Teorema delle figure piane
Salve a tutti! Oggi a lezione il mio professore di Fisica, mentre svolgeva un esercizio riguardante il calcolo del momento di inerzia di un corpo, ha inserito nella discussione questo teorema delle figure piane che, sinceramente, non ho ben capito di cosa tratti. Qualcuno può descrivermelo cortesemente?
Vi ringrazio
Vi ringrazio
Risposte
Forse... Quale ?
Ho scritto nei miei appunti che se un corpo è simmetrico posso invertire gli assi senza provocare alterazioni al calcolo del momento inerziale.. C'entra qualcosa?
Non ho mica capito ! Avevi detto "teorema relativo a figure piane" ? Stai parlando di figure piane che hanno delle simmetrie ? Tipo : un quadrato , un esagono ...?
Spiega meglio , così capiamo in tanti , dai...
Spiega meglio , così capiamo in tanti , dai...
Da quello che ricordo: quando lo spessore di un corpo è infinitesimo allora $I_{z}=I_{x}+I_{y}$
Un momento robe ! Qui ci sono varie cose da chiarire !
Ho capito che ti stai riferendo a figure piane, e che stai considerando i momenti di inerzia "di area"di una figura piana.
Ti è chiaro il concetto di momento di inerzia rispetto ad un asse complanare alla figura , e di momento di inerzia rispetto ad un punto del piano della figura ? E di momento di inerzia rispetto ad un asse , che è perpendicolare al piano ?
Mi fermo , perchè vorrei essere sicuro di ciò, prima di proseguire .
Ho capito che ti stai riferendo a figure piane, e che stai considerando i momenti di inerzia "di area"di una figura piana.
Ti è chiaro il concetto di momento di inerzia rispetto ad un asse complanare alla figura , e di momento di inerzia rispetto ad un punto del piano della figura ? E di momento di inerzia rispetto ad un asse , che è perpendicolare al piano ?
Mi fermo , perchè vorrei essere sicuro di ciò, prima di proseguire .
Il professore ci ha spiegato il calcolo del momento di inerzia $I$ riguardo all'asse del corpo rigido (considerato omogeneo) e il momento di inerzia rispetto al bordo del corpo rigido (calcolato mediante il teorema di Huygens-Steiner)
Il problema in questione che interessava il teorema delle figure piane riguardava un corpo con spessore molto piccolo di cui bisognava calcolare il momento di inerzia rispetto all'asse Z $dI_{z}=r^2dm=(x^2+y^2)dm=x^2dm+y^2dm$, in cui $x^2dm$ e $y^2dm$ sono i momenti di inerzia calcolati rispetto all'asse x e all'asse y. Dopo ciò il professore ha ottenuto che $dI_{z}=dI_{x}+dI_{y}$
Il problema in questione che interessava il teorema delle figure piane riguardava un corpo con spessore molto piccolo di cui bisognava calcolare il momento di inerzia rispetto all'asse Z $dI_{z}=r^2dm=(x^2+y^2)dm=x^2dm+y^2dm$, in cui $x^2dm$ e $y^2dm$ sono i momenti di inerzia calcolati rispetto all'asse x e all'asse y. Dopo ciò il professore ha ottenuto che $dI_{z}=dI_{x}+dI_{y}$
robe ,
quello che ha detto il tuo prof non fa una piega . Provo a rispiegartelo , magari non lo hai afferrato appieno a lezione , e può darsi che dopo ti sarà più chiaro . Faccio riferimento al momento di inerzia di una figura piana , è la stessa cosa del corpo di spessore sottile e omogeneo (densità = costante in tutti in punti) .
Allora , considera una figura piana qualsiasi , disegnata su un piano $\pi$ . Prendi un punto del piano $O$ , non importa se interno o esterno alla figura . Metti in $O$ due assi cartesiani : $ Oxy$ .
Prendi un'area elementare $dA$ della figura , ad esempio un circoletto o un quadratino , di cui sia $P$ il baricentro .
Il punto $P$ ha coordinate $x$ ed $y$ .
Il "momento di inerzia" dell'area elementare $dA$ rispetto all'asse $x$ è dato , per definizione , da : $dI_x = dA*y^2$
Il momento di inerzia rispetto all'asse $y$ è dato da : $dI_y = dA*x^2$ .
Evidentemente , l'unità di misura di tale momento di inerzia è " lunghezza elevata alla quarta" . E' chiaro ?
Considera ora la distanza $r$ del punto $P$ da $O$ . Evidentemente : $ r^2 = x^2 + y^2 $
Se consideriamo l'origine $O$ come intersezione di un asse $z$ col piano $\pi$ , possiamo dire che il momento di inerzia rispetto all'asse $z$ dell'area elementare data è uguale a : $dI_z = dA*r^2 = dA*(x^2 + y^2) = dI_y + dI_x$ .
Naturalmente , anzichè parlare di "momento di inerzia di una figura piana rispetto ad un asse $z$ perpendicolare al piano" , si può parlare di " momento di inerzia rispetto al punto $O$ , che è intersezione dell'asse $z$ col piano .
E questo è tutto .
quello che ha detto il tuo prof non fa una piega . Provo a rispiegartelo , magari non lo hai afferrato appieno a lezione , e può darsi che dopo ti sarà più chiaro . Faccio riferimento al momento di inerzia di una figura piana , è la stessa cosa del corpo di spessore sottile e omogeneo (densità = costante in tutti in punti) .
Allora , considera una figura piana qualsiasi , disegnata su un piano $\pi$ . Prendi un punto del piano $O$ , non importa se interno o esterno alla figura . Metti in $O$ due assi cartesiani : $ Oxy$ .
Prendi un'area elementare $dA$ della figura , ad esempio un circoletto o un quadratino , di cui sia $P$ il baricentro .
Il punto $P$ ha coordinate $x$ ed $y$ .
Il "momento di inerzia" dell'area elementare $dA$ rispetto all'asse $x$ è dato , per definizione , da : $dI_x = dA*y^2$
Il momento di inerzia rispetto all'asse $y$ è dato da : $dI_y = dA*x^2$ .
Evidentemente , l'unità di misura di tale momento di inerzia è " lunghezza elevata alla quarta" . E' chiaro ?
Considera ora la distanza $r$ del punto $P$ da $O$ . Evidentemente : $ r^2 = x^2 + y^2 $
Se consideriamo l'origine $O$ come intersezione di un asse $z$ col piano $\pi$ , possiamo dire che il momento di inerzia rispetto all'asse $z$ dell'area elementare data è uguale a : $dI_z = dA*r^2 = dA*(x^2 + y^2) = dI_y + dI_x$ .
Naturalmente , anzichè parlare di "momento di inerzia di una figura piana rispetto ad un asse $z$ perpendicolare al piano" , si può parlare di " momento di inerzia rispetto al punto $O$ , che è intersezione dell'asse $z$ col piano .
E questo è tutto .
Grazie per la risposta navigatore.
Quindi il momento di inerzia di una figura piana non viene più calcolato come nel caso tridimensionale $dI=dmR^2\rightarrow I=int R^2dm$, ma bisogna considerare la superficie infinitesima e la distanza o dall'asse $x$ o da $y$ a seconda del caso? L'unità di misura è $[L^4]$ perché $[L^2]\cdot[L^2]$
Si assume che sia un asse qualsiasi, non necessariamente perpendicolare quindi? Non è stato precisato quindi presumo sia così giusto?
Grazie
Quindi il momento di inerzia di una figura piana non viene più calcolato come nel caso tridimensionale $dI=dmR^2\rightarrow I=int R^2dm$, ma bisogna considerare la superficie infinitesima e la distanza o dall'asse $x$ o da $y$ a seconda del caso? L'unità di misura è $[L^4]$ perché $[L^2]\cdot[L^2]$
Naturalmente, anzichè parlare di "momento di inerzia di una figura piana rispetto ad un asse $z$ perpendicolare al piano", si può parlare di "momento di inerzia rispetto al punto $O$, che è intersezione dell'asse $z$ col piano
Si assume che sia un asse qualsiasi, non necessariamente perpendicolare quindi? Non è stato precisato quindi presumo sia così giusto?
Grazie
"robe92":
Grazie per la risposta navigatore.
Quindi il momento di inerzia di una figura piana non viene più calcolato come nel caso tridimensionale $dI=dmR^2\rightarrow I=int R^2dm$, ma bisogna considerare la superficie infinitesima e la distanza o dall'asse $x$ o da $y$ a seconda del caso? L'unità di misura è $[L^4]$ perché $[L^2]\cdot[L^2]$
Il momento di inerzia di una figura piana rispetto ad un asse qualsiasi , che sia nel piano della figura , o parallelo al piano , o incidente rispetto al piano con un angolo diverso da 90° , o perpendicolare al piano ( angolo di incidenza = 90°) , si calcola sempre , per l'area elementare $dA$ , come prodotto $dA*r^2$ , dove $r$ è la distanza dell'elemento dall'asse . E poi si integra su tutta l'area .
Naturalmente, anzichè parlare di "momento di inerzia di una figura piana rispetto ad un asse $z$ perpendicolare al piano", si può parlare di "momento di inerzia rispetto al punto $O$, che è intersezione dell'asse $z$ col piano .
Si assume che sia un asse qualsiasi, non necessariamente perpendicolare quindi? Non è stato precisato quindi presumo sia così giusto?Grazie
No , non è giusto , la risposta è già nel mio commento sopra : se l'asse è sghembo rispetto al piano e lo incontra in un punto $O$ , il momento di inerzia rispetto a quell'asse non è uguale al momento di inerzia polare rispetto al polo $O$
La dimostrazione del tuo prof ( da me ripetuta) si basa sul fatto che gli assi $x$ ed $y$ sono complanari alla figura , l'asse $z$ è perpendicolare al piano , nel polo $O$ . Proprio nella mia parte che hai quotato , c'è scritto " asse z perpendicolare al piano ". Se inclini l'asse , il momento di inerzia rispetto a tale asse cambia .
Ok, ho interpretato male la risposta allora, non avevo capito che hai assunto che l'asse sia perpendicolare
Sì , l'asse $z$ è perpendicolare al piano .
Esempio : considera un rettangolo , di lati $L$ ( lungo) e $C$ (corto) . Prendi il centro $O$ , e un rif cartesiano $Oxy$ .
Il momento di inerzia rispetto all'asse $x$ , parallelo a $L$ , vale : $ I_x = 1/12*C^3*L $ .
Il momento d iinerzia rispetto all'asse $y$ , parallelo a $C$ , vale : $I_y = 1/12 * L^3 *C $ .
Il momento di inerzia polare rispetto al polo $O$ , è la somma dei due detti . Esso è anche il momento di inerzia rispetto all'asse $z$ perpendicolare in $O$ al piano .
Esempio : considera un rettangolo , di lati $L$ ( lungo) e $C$ (corto) . Prendi il centro $O$ , e un rif cartesiano $Oxy$ .
Il momento di inerzia rispetto all'asse $x$ , parallelo a $L$ , vale : $ I_x = 1/12*C^3*L $ .
Il momento d iinerzia rispetto all'asse $y$ , parallelo a $C$ , vale : $I_y = 1/12 * L^3 *C $ .
Il momento di inerzia polare rispetto al polo $O$ , è la somma dei due detti . Esso è anche il momento di inerzia rispetto all'asse $z$ perpendicolare in $O$ al piano .
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