Tensore elettromagnetico
le 16 componenti del tensore $F^(\mu,\nu)$ (di cui alcune automaticamente nulle in virt\'u dell'antisimmetria) possono essere viste come base di uno spazio vettoriale per una rappresentazione del gruppo di lorenz... quindi volendo il tensore si può decomporre in una serie di tensori in cui compaiono solo componenti che trasformano come una particolare rappresentazione irriducibile del gruppo di lorenz (direi che quella banale solo quattro volte in corrispondenza alle componenti nulle in quanto se ce ne fossero altre ci sarebbero invarianti lineari nei campi di cui avrei già sentito parlare) ...
qualcuno mi sa dire in ogni caso dove posso trovare tale decomposizione?o magari il risultato è che la rappresentazione si decompone come $16=6+6+1+1+1+1$ e quindi il tensore è già decomposto in sostanza?
qualcuno mi sa dire in ogni caso dove posso trovare tale decomposizione?o magari il risultato è che la rappresentazione si decompone come $16=6+6+1+1+1+1$ e quindi il tensore è già decomposto in sostanza?
Risposte
Ciao. Non riesco a capire cosa intendi. Stai cercando la rappresentazione a dimensione 16 del gruppo di Lorentz? E poi quella virgola tra i due indici del tensore è la derivata?
si è vero che il landau tende a mettere la virgola per indicare la derivata... non so perchè ho messo la virgola: in effetti intendo semplicemente $F^{\mu\nu}$....
in sostanza mi sto chiedendo questo, cercando di astrarre... Se noi prendiamo un generico tensore a due indici, noi sappiamo come cambia sotto l'azione di cambiamenti di coordinate, ovvero sotto l'azione del gruppo di Lorentz... solita regola: $T'^(\mu\nu)=\Lambda^\mu_\alpha \Lambda^\nu_\beta T^{\alpha\beta}$
Possiamo vedere il tensore di indice due come base per l'azione del gruppo di Lorentz, essendo questo spazio a 16 dimensioni... mi spiego meglio:
l'azione in realtà poi si pu\'o vedere (credo) determinata in questo modo... chiamo $V$ uno spazio vettoriale a quattro componenti, dove lorenz agisce di modo che: $A^\nu e_\nu \rightarrow \Lambda^\mu_\nu A^\nu e_\mu$ ovvero se noi guardiamo solo le coordinate ci dice come cambiano le coordinate di un punto dello spazio tempo cambiando riferimento.
Nel prodotto tensore $V \otimes V$ l'azione naturalmente indotta è quella standard, verifica:...
se chiamo $T^{ij} e_i\otimes e_j$ un generico elemento del prodotto tensore facendo agire un generico elemento del gruppo di Lorentz:
$T^{ij}e_i\otimes e_j\rightarrow T^{ij}\Lambda^\mu_i(e_\mu)\otimes\Lambda^\nu_j(e_\nu)=T^{i,j}\Lambda^\mu_i\Lambda^\nu_j e_\mu \otimes e_\nu$
da cui le coordinate del tensore si trasformando esattamente come nella regola solita...
Adesso la mia domanda è... una volta che abbiamo capito che se abbiamo un tensore possiamo vedere quelle componenti come coordinate di un elemento in questo spazio vettoriale e la trasformazione di coordinate come l'azione del gruppo di Lorentz in questo spazio vettoriale, sar\'a utile decomporre questa azione in componenti irriducibili in modo da trovare invarianti, quantit\'a che trasformano in modo facile,.... (credo si chiami problema di cleibsh-gordon)
Io per\'o non conosco bene le rappresentazioni irriducibili del gruppo di Lorenz ed al max so rappresentare i gruppi finiti, mentre con quelli di Lie sono ignorantissimo...
Il tutto naturalmente poi voleva essere applicata al tensore elettromagnetico... è un pò più chiaro ora?
in sostanza mi sto chiedendo questo, cercando di astrarre... Se noi prendiamo un generico tensore a due indici, noi sappiamo come cambia sotto l'azione di cambiamenti di coordinate, ovvero sotto l'azione del gruppo di Lorentz... solita regola: $T'^(\mu\nu)=\Lambda^\mu_\alpha \Lambda^\nu_\beta T^{\alpha\beta}$
Possiamo vedere il tensore di indice due come base per l'azione del gruppo di Lorentz, essendo questo spazio a 16 dimensioni... mi spiego meglio:
l'azione in realtà poi si pu\'o vedere (credo) determinata in questo modo... chiamo $V$ uno spazio vettoriale a quattro componenti, dove lorenz agisce di modo che: $A^\nu e_\nu \rightarrow \Lambda^\mu_\nu A^\nu e_\mu$ ovvero se noi guardiamo solo le coordinate ci dice come cambiano le coordinate di un punto dello spazio tempo cambiando riferimento.
Nel prodotto tensore $V \otimes V$ l'azione naturalmente indotta è quella standard, verifica:...
se chiamo $T^{ij} e_i\otimes e_j$ un generico elemento del prodotto tensore facendo agire un generico elemento del gruppo di Lorentz:
$T^{ij}e_i\otimes e_j\rightarrow T^{ij}\Lambda^\mu_i(e_\mu)\otimes\Lambda^\nu_j(e_\nu)=T^{i,j}\Lambda^\mu_i\Lambda^\nu_j e_\mu \otimes e_\nu$
da cui le coordinate del tensore si trasformando esattamente come nella regola solita...
Adesso la mia domanda è... una volta che abbiamo capito che se abbiamo un tensore possiamo vedere quelle componenti come coordinate di un elemento in questo spazio vettoriale e la trasformazione di coordinate come l'azione del gruppo di Lorentz in questo spazio vettoriale, sar\'a utile decomporre questa azione in componenti irriducibili in modo da trovare invarianti, quantit\'a che trasformano in modo facile,.... (credo si chiami problema di cleibsh-gordon)
Io per\'o non conosco bene le rappresentazioni irriducibili del gruppo di Lorenz ed al max so rappresentare i gruppi finiti, mentre con quelli di Lie sono ignorantissimo...
Il tutto naturalmente poi voleva essere applicata al tensore elettromagnetico... è un pò più chiaro ora?
Dirò una stupidaggine ma come è possibile che $T^{\mu\nu} e_\mu \otimes e_\nu$ sia un generico elemento di $V \otimes V$? Ad esempio non puoi ottenere i vettori nella direzione $e_\mu \otimes e_\mu$ per l'antisimmetria. Penso di non aver capito bene la questione che poni.
Scrivo come la vedo io: due operatori $A$ e $B$ che agiscono negli spazi $V$ e $W$ agiscono nello spazio prodotto tensore $V \otimes W$ secondo $(A \otimes B)(v \otimes w) = (A v) \otimes (B w) = A_i^j v^i B_n^m w^n e_j \otimes f_m := c^j d^m e_j \otimes f_m$, per cui possiamo considerare $c^j d^m$ come un tensore a due indici e vedere in che modo questo può essere ridotto.
In generale la decomposizione si dovrebbe fare sfruttando i tensori invarianti a disposizione, che per quanto riguarda il gruppo di Lorentz proprio sono $g_{\mu\nu}$ e $\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}$. Con il primo possiamo prendere la traccia del tensore mentre col secondo possiamo renderlo antisimmetrico, tuttavia essendo già $T^{\mu\nu}$ antisimmetrico (e quindi a traccia nulla) non credo ci sia modo di ridurlo ulteriormente.
Scrivo come la vedo io: due operatori $A$ e $B$ che agiscono negli spazi $V$ e $W$ agiscono nello spazio prodotto tensore $V \otimes W$ secondo $(A \otimes B)(v \otimes w) = (A v) \otimes (B w) = A_i^j v^i B_n^m w^n e_j \otimes f_m := c^j d^m e_j \otimes f_m$, per cui possiamo considerare $c^j d^m$ come un tensore a due indici e vedere in che modo questo può essere ridotto.
In generale la decomposizione si dovrebbe fare sfruttando i tensori invarianti a disposizione, che per quanto riguarda il gruppo di Lorentz proprio sono $g_{\mu\nu}$ e $\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}$. Con il primo possiamo prendere la traccia del tensore mentre col secondo possiamo renderlo antisimmetrico, tuttavia essendo già $T^{\mu\nu}$ antisimmetrico (e quindi a traccia nulla) non credo ci sia modo di ridurlo ulteriormente.
salve 
si infatti ho cambiato lettera da $F$ a $T$... nel secondo caso considero un generico tensore... lo facevo per generalizzare e far capire la domanda... mi pare che l'hai capita anyway....
beh è più o meno è quanto ho scritto sopra, no?
ecco tu mi stai dicendo che se ho un tensore $T^{\mu\nu}$ per estrarne le componenti di lorenz irriducibili devo contrarlo, right?... per esempio da $T^{\mu\nu}$ trovo $T^{\mu\nu}g_{\mu\nu}$ è un invariante e quindi associato ad una rappresentazione irriducible unidinesionale, ovvero una decomposizione partirebbe così $T^{\mu\nu}=T^{ab}g_{ab}Id+...$ (questo è nullo nel caso antisimmetrico, scusa se ho scritto "Id" per identità, ma se scrivessi la matrice identità dovrei scriverla come un tensore ad una componente contro ed una cova, che non è quelo che ho a sinistra e quindi non saprei come altro fare... il problema credo sia che la trasformazione di Lorenz a destra si deve fare non si deve fare in modo standard ma guardando le singole componenti)... un altro terimne dici che saprebbe $T_{ab}\epsilon^{ab\mu\nu}$ (e corrisponderebbe ad una rappresentazione di ordine sei, nel senso che le componenti indipendenti del tensore trasformano come se fossero base di una rappresentasione di ordine sei).... e secondo te sono finiti e quindi il tensore è già decomposto, right? probabilmente è vero, però immagino anche che sia vero solo perchè il tensore è antisimmetrico, visto che abbiamo trovato solo una rappresentazione di ordine uno ed una di ordine sei... (come faccio a sapere poi che effettivamente questa rappresentazione di ordine 6 è irriducibile? scusa ma sono ignorante sulle rappresentazioni di Lorentz)....
dovrebbero essercene altre di rappresentazioni oltre a quelle due in un generico tensore, no?
"Eredir":
Dirò una stupidaggine ma come è possibile che $T^{\mu\nu} e_\mu \otimes e_\nu$ sia un generico elemento di $V \otimes V$? Ad esempio non puoi ottenere i vettori nella direzione $e_\mu \otimes e_\mu$ per l'antisimmetria. Penso di non aver capito bene la questione che poni.
si infatti ho cambiato lettera da $F$ a $T$... nel secondo caso considero un generico tensore... lo facevo per generalizzare e far capire la domanda... mi pare che l'hai capita anyway....
"Eredir":
Scrivo come la vedo io: due operatori $A$ e $B$ che agiscono negli spazi $V$ e $W$ agiscono nello spazio prodotto tensore $V \otimes W$ secondo $(A \otimes B)(v \otimes w) = (A v) \otimes (B w) = A_i^j v^i B_n^m w^n e_j \otimes f_m := c^j d^m e_j \otimes f_m$, per cui possiamo considerare $c^j d^m$ come un tensore a due indici e vedere in che modo questo può essere ridotto.
beh è più o meno è quanto ho scritto sopra, no?
"Eredir":
In generale la decomposizione si dovrebbe fare sfruttando i tensori invarianti a disposizione, che per quanto riguarda il gruppo di Lorentz proprio sono $g_{\mu\nu}$ e $\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}$. Con il primo possiamo prendere la traccia del tensore mentre col secondo possiamo renderlo antisimmetrico, tuttavia essendo già $T^{\mu\nu}$ antisimmetrico (e quindi a traccia nulla) non credo ci sia modo di ridurlo ulteriormente.
ecco tu mi stai dicendo che se ho un tensore $T^{\mu\nu}$ per estrarne le componenti di lorenz irriducibili devo contrarlo, right?... per esempio da $T^{\mu\nu}$ trovo $T^{\mu\nu}g_{\mu\nu}$ è un invariante e quindi associato ad una rappresentazione irriducible unidinesionale, ovvero una decomposizione partirebbe così $T^{\mu\nu}=T^{ab}g_{ab}Id+...$ (questo è nullo nel caso antisimmetrico, scusa se ho scritto "Id" per identità, ma se scrivessi la matrice identità dovrei scriverla come un tensore ad una componente contro ed una cova, che non è quelo che ho a sinistra e quindi non saprei come altro fare... il problema credo sia che la trasformazione di Lorenz a destra si deve fare non si deve fare in modo standard ma guardando le singole componenti)... un altro terimne dici che saprebbe $T_{ab}\epsilon^{ab\mu\nu}$ (e corrisponderebbe ad una rappresentazione di ordine sei, nel senso che le componenti indipendenti del tensore trasformano come se fossero base di una rappresentasione di ordine sei).... e secondo te sono finiti e quindi il tensore è già decomposto, right? probabilmente è vero, però immagino anche che sia vero solo perchè il tensore è antisimmetrico, visto che abbiamo trovato solo una rappresentazione di ordine uno ed una di ordine sei... (come faccio a sapere poi che effettivamente questa rappresentazione di ordine 6 è irriducibile? scusa ma sono ignorante sulle rappresentazioni di Lorentz)....
dovrebbero essercene altre di rappresentazioni oltre a quelle due in un generico tensore, no?
"Thomas":
e secondo te sono finiti e quindi il tensore è già decomposto, right? probabilmente è vero, però immagino anche che sia vero solo perchè il tensore è antisimmetrico, visto che abbiamo trovato solo una rappresentazione di ordine uno ed una di ordine sei... (come faccio a sapere poi che effettivamente questa rappresentazione di ordine 6 è irriducibile? scusa ma sono ignorante sulle rappresentazioni di Lorentz)....
dovrebbero essercene altre di rappresentazioni oltre a quelle due in un generico tensore, no?
In generale non so come funzioni la procedura di riduzione per un gruppo qualsiasi. L'ho vista applicata in breve solo per quanto riguarda $SU(3)$ (ma credo vada bene anche per $SU(n)$) ed in quel caso le uniche operazioni che si usano sono la simmetrizzazione e l'antisimmetrizzazione degli indici più la sottrazione della traccia.
Non so se possono esserti utili (magari li conosci già) ma ti scrivo i due esempi che si trovano su Howard Georgi - Lie Algebras in Particle Physics riguardanti i tensori a due indici. In questo caso un indice basso (e così anche la barra) vuol dire che si riferisce alla rappresentazione coniugata.
$3 \otimes 3 = 6 \oplus \bar{3}$ infatti $u^i v^j = 1/2 (u^i v^j + u^j v^i) + 1/2 \epsilon^{ijk} \epsilon_{klm} u^l v^m$, ovvero una parte simmetrica più una antisimmetrica.
$3 \otimes \bar{3} = 8 \oplus 1$ infatti $u^i v_j = (u^i v_j - 1/3 \delta_j^i u^k v_k) + 1/3 \delta_j^i u^k v_k$, ovvero una parte a traccia nulla e uno scalare.
In questo casi non si possono fare ulteriori riduzioni perchè ho esaurito tutte le operazioni possibili con i tensori invarianti a disposizione. Chiaramente se avessi avuto più indici avrei potuto applicare queste operazioni sui diversi indici e fare più riduzioni, ad esempio $3 \otimes 8 = 15 \oplus \bar{6} \oplus 3$. Visto che per il gruppo di Lorentz non mi pare si possono costruire altri invarianti (ma potrei sbagliarmi) ci sono solo $\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}$ e $g_{\mu\nu}$, che sono due versioni lievemente camuffate di $\epsilon_{ijk}$ e $delta_{ij}$, e quindi direi che non si può fare molto altro. Attendo smentite in ogni caso.
"Eredir":
$3 \otimes \bar{3} = 8 \oplus 1$ infatti $u^i v_j = (u^i v_j - 1/3 \delta_j^i u^k v_k) + 1/3 \delta_j^i u^k v_k$, ovvero una parte simmetrica senza traccia e uno scalare.
simmetrica?....
anyway qua il gruppo che consideri è $SU(3))$?
"Thomas":
[quote="Eredir"]
$3 \otimes \bar{3} = 8 \oplus 1$ infatti $u^i v_j = (u^i v_j - 1/3 \delta_j^i u^k v_k) + 1/3 \delta_j^i u^k v_k$, ovvero una parte simmetrica senza traccia e uno scalare.
simmetrica?....
anyway qua il gruppo che consideri è $SU(3))$?[/quote]
Scusa, ho ricopiato la riga di sopra e mi è rimasto "una parte simmetrica", ora edito.
Comunque sì, non l'ho scritto troppo esplicitamente ma mi riferivo ad $SU(3)$.
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