Teorema del no-cloning e laser
Ciao a tutti,
ieri stavo elgendo per curiosità qualcosa sulla crittografia quantistica e ho letto che è fisicamente impossibile "copiare" un fotone senza necessariamente modificarne le caratteristiche. (Teorema del no cloning)
Tuttavia essendo uno studente di elttronica so bene che i laser riescono a reeplicare tramite emissione stimolata i fotoni, producendo esattamente un altro fotone con la stessa fase e la stessa POLARIZZAZIONE del fotone i partenza.
Non riesco quindi a capire questa discrepanza tra teorema del no cloning e funzionamento dei laser.
Ringrazio in anticipo chiunque sia in grado di darmi uan risposta
grazie
ciao
Franco
ieri stavo elgendo per curiosità qualcosa sulla crittografia quantistica e ho letto che è fisicamente impossibile "copiare" un fotone senza necessariamente modificarne le caratteristiche. (Teorema del no cloning)
Tuttavia essendo uno studente di elttronica so bene che i laser riescono a reeplicare tramite emissione stimolata i fotoni, producendo esattamente un altro fotone con la stessa fase e la stessa POLARIZZAZIONE del fotone i partenza.
Non riesco quindi a capire questa discrepanza tra teorema del no cloning e funzionamento dei laser.
Ringrazio in anticipo chiunque sia in grado di darmi uan risposta
grazie
ciao
Franco
Risposte
Penso che la questione sia legata al concetto di copiare! Infatti se io ho un fotone a di cui non conosco a priori fase e polarizzazione e voglio crearne una copia b, con le medesime caratteristiche, allora per conoscere queste caratteristiche devo compiere una operazione di misura sul fotone a, e per le proprietà degli oggetti quantistici questa azione di misura prodice un rosultato che non è dovuto solo alle intrinseche proprietà del sistema da misurare, ma dall'interazione tra esso ed il sistema di misura. Quindi in una qualche maniera "distruggo " le informazioni sullo stato del fotone a precedentemente alle mie misure. Quini il fotone b non è più una copia di a, ma è una copia di a perturbato.
Questo è quello che io ho capito del problema. Non so se è giusto. E' solo la mia opinione.
Questo è quello che io ho capito del problema. Non so se è giusto. E' solo la mia opinione.
![R[i]dd[i]cK11](/datas/avatars/000/012/218/000012218402.gif)
GIOVANNI IL CHIMICO quello che hai detto è corretto. 
francowr, quando replichi fotoni identico con un laser, sei tu ad impostare i valori di partenza della fase e della polarizzazione. Qundo invece questi valori sono ignoti, allora sorge un problema che non può essere superato a causa della relazione di indeterminazione. Ti faccio un piccolo esempio:
Supponiamo che la particella da misurare si trovi in una regione finita dello spazio, e che le dimensioni di questo spazio siano dell'ordine di $\Delta x$, $|Delta y$ e $\Delta z$; poi supponiamo che il valore medio della quantità di moto della particella sia $p_0$. Questo significa che la funzione d'onda ha la forma
$\psi = u (r) \cdot e^{ip_0 r/h}$
dove u (r) è una funzione diversa da zero solamente nella regione dello spazio indicata. Ora sviluppando la funzione $\psi$ in autofunzioni dell'operatore quantità di moto, cioè in integrale di Fourier, abbiamo che i coefficienti $s (p)$ di questo sviluppo sono determinati dagli integrali
$a (p) = \int \psi (r) \psi_p^* (r) dV = \int \psi (r) e^{-ip r/h} dV$
di funzioni della forma $u (r) e^{i (p_0 - p) r/h}$. Per far si che tale integrale sia diverso da zero, i periodi del fattore oscillante $e^{i (p_0 - p) r/h}$ non devono essere piccoli rispetto alle dimensioni dello spazio ipotizzato (dove la funzione $u (r)$ non è nulla). Questo significa che $a (p)$ sarà diversa da zero soltanto per i valori di $p$ tali che
$(p_{0x} - p_x) \frac{\Delta x}{h} <= 1$
Ora dato che $| a (p) |^2$ determina la probabilità dei diversi valori della quantità di moto, gli intervalli dei valori $p_x$, $p_y$ e $p_z$ dove $a (p)$ è diverso da zero, sono proprio quegli intervalli di valori che possono contenere le componenti della quantità di moto della particella nello stato cosiderato. Indicando questi intervalli con $\Delta p_x$, $\Delta p_y$ e $\Delta p_z$ abbiamo:
$\Delta p_x \cdot \Delta x ~ h$, $\Delta p_y \cdot \Delta y ~ h$, $\Delta p_z \cdot \Delta z ~ h$
che sono le relazioni di indeterminazione. Si nota come tanto maggiore sia la precisione della coordinata della particella, tanto più grande è l'indeterminazione del valore della componente della quantità di moto sullo stesso asse. E viceversa ovviamente.
francowr, quando replichi fotoni identico con un laser, sei tu ad impostare i valori di partenza della fase e della polarizzazione. Qundo invece questi valori sono ignoti, allora sorge un problema che non può essere superato a causa della relazione di indeterminazione. Ti faccio un piccolo esempio:
Supponiamo che la particella da misurare si trovi in una regione finita dello spazio, e che le dimensioni di questo spazio siano dell'ordine di $\Delta x$, $|Delta y$ e $\Delta z$; poi supponiamo che il valore medio della quantità di moto della particella sia $p_0$. Questo significa che la funzione d'onda ha la forma
$\psi = u (r) \cdot e^{ip_0 r/h}$
dove u (r) è una funzione diversa da zero solamente nella regione dello spazio indicata. Ora sviluppando la funzione $\psi$ in autofunzioni dell'operatore quantità di moto, cioè in integrale di Fourier, abbiamo che i coefficienti $s (p)$ di questo sviluppo sono determinati dagli integrali
$a (p) = \int \psi (r) \psi_p^* (r) dV = \int \psi (r) e^{-ip r/h} dV$
di funzioni della forma $u (r) e^{i (p_0 - p) r/h}$. Per far si che tale integrale sia diverso da zero, i periodi del fattore oscillante $e^{i (p_0 - p) r/h}$ non devono essere piccoli rispetto alle dimensioni dello spazio ipotizzato (dove la funzione $u (r)$ non è nulla). Questo significa che $a (p)$ sarà diversa da zero soltanto per i valori di $p$ tali che
$(p_{0x} - p_x) \frac{\Delta x}{h} <= 1$
Ora dato che $| a (p) |^2$ determina la probabilità dei diversi valori della quantità di moto, gli intervalli dei valori $p_x$, $p_y$ e $p_z$ dove $a (p)$ è diverso da zero, sono proprio quegli intervalli di valori che possono contenere le componenti della quantità di moto della particella nello stato cosiderato. Indicando questi intervalli con $\Delta p_x$, $\Delta p_y$ e $\Delta p_z$ abbiamo:
$\Delta p_x \cdot \Delta x ~ h$, $\Delta p_y \cdot \Delta y ~ h$, $\Delta p_z \cdot \Delta z ~ h$
che sono le relazioni di indeterminazione. Si nota come tanto maggiore sia la precisione della coordinata della particella, tanto più grande è l'indeterminazione del valore della componente della quantità di moto sullo stesso asse. E viceversa ovviamente.
Ciao,
innanzitutto volgio ringraziarvi entrambi! Era il terzo forum di fisica dove postavo questa questione senza ottenere risposta e sono 3 4 giorni che peso a una possibile risposta.
Tuttavia ancora non capisco del tutto chiaramente. Vi spiego perchè: mettiamo che io ho un SOA (un amplificatore ottico a semiconduttore); se all'"ingresso" di questo SOA metto un segnale ottico questo mi amplifica questo segnale (stessa fase, polarizzazione) eccetera; allora mi chiedo in questo caso: come avviene la "misura" del fotone (o meglio conoscendo un po' di optoelettronica penso di sapere il principio) ma volgio dire perchè in questo caso sono in grado di fare la copia senza aver bisogno di misurare il fotone di partenza.
Secondo la crittografia quantistica che si basa sul fatto che un soloo fotone è mandato da sorgente a destinazione (trasmissione a fotone singolo) perchè non posso mettere un SOA e quindi amplificare il segnale senza perturbare (se è vero quello che ho detto sopra) il fotone di prtenza.
E infine: ho eltto che se tra sorgente e destinazione invece che trasmettere un solo fotone trasmettessi anche solo un piccolo fascio in quel caso la crittografia fallirebbe perchè un possibile attaccante potrebbe porsi sul canale di trasmissione, dividere il fascio in due e rimandare una parte al destinatario e fare "le misure" sulla altra.
Vi chiedo scusa se vi posto ancora una volta la domanda ma vorrei capire meglio...
GRAZIE!!!
CIAO
innanzitutto volgio ringraziarvi entrambi! Era il terzo forum di fisica dove postavo questa questione senza ottenere risposta e sono 3 4 giorni che peso a una possibile risposta.
Tuttavia ancora non capisco del tutto chiaramente. Vi spiego perchè: mettiamo che io ho un SOA (un amplificatore ottico a semiconduttore); se all'"ingresso" di questo SOA metto un segnale ottico questo mi amplifica questo segnale (stessa fase, polarizzazione) eccetera; allora mi chiedo in questo caso: come avviene la "misura" del fotone (o meglio conoscendo un po' di optoelettronica penso di sapere il principio) ma volgio dire perchè in questo caso sono in grado di fare la copia senza aver bisogno di misurare il fotone di partenza.
Secondo la crittografia quantistica che si basa sul fatto che un soloo fotone è mandato da sorgente a destinazione (trasmissione a fotone singolo) perchè non posso mettere un SOA e quindi amplificare il segnale senza perturbare (se è vero quello che ho detto sopra) il fotone di prtenza.
E infine: ho eltto che se tra sorgente e destinazione invece che trasmettere un solo fotone trasmettessi anche solo un piccolo fascio in quel caso la crittografia fallirebbe perchè un possibile attaccante potrebbe porsi sul canale di trasmissione, dividere il fascio in due e rimandare una parte al destinatario e fare "le misure" sulla altra.
Vi chiedo scusa se vi posto ancora una volta la domanda ma vorrei capire meglio...
GRAZIE!!!
CIAO
Ciao,
volevo sapere se avevate letto la mia risposta e se avete compreso i miei dubbi e anche voi non sapete la soluzione
ciao ciao
volevo sapere se avevate letto la mia risposta e se avete compreso i miei dubbi e anche voi non sapete la soluzione
ciao ciao
"francowr":
[...]Tuttavia ancora non capisco del tutto chiaramente. Vi spiego perchè: mettiamo che io ho un SOA (un amplificatore ottico a semiconduttore); se all'"ingresso" di questo SOA metto un segnale ottico questo mi amplifica questo segnale (stessa fase, polarizzazione) eccetera; allora mi chiedo in questo caso: come avviene la "misura" del fotone (o meglio conoscendo un po' di optoelettronica penso di sapere il principio) ma volgio dire perchè in questo caso sono in grado di fare la copia senza aver bisogno di misurare il fotone di partenza. [...]
Il problema è proprio nella parte evidenziata in neretto, l'amplificatore non compie una misura esatta sul fotone (l'indeterminazione quantistica di un solo fotone nell'infrarosso equivale ad un rumore termico di migliaia di gradi Kelvin)! In questi casi, gli amplificatori ottici manifestano caratteristiche di guadagno e di rumore che dipendono a posteriori dal tipo di rivelazione all'uscita dell'amplificatore, cioè le proprietà dell'amplificatore non sono quindi intrinseche del dispositivo, ma dipendono dal modo in cui si rivela la radiazione.
Quello che si può fare, è comunicare con radiazione squeezed, codificando e rivelando il segnale ad una fase fissata, relegando tutto il rumore sulla fase ortogonale, in accordo al principio di indeterminazione di Heisenberg, come per momento e posizione di una particella. Il SOA non viola in nessuno modo il principio di indeterminazione!
GRAZIE ANCORA!!!
Anche il SOA insomma non riesce a fare miracoli, ma con radiazione squeezed posso spostare il problema dell'indeterminazione della fase ortogonalmente, in maniera che la mia misura non sarà affetta dall'indeterminazione quantistica della quale non ci possiamo comunque "liberare" in nessun modo.
Nel caso in cui se non uso questo tipo di radiazione, ma una radiazione "normale" l'indeterminazione quantistica è presente anche nella mia misura. Avendo tuttavia un fascio di fotoni (e non un fotone singolo) sono in grado di "accumulare" tutti i fotoni, ognuno con fase "affetta" da indeterminazione, in maniera che, se guardo al fenomeno complessivo, ossia a tutto il fascio di fotoni, la fase risultante sarà la media di tutti questi "errori" che mi riporterà quindi ad avere un valore di fase più o meno coincidente a quello della fase del fascio di partenza. Esatto?
Solo un ultima cosa (perdonatemi
): sempre riferendoci alla crittografia quantistica il destinatario del "messaggio" che si trova a dover misurare il fotone singolo, non commette anche esso un errore riguardo la misura e quindi anche lui, in base alle regole della meccanica quantistica, non dovrebbe essere capace di intelleggere il fotone. Perchè lui (dal momento che non si trova a dover copiare come una possibile spia sul canale, ma solo a rivelare la fase del fotone) può "convivere" con il principio di indeterminazione e la spia che dopo al misurà tenterà di clonare il fotone no?
Vi ringrazio ancora tutti voi che mi illuminate su questa mia curiosità, in particolare a Riddick per le sue risposte dettagliate.
Vi chiedo anche scusa se vi posto ancora, ma vorrei capire a fondo ogni dettaglio.
CIAOOO
Franco
Anche il SOA insomma non riesce a fare miracoli, ma con radiazione squeezed posso spostare il problema dell'indeterminazione della fase ortogonalmente, in maniera che la mia misura non sarà affetta dall'indeterminazione quantistica della quale non ci possiamo comunque "liberare" in nessun modo.
Nel caso in cui se non uso questo tipo di radiazione, ma una radiazione "normale" l'indeterminazione quantistica è presente anche nella mia misura. Avendo tuttavia un fascio di fotoni (e non un fotone singolo) sono in grado di "accumulare" tutti i fotoni, ognuno con fase "affetta" da indeterminazione, in maniera che, se guardo al fenomeno complessivo, ossia a tutto il fascio di fotoni, la fase risultante sarà la media di tutti questi "errori" che mi riporterà quindi ad avere un valore di fase più o meno coincidente a quello della fase del fascio di partenza. Esatto?
Solo un ultima cosa (perdonatemi
): sempre riferendoci alla crittografia quantistica il destinatario del "messaggio" che si trova a dover misurare il fotone singolo, non commette anche esso un errore riguardo la misura e quindi anche lui, in base alle regole della meccanica quantistica, non dovrebbe essere capace di intelleggere il fotone. Perchè lui (dal momento che non si trova a dover copiare come una possibile spia sul canale, ma solo a rivelare la fase del fotone) può "convivere" con il principio di indeterminazione e la spia che dopo al misurà tenterà di clonare il fotone no?Vi ringrazio ancora tutti voi che mi illuminate su questa mia curiosità
, in particolare a Riddick per le sue risposte dettagliate. Vi chiedo anche scusa se vi posto ancora, ma vorrei capire a fondo ogni dettaglio.
CIAOOO
Franco
"francowr":
[...]Solo un ultima cosa (perdonatemi): sempre riferendoci alla crittografia quantistica il destinatario del "messaggio" che si trova a dover misurare il fotone singolo, non commette anche esso un errore riguardo la misura e quindi anche lui, in base alle regole della meccanica quantistica, non dovrebbe essere capace di intelleggere il fotone. Perchè lui (dal momento che non si trova a dover copiare come una possibile spia sul canale, ma solo a rivelare la fase del fotone) può "convivere" con il principio di indeterminazione e la spia che dopo al misurà tenterà di clonare il fotone no?[...]
Allora...supponiamo di avere la solita sorgente che emette con regolarità (ogni secondo) una coppia di fotoni. Questi fotoni si propagano in direzioni opposte verso il mittente (RddcK) e il destinatario () della sequenza casuale di numeri binari (chiave per cifrare il messaggio). Poniamo che lo stato della coppia di fotoni è dato dall'equazione:
$|\Psi> = \frac{1}{\sqrt{2}} |1,n>|2,n> + \frac{1}{\sqrt{2}} |1,n \perp>|2,n \perp>$
che noi riscriviamo in modo che ci possa essere utile per le analisi:
$|\Psi> = \frac{1}{\sqrt{2}}[|1,V>|2,V> + |1,O>|2,O>] = \frac{1}{\sqrt{2}}[|1,45>|2,45> + |1,135>|2,135>]$
Rd e Frank si sono precedentemente accordati di eseguire misure di polarizzazione piana lungo due direzioni prescelte (quella verticale e quella a 45°), ma non si sono accordati sulla successione delle misure che eseguiranno (la scelta delle due direzioni può anche essere resa pubblica). Inoltre si sono messi d'accordo in modo da scrivere $0$ ogni volta che il fotone non supera il test e $1$ quando lo supera. Poi per ogni misura essi tengono nota del tipo di test effettuato (se verticale o 45°). Eseguita una serie significativa di misure Rd e Frank ottengono una successone casuale e identica di $0$ e $1$. Ora possono annunciare la direzione che hanno scelto in ciascuna misura (una potenziale spia che tenta di capire la chiave che loro useranno per crittografare il messaggio viene a sapere solo ora come si sono alternate le scelte). Ora avviene un'operazione importantissima per ottenere la successione casuale prima menzionata, cioè:
1 - Rd e Frank eliminano dall'elenco dei risultati ottenuti tutti i casi in cui hanno eseguito misure lungo direzioni diverse e salvando gli altri. Quello che otterranno è una serie di $0$ e $1$ (a cranio) lunga circa la metà di quella originale con due caratteristiche fondamentali: 1.le due serie sono perfettamente identiche; 2.la distribuzione degli $0$ e $1$ nelle stringhe è del tutto casuale.
Sembra che tutto sia andato bene e che non ci sia nulla da temere per il messaggio, ma qui si può sollevare un obbiezione: e se un'eventuale spia fosse venuta in possesso della preziosa successione? O che sia riuscita a truccare la sorgente?
2 - Per risolvere il problema Rd e Frank pubblicano i risultati che hanno ottenuto (per esempio nel 2°, nel 4°, nel 6° caso e così via) dei processi di misura. Questo processo ha lo scopo di verificare che i risultati siano veramente identici, ovviamente i risultati pubblici non potranno più essere utilizzati.
Questo controllo viene eseguito perché secondo la teoria, qualunque interferenza con il processo originario mirata a conoscere la stringa degli esiti, comporta una certa probabilità (non lo spiego qui altrimenti faccio mattina) di distruggere le correlazioni perfette degli esiti ottenuti da Rd e Frank. Quindi se nel punto 2 le stringhe sono identiche Rd e Frank possono essere sicuri che nessuna spia è all'opera.
Ora supponiamo che la stringa casuale sia: 011100100110000101101110011001000110111101101101011011100111010101101101011000100110010101110010... e che R[i]d voglia spedire un messaggio a Frank dicendogli: Ave Frank. Allora: a) Scriviamo il messaggio di R[i]d: 010000010111011001100101001000000100011001110010011000010110111001101011 b) Ora si prendono i primi 72 numeri della stringa casuale: 011100100110000101101110011001000110111101101101011011100111010101101101 c) Eseguiamo la somma senza riporto: 010000010111011001100101001000000100011001110010011000010110111001101011 011100100110000101101110011001000110111101101101011011100111010101101101 ------------------------------------------------------------------------ 001100110001011100001011010001000010100100011111000011110001101100000110 d) Il risultato è la stringa trasmessa in pubblico. Ora basta rifare la somma senza riporto con la solita stringa casuale usata al punto b) e Frank ottiene il messaggio di R[i]d leggibile.
Ecco come funziona (+ o -) la comunicazione tramite crittografia quantistica. Come vedi non si viola nessuna legge quantistica, perché non c'è nessun bisogno di misurare lo stato di una particella. Il processo quantistico è usato per ottenere una stringa casuale di numeri, che rappresenta il punto fondamentale della sicurezza crittografica!
PS - Spero di essere riuscito a chiarirti le idee.
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