Teorema del viriale nel potenziale coulombiano in meccanica
Ciao a tutti
Ho una domanda su un esercizio di meccanica quantistica del teorema del viriale:
"Dimostrare il teorema del viriale che mette in relazione l'energia cinetica media e l'energia potenziale media
nel caso del potenziale coulombiano 2=-."
Ora per una singola particella tutto ok. Il testo poi chiede "se in un sistema di N particelle di posizioni Ri e momento Pi (i=1...N)
è possibile estendere la relazione sopra provata quando l'energia potenziale è una funzione omogenea di n-esimo grado dell'insieme delle componenti Ri ossia una $V(R_i)= \lambda R_i^n$ ?"
Ora nel caso del potenziale coulombiano n è posto -1, tuttavia ciò che mi lasca perplesso è che questo potenziale non tiene conto dell'effetto repulsivo che gli elettroni di stessa carica esercitano l'uno su l'altro! a mio avviso il teorema del viriale per un sistema di n particelle come fa a non tenere conto dell'effetto repulsivo! secondo me manca un termine del tipo $V(R_i-R_j), i!=j$ che va inserita nell'hamiltoniana del sistema.
A meno che non si consideri un potenziale $V(R_i)$ che è inteso come la risultante dei potenziali dati dal nucleo attrattivo e dagli elettroni repulsivi sull'elettrone in posizione Ri...... mah! cosa pensate?
In quest'ultima ipotesi il teorema del viriale si scriverebbe $\sum_{i=1}^N = \sum_{i=1}^N - $ poi come condensare ulteriormente? occorrerebbe fare ulteriori supposizioni tipo ipotizzare che la distanza media dall'origine del sistema di riferimento di ogni particella sia circa la stessa....... non so francamente quanto si possa generalizzare.....
Ho una domanda su un esercizio di meccanica quantistica del teorema del viriale:
"Dimostrare il teorema del viriale che mette in relazione l'energia cinetica media
nel caso del potenziale coulombiano 2
Ora per una singola particella tutto ok. Il testo poi chiede "se in un sistema di N particelle di posizioni Ri e momento Pi (i=1...N)
è possibile estendere la relazione sopra provata quando l'energia potenziale è una funzione omogenea di n-esimo grado dell'insieme delle componenti Ri ossia una $V(R_i)= \lambda R_i^n$ ?"
Ora nel caso del potenziale coulombiano n è posto -1, tuttavia ciò che mi lasca perplesso è che questo potenziale non tiene conto dell'effetto repulsivo che gli elettroni di stessa carica esercitano l'uno su l'altro! a mio avviso il teorema del viriale per un sistema di n particelle come fa a non tenere conto dell'effetto repulsivo! secondo me manca un termine del tipo $V(R_i-R_j), i!=j$ che va inserita nell'hamiltoniana del sistema.
A meno che non si consideri un potenziale $V(R_i)$ che è inteso come la risultante dei potenziali dati dal nucleo attrattivo e dagli elettroni repulsivi sull'elettrone in posizione Ri...... mah! cosa pensate?
In quest'ultima ipotesi il teorema del viriale si scriverebbe $\sum_{i=1}^N
Risposte
"kaimano":
Ora per una singola particella tutto ok. Il testo poi chiede "se in un sistema di N particelle di posizioni Ri e momento Pi (i=1...N)
è possibile estendere la relazione sopra provata quando l'energia potenziale è una funzione omogenea di n-esimo grado dell'insieme delle componenti Ri ossia una $V(R_i)= \lambda R_i^n$ ?"
Ora nel caso del potenziale coulombiano n è posto -1, tuttavia ciò che mi lasca perplesso è che questo potenziale non tiene conto dell'effetto repulsivo che gli elettroni di stessa carica esercitano l'uno su l'altro! a mio avviso il teorema del viriale per un sistema di n particelle come fa a non tenere conto dell'effetto repulsivo! secondo me manca un termine del tipo $V(R_i-R_j), i!=j$ che va inserita nell'hamiltoniana del sistema.
Secondo me ti e' sfuggita una cosa: il potenziale Coulombiano di repulsione, che e' quello che compare nel teorema del viriale e' omogeneo: infatti quando fai una trasformazione di scala la fai su tutte le coordinate delle particelle in un unico atletico gesto, per cui tutte le $\vec{R_i}$ variano nello stesso modo, e quindi
[tex]\frac{1}{|\vec{R_i}-\vec{R_j}|} \mapsto \frac{1}{|e^\lambda\vec{R_i}-e^\lambda\vec{R_j}|} = e^{-\lambda}\frac{1}{|\vec{R_i}-\vec{R_j}|}[/tex]
Si mi era sfuggito di dire un fatto basilare!:
il testo chiede di applicare il modello ad una molecola che è composta di un nucleo di -Zq cariche e di una "nuvola" di n cariche "q".
Allora così capisci che ponendo il centro del sistema di riferimento sul nucleo hai 2 contributi (si parla ovviamente di una situazione stazionaria):
un contributo "attrattivo" esercitato dal nucleo su ogni elettrone ed uno "repulsivo"; per questo che pensavo al potenziale omogeneo come una "risultante dei contributi" su ogni particella di carica q....perdonami ma nella fretta mi ero espresso da cani.....
Tuttavia penso che se il problema si ponesse "linearmente" potremmo pensare ad un teorema del viriale sui due potenziali
V+ e V- ambedue omogenei che potrebbero ben descrivere lo stato della molecola. Chiaro che intendo una molecola con nucleo a perfetta simmetria sferica e "particelle" di carica q distribuite nello spazio intorno;
Un altro dettaglio che mi era scappato:
- Quando di parla di potenziale omogeneo significa che $|R_i - R_j |, i != j $ è considerato costante a meno di un fattore di scala?
cioè quel fattore $e^{- \lambda}$ è costante al variare della coppia i j ? non penso........
il testo chiede di applicare il modello ad una molecola che è composta di un nucleo di -Zq cariche e di una "nuvola" di n cariche "q".
Allora così capisci che ponendo il centro del sistema di riferimento sul nucleo hai 2 contributi (si parla ovviamente di una situazione stazionaria):
un contributo "attrattivo" esercitato dal nucleo su ogni elettrone ed uno "repulsivo"; per questo che pensavo al potenziale omogeneo come una "risultante dei contributi" su ogni particella di carica q....perdonami ma nella fretta mi ero espresso da cani.....
Tuttavia penso che se il problema si ponesse "linearmente" potremmo pensare ad un teorema del viriale sui due potenziali
V+ e V- ambedue omogenei che potrebbero ben descrivere lo stato della molecola. Chiaro che intendo una molecola con nucleo a perfetta simmetria sferica e "particelle" di carica q distribuite nello spazio intorno;
Un altro dettaglio che mi era scappato:
- Quando di parla di potenziale omogeneo significa che $|R_i - R_j |, i != j $ è considerato costante a meno di un fattore di scala?
cioè quel fattore $e^{- \lambda}$ è costante al variare della coppia i j ? non penso........
"kaimano":
Si mi era sfuggito di dire un fatto basilare!:
il testo chiede di applicare il modello ad una molecola che è composta di un nucleo di -Zq cariche e di una "nuvola" di n cariche "q".
Allora così capisci che ponendo il centro del sistema di riferimento sul nucleo hai 2 contributi (si parla ovviamente di una situazione stazionaria):
un contributo "attrattivo" esercitato dal nucleo su ogni elettrone ed uno "repulsivo"; per questo che pensavo al potenziale omogeneo come una "risultante dei contributi" su ogni particella di carica q....
Ok, ma anche cosi' in una trasformazione di scala tutte le distanze vengono trasformate nel medesimo modo.
Altrimenti non puoi applicare il teorema neanche al caso gravitazionale.
Per cui tutti i potenziali si trasformano nel medesimo modo.
BTW, se non c'e' un potenziale confinante non puoi applicare il teorema del viriale, perche' questo richiede che il sistema occupi uno spazio limitato.
Un altro dettaglio che mi era scappato:
- Quando di parla di potenziale omogeneo significa che $|R_i - R_j |, i != j $ è considerato costante a meno di un fattore di scala?
?
No, il teorema del viriale richiede che il potenziale sia una funzione omogenea di un certo grado. Ovviamente il potenziale varia come gli pare, a te serve che rispetti l'identita' di Eulero per le funzioni omogenee.
cioè quel fattore $e^{- \lambda}$ è costante al variare della coppia i j ? non penso........
Perche' no? Ricordati dell'identita' di Eulero.
....ho visto il link sulle funzioni omogenee....
bene se ho capito comunque rimane un termine $sum_{i!=j}$ che più di così non riesci a condensare...perché per ogni Ri e Rj il potenziale varia come gli pare come hai detto tu....nel senso che
porti fuori il -1, il fattore di scala che è comune, se vuoi, e la finisci così.....
per il potenziale attrattivo del nucleo poi fai un ragionamento analogo.....
bene se ho capito comunque rimane un termine $sum_{i!=j}
porti fuori il -1, il fattore di scala che è comune, se vuoi, e la finisci così.....
per il potenziale attrattivo del nucleo poi fai un ragionamento analogo.....
"kaimano":
bene se ho capito comunque rimane un termine $sum_{i!=j}$ che più di così non riesci a condensare...perché per ogni Ri e Rj il potenziale varia come gli pare come hai detto tu....nel senso che
porti fuori il -1, il fattore di scala che è comune, se vuoi, e la finisci così.....
Il fatto che il potenziale sia una funzione omogenea di tutte le variabili lo usi per poter utilizzare l'identita' di Eulero, dalla quale derivi il fatto che
[tex]\sum_i \vec{R_i} \cdot \frac{\partial U}{\partial \vec{R_i}} = - U[/tex]
Il fatto che il potenziale sia una funzione omogenea di tutte le variabili lo usi per poter utilizzare l'identita' di Eulero, dalla quale derivi il fatto che
[tex]\sum_i \vec{R_i} \cdot \frac{\partial U}{\partial \vec{R_i}} = - U[/tex]
....non capisco...... quando costruisci il potenziale repulsivo i vettori sono $vec R_i - vec R_j$
se il sistema è posto con riferimento sul nucleo..... intendi associare questo vettore per $vec R_i$?
Quello che mi stai dicendo è
$sum_{i!=j} vec R_i . {\partial V(|vec R_i - vec R_j|)} / {\partial vec R_i } = -V$?
"kaimano":
....non capisco...... quando costruisci il potenziale repulsivo i vettori sono $vec R_i - vec R_j$
se il sistema è posto con riferimento sul nucleo..... intendi associare questo vettore per $vec R_i$?
Il se intendi il sistema di riferimento, non vedo cosa c'entri.
Il potenziale nucleo-elettrone e' omogeneo anch'esso, quindi rientra nel discorso senza necessitare di eccezioni.
Quello che mi stai dicendo è
$sum_{i!=j} vec R_i . {\partial V(|vec R_i - vec R_j|)} / {\partial vec R_i } = -V$?
Se intendi per $V$ il potenziale totale del sistema (quindi sommato su tutte le particelle), non vedo cosa vi sia di strano. Perche' ti risulta cosi' indigesta questa asserzione?
niente. Stavo solo cercando di capire cosa mettevi dentro il potenziale....in sostanza sia in contributi repulsivi che attrattivi...
stop; era quello che non mi era evidente.. in sostanza esce ==$$ che è la U(R1,....RN) rovesciata di segno e mediata di partenza del problema.
stop; era quello che non mi era evidente.. in sostanza esce =