi calcolati questi valori , la loro sommatoria va uguagliata alla variazione di energia cinetica
Dove sbaglio?
Inoltre nella soluzione leggo $L=-1/2mv^2$ il meno ci sta perchè la velocità finale è zero?
per esempio in questo problema
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Un corpo avente massa 1 kg e velocità iniziale di modulo , scivola su un piano lungo 2 m e
inclinato di 30° rispetto all’orizzontale. Alla fine del suddetto piano percorre un tratto orizzontale
scabro con coefficiente d’attrito di valore 0.2, urta una molla elicoidale, avente attrito interno e
massa trascurabili, fissata ad una parete rigida e si ferma dopo averla compressa di 10 cm. Sapendo
che il percorso sul piano orizzontale è lungo 300 cm, compresa la deformazione della molla, e che
la costante elastica della molla è di 2000 Nm-1, si calcoli la velocità iniziale del corpo.
Per applicare questo teorema
io ho calcolato i vari lavori delle forze agenti
sul piano inclinato ci sta il lavoro della gravita
Il dubbio: in questo caso questo lavoro è positivo perché concorde con lo spostamento ?
poi nel tratto orizzontale ci sta il lavoro dell'attrito e il lavoro della molla , che va preso con il meno perchè la molla è a riposo..
quindi calcolati questi valori , la loro sommatoria va uguagliata alla variazione di energia cinetica
Dove sbaglio?
Inoltre nella soluzione leggo $L=-1/2mv^2$ il meno ci sta perchè la velocità finale è zero?
Risposte
Che cosa dice il teorema dell'energia cinetica, talvolta chiamato "della forza viva" ? ( mi pare fosse stato Laplace per primo a parlare di "vis viva" ) ?
LA variazione di energia cinetica, cioè la differenza $Ek_f - Ek_i$ (f=finale, i= iniziale) è uguale al lavoro di tutte le forze agenti.
Il lavoro come si definisce ? È uno scalare, che si ottiene integrando il lavoro elementare lungo il cammino di integrazione, cioè la traiettoria. Qui non c'entra se le forze sono conservative o no, potresti avere dei tratti in cui la forza non lo è.
(ti ricordo che un campo di forze è detto conservativo quando il lavoro delle forze, per uno spostamento qualunque tra due punti A e B nel campo, non dipende dal percorso seguito per andare da A a B ).
Il lavoro elementare è il prodotto scalare $ dL = vecF*vec(ds)= F*ds*cos\alpha$ . Se l'angolo tra il vettore forza e il vettore spostamento elementare è minore di $\pi/2$ il coseno è positivo e quindi il lavoro elementare è positivo.
Nel caso che prospetti, puoi scomporre $vecg$ in due componenti, uno normale e uno parallelo al piano inclinato : il componente normale non esegue lavoro, il componente parallelo esegue il lavoro $m*g*sen\alpha*s$ , in cui $s$ è lo spostamento del corpo sul piano inclinato, e questo lavoro è positivo per quanto prima detto.
Sia l'attrito che la molla, nel tuo caso, eseguono sul corpo lavoro negativo , essendo le rispettive forze opposte allo spostamento (ma tieni presente che non sempre l'attrito si oppone allo spostamento) . La molla , inizialmente a riposo, viene compressa e quindi per reazione "resiste" alla compressione, cioè la forza che esercita sul corpo è opposta allo spostamento.
LA risposta all'ultima domanda è affermativa : per il teorema dell'energia cinetica , detto $L$ il lavoro totale delle forze agenti, si deve avere : $L = 0 - 1/2mv^2$ , perchè l'energia cinetica finale è zero.
LA variazione di energia cinetica, cioè la differenza $Ek_f - Ek_i$ (f=finale, i= iniziale) è uguale al lavoro di tutte le forze agenti.
sul piano inclinato ci sta il lavoro della gravita
Il dubbio: in questo caso questo lavoro è positivo perché concorde con lo spostamento ?
Il lavoro come si definisce ? È uno scalare, che si ottiene integrando il lavoro elementare lungo il cammino di integrazione, cioè la traiettoria. Qui non c'entra se le forze sono conservative o no, potresti avere dei tratti in cui la forza non lo è.
(ti ricordo che un campo di forze è detto conservativo quando il lavoro delle forze, per uno spostamento qualunque tra due punti A e B nel campo, non dipende dal percorso seguito per andare da A a B ).
Il lavoro elementare è il prodotto scalare $ dL = vecF*vec(ds)= F*ds*cos\alpha$ . Se l'angolo tra il vettore forza e il vettore spostamento elementare è minore di $\pi/2$ il coseno è positivo e quindi il lavoro elementare è positivo.
Nel caso che prospetti, puoi scomporre $vecg$ in due componenti, uno normale e uno parallelo al piano inclinato : il componente normale non esegue lavoro, il componente parallelo esegue il lavoro $m*g*sen\alpha*s$ , in cui $s$ è lo spostamento del corpo sul piano inclinato, e questo lavoro è positivo per quanto prima detto.
Sia l'attrito che la molla, nel tuo caso, eseguono sul corpo lavoro negativo , essendo le rispettive forze opposte allo spostamento (ma tieni presente che non sempre l'attrito si oppone allo spostamento) . La molla , inizialmente a riposo, viene compressa e quindi per reazione "resiste" alla compressione, cioè la forza che esercita sul corpo è opposta allo spostamento.
LA risposta all'ultima domanda è affermativa : per il teorema dell'energia cinetica , detto $L$ il lavoro totale delle forze agenti, si deve avere : $L = 0 - 1/2mv^2$ , perchè l'energia cinetica finale è zero.
"Shackle":
Che cosa dice il teorema dell'energia cinetica, talvolta chiamato "della forza viva" ? ( mi pare fosse stato Laplace per primo a parlare di "vis viva" ) ?
si deve a Leibnitz che la chiamò così per contrapporla alla vis mortua (ovvero l'inerzia).
Grazie Cooper per la correzione .
"Shackle":
Che cosa dice il teorema dell'energia cinetica, talvolta chiamato "della forza viva" ? ( mi pare fosse stato Laplace per primo a parlare di "vis viva" ) ?
LA variazione di energia cinetica, cioè la differenza $Ek_f - Ek_i$ (f=finale, i= iniziale) è uguale al lavoro di tutte le forze agenti.
sul piano inclinato ci sta il lavoro della gravita
Il dubbio: in questo caso questo lavoro è positivo perché concorde con lo spostamento ?
Il lavoro come si definisce ? È uno scalare, che si ottiene integrando il lavoro elementare lungo il cammino di integrazione, cioè la traiettoria. Qui non c'entra se le forze sono conservative o no, potresti avere dei tratti in cui la forza non lo è.
(ti ricordo che un campo di forze è detto conservativo quando il lavoro delle forze, per uno spostamento qualunque tra due punti A e B nel campo, non dipende dal percorso seguito per andare da A a B ).
Il lavoro elementare è il prodotto scalare $ dL = vecF*vec(ds)= F*ds*cos\alpha$ . Se l'angolo tra il vettore forza e il vettore spostamento elementare è minore di $\pi/2$ il coseno è positivo e quindi il lavoro elementare è positivo.
Nel caso che prospetti, puoi scomporre $vecg$ in due componenti, uno normale e uno parallelo al piano inclinato : il componente normale non esegue lavoro, il componente parallelo esegue il lavoro $m*g*sen\alpha*s$ , in cui $s$ è lo spostamento del corpo sul piano inclinato, e questo lavoro è positivo per quanto prima detto.
Sia l'attrito che la molla, nel tuo caso, eseguono sul corpo lavoro negativo , essendo le rispettive forze opposte allo spostamento (ma tieni presente che non sempre l'attrito si oppone allo spostamento) . La molla , inizialmente a riposo, viene compressa e quindi per reazione "resiste" alla compressione, cioè la forza che esercita sul corpo è opposta allo spostamento.
LA risposta all'ultima domanda è affermativa : per il teorema dell'energia cinetica , detto $L$ il lavoro totale delle forze agenti, si deve avere : $L = 0 - 1/2mv^2$ , perchè l'energia cinetica finale è zero.
Quindi nei problemi che riguardano il piano inclinato posso calcolarlo direttamente facendo $m*g*sen\alpha*s$ quando mi è dato lo spostamento..
Se invece mi da l'altezza devo fare direttamente $mgh$ giusto?
nel caso il corpo sia invece in salita cambia il segno!
Grazie per i consigli
"guido fonzo":
Quindi nei problemi che riguardano il piano inclinato posso calcolarlo direttamente facendo $m*g*sen\alpha*s$ quando mi è dato lo spostamento..
Se invece mi da l'altezza devo fare direttamente $mgh$ giusto?
Tieni presente che :
$s*sen\alpha = h $ , quindi il lavoro della forza peso, positivo se il corpo scende lungo il p.i. , e quindi la sua energia potenziale diminuisce, è uguale in entrambi i casi: la forza peso è conservativa !
Detto $ABC$ il triangolo rettangolo che sul disegno rappresenta la sezione del p.i. , con angolo retto in $B$ ,altezza $AB = h$, ipotenusa $AC= s = h/(sen\alpha) $, il lavoro del peso per andare da A a B lo puoi calcolare sia lungo il percorso $AB$ diretto che lungo il percorso $ACB $ (cioè , ipotenusa + cateto orizzontale) . Ma lungo il cateto orizzontale $CB$ il lavoro è nullo .
nel caso il corpo sia invece in salita cambia il segno!
Se il corpo è in salita , il lavoro della forza peso è negativo.
Imparale bene queste cose!
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