Teorema delle accelerazioni relative

[TheBestNapoli]

Salve a tutti, mi sto avventurando nello studio dei moti relativi e avrei un dubbio nella dimostrazione del teorema delle accelerazioni relative. Allora per quanto riguarda la velocità ho capito bene tutti i passaggi che mi portano al risultato:
$\vecv=\vecv_(o')+\vecv'+\vec\omegax\vecr'$
ora per l'accelerazione ho:
$\veca=(d\vecv)/(dt)=(d\vecv_(o'))/(dt)+(d\vecv')/(dt)+(d[\vec\omegax\vecr'])/(dt)$
allora per il primo membro la derivata è immediata, per il secondo con lo stesso ragionamento che ha portato al risultato del teorema delle velocità si arriva al risultato, ottenendo così:
$\veca=\veca_(o')+\veca'+\vec\omegax\vecv'+(d[\vec\omegax\vecr'])/(dt)$
per quanto riguarda l'ultimo membro i passaggi dovrebbero essere questi:
$(d[\vec\omegax\vecr'])/(dt)=(d\vec\omega)/(dt)x\vecr'+(d\vecr')/(dt)x\vec\omega=\vec\alphax\vecr'+\vec\omegax\vecv'$ con $\alpha=(d\vec\omega)/(dt)$
sostituendo ho:
$\veca=\veca_(o')+\veca'+\vec\omegax\vecv'+\vec\alphax\vecr'+\vec\omegax\vecv'=\veca_(o')+\veca'+\vec\alphax\vecr'+2\vec\omegax\vecv'$
ma nel risultato finale oltre a questi termini ce ne deve essere anche un altro e cioè:
$\vec\omegax(\vec\omegax\vecr')$
ma non riesco a capire dove salta fuori quest'ultimo termine. Sul libro non c'è la dimostrazione ma solo il risultato finale introdotto da un vago "si dimostra che..." (-.-').
C'è qualcuno che potrebbe aiutarmi a risolvere questo problema? Grazie mille.

[VINX89]

Ciao!
Quel termine va semplicemente aggiunto al risultato!
Non sò se l'hai vista da qualche parte, ma esiste una regola di trasformazione della derivata temporale di un vettore da un sistema "fisso" ad uno rotante:

$((d vecA)/(dt))_(fisso) = ((d vecA)/(dt))_(rotante) + vec omega x vec A$

In realtà, dovresti aver applicato questa regola per ricavare il teorema delle velocità relative...

Comunque, in base a questa regola, quando derivi $(d[vec omega x r'])/(dt)$, oltre al risultato da te correttamente trovato devi aggiungere proprio il pezzo mancante.

[TheBestNapoli]

Ciao, grazie per la risposta, in realtà non sapevo esistesse una regola che permettesse di arrivare subito al risultato!
Infatti anche per quanto riguarda la velocità per arrivare al risultato io ho fatto proprio "tutti" i passaggi:
allora sapendo che $\vecr=\vecr_(o')+\vecr'$ si ha:
$\vecv=(d\vecr)/(dt)=(d\vecr_(o'))/(dt)+(d\vecr')/(dt)=\vecv_(o')+(d[x'\hati'+y'\hatj'+z'\hatk'])/(dt)=\vecv_(o')+(d[x'\hati'])/(dt)+(d[y'\hatj'])/(dt)+(d[z'\hatk'])/(dt)=$
$=\vecv_(o')+(dx')/(dt)\hati'+(dy')/(dt)\hatj'+(dz')/(dt)\hatk'+(d\hati')/(dt)x'+(d\hatj')/(dt)y'+(d\hatk')/(dt)z'=\vecv_(o')+\vecv'+((d\hati')/(dt)x'+(d\hatj')/(dt)y'+(d\hatk')/(dt)z')$
per la regola di Poisson (almeno così il prof ha detto che si chiama ): $(d\hatA)/(dt)=\vec\omegax\hatA$, quindi dovre avere:
$\vecv=\vecv_(o')+\vecv'+\vec\omegax\hati'*x'+\vec\omegax\hatj'*y'+\vec\omegax\hatk'*z'=\vecv_(o')+\vecv'+\vec\omegax\vecr'$
Grazie alla tua risposta però ho capito dov'era il mio errore nella dimostrazione del teorema delle accelerazioni, infatti quando faccio la derivata del prodotto vettoriale $\vec\omegax\vecr'$, la derivata di $\vecr'$ non è semplicemente $\vecv'$, ma (come ho dimostrato prima nel teorema delle velocità) è $\vecv'+\vec\omegax\vecr'$, quindi sostituendo correttamente queto membro mi trovo perfettamente con il risultato finale.
Grazie ancora! Ciaoo! :D