Tensore. Dubbi sulla definizione
Ragazzi ho avuto alcuni problemi nel comprendere un concetto:
Sul libro ho trovato che il tensore doppio (ente matematico caratterizzato da due componenti scalari) è tale che:
[tex]$\vec{A}\vec{a}=\vec{u}$[/tex]
cioè applicato al vettore [tex]$\vec{a}$[/tex], lo trasforma nel vettore [tex]$\vec{u}$[/tex].
Ciò che non mi è chiaro è, se tra [tex]$\vec{A}$[/tex] e [tex]$\vec{a}$[/tex] ci sia un prodotto vettoriale.
Perché il mio prof leggendo l'operazione dice testualmente : "il tensore A applicato al vettore a, lo trasforma nel vettore u"; quindi non ho capito se sia un prodotto vettoriale;forse mi sbaglio.
Per favore, aiutatemi a capire.
Sul libro ho trovato che il tensore doppio (ente matematico caratterizzato da due componenti scalari) è tale che:
[tex]$\vec{A}\vec{a}=\vec{u}$[/tex]
cioè applicato al vettore [tex]$\vec{a}$[/tex], lo trasforma nel vettore [tex]$\vec{u}$[/tex].
Ciò che non mi è chiaro è, se tra [tex]$\vec{A}$[/tex] e [tex]$\vec{a}$[/tex] ci sia un prodotto vettoriale.
Perché il mio prof leggendo l'operazione dice testualmente : "il tensore A applicato al vettore a, lo trasforma nel vettore u"; quindi non ho capito se sia un prodotto vettoriale;forse mi sbaglio.
Per favore, aiutatemi a capire.
Risposte
?due componenti scalari?
Oh! ho capito!
nel senso che
l'elemento $t_(ij)$ del
Tensore sia uguale a $p_iq_j$, ove
$p_i$ è l'i-esima componente di un vettore $\vecp$, e $q_j$ la
j-esima di un vettore $\vecq$.
Infatti quello
è un "tensore del secondo ordine".
(nota ai curatori del Forum: non
trovo tra i simboli come scrivere il "prodotto diade").
Puoi averlo rappresentato da una matrice, e quello
è l'usuale prodotto matrice per vettore: $u_i=t_(ij)a_j$.
Oh! ho capito!
nel senso che
l'elemento $t_(ij)$ del
Tensore sia uguale a $p_iq_j$, ove
$p_i$ è l'i-esima componente di un vettore $\vecp$, e $q_j$ la
j-esima di un vettore $\vecq$.
Infatti quello
è un "tensore del secondo ordine".
(nota ai curatori del Forum: non
trovo tra i simboli come scrivere il "prodotto diade").
Puoi averlo rappresentato da una matrice, e quello
è l'usuale prodotto matrice per vettore: $u_i=t_(ij)a_j$.
Formalmente, e qui così colgo l'occasione, per me, di formularlo:
Sia dato $S$ lo spazio di tutte le combinazioni lineari tra i vettori di:
$VxW$, ove $V$ e $W$ sono spazi vettoriali;
Sia $S$ QUOZIENTATO con
il suo sottospazio $I$, $I$ tale che
l'immagine delle combinazioni lineari apppartenenti ad $I$ abbia
come sua componente il vettore nullo di $V$ OR il vettore nullo di $W$.
QUOZIENTARE lo spazio $S$ con $I$
è ottenere classi di equivalenza: un elemento di una classe $a$, sommato ad un elemento di $I$, darà
un elemento di $a$ ancora.
Poichè gli
elemnti di $I$ sommati ad elementi di $I$ stesso danno elementi di $I$, quella
classe di equivalenza, $I$ stesso allora, sarà lo ZERO dello
spazio quozientato. (nota che hai certo il vettore nullo elemento
di $S$ in quella classe, ed è
certo elemento di $I$ in quanto $I$ è sottospazio).
Ribadisco che
gli elementi di $S$ e di $I$ sono combinazioni lineari, non
i vettori di $VxW$.
Tale spazio quozientato è
il prodotto tensoriale di $V$ e $W$.
Un tensore è un elemento di questo spazio prodotto tensoriale.
(ovviamente puoi definire un prodotto tensoriale tra $n$ spazi vettoriali qualsiasi).
Uh! se ho sbagliato la definizione, per favore ditemelo.
Ritenni giusto scriverla qui, già
pure solo ad "incuriosire" circa l'entità "tensore".
Sia dato $S$ lo spazio di tutte le combinazioni lineari tra i vettori di:
$VxW$, ove $V$ e $W$ sono spazi vettoriali;
Sia $S$ QUOZIENTATO con
il suo sottospazio $I$, $I$ tale che
l'immagine delle combinazioni lineari apppartenenti ad $I$ abbia
come sua componente il vettore nullo di $V$ OR il vettore nullo di $W$.
QUOZIENTARE lo spazio $S$ con $I$
è ottenere classi di equivalenza: un elemento di una classe $a$, sommato ad un elemento di $I$, darà
un elemento di $a$ ancora.
Poichè gli
elemnti di $I$ sommati ad elementi di $I$ stesso danno elementi di $I$, quella
classe di equivalenza, $I$ stesso allora, sarà lo ZERO dello
spazio quozientato. (nota che hai certo il vettore nullo elemento
di $S$ in quella classe, ed è
certo elemento di $I$ in quanto $I$ è sottospazio).
Ribadisco che
gli elementi di $S$ e di $I$ sono combinazioni lineari, non
i vettori di $VxW$.
Tale spazio quozientato è
il prodotto tensoriale di $V$ e $W$.
Un tensore è un elemento di questo spazio prodotto tensoriale.
(ovviamente puoi definire un prodotto tensoriale tra $n$ spazi vettoriali qualsiasi).
Uh! se ho sbagliato la definizione, per favore ditemelo.
Ritenni giusto scriverla qui, già
pure solo ad "incuriosire" circa l'entità "tensore".
Ringrazio entrambi per le risposte.
Quindi sostanzialmente non è un prodotto vettoriale. E' il prodotto tra una matrice ed un vettore. Esatto? Oppure si tratta di altro?
(Prima avevo sbagliato a dire due componenti; in genere un tensore ha [tex]$3^2$[/tex] componenti)
Un'altra cosa: qual'è la differenza tra tensore doppio, triplo, quadruplo ecc???
Quindi sostanzialmente non è un prodotto vettoriale. E' il prodotto tra una matrice ed un vettore. Esatto? Oppure si tratta di altro?
(Prima avevo sbagliato a dire due componenti; in genere un tensore ha [tex]$3^2$[/tex] componenti)
Un'altra cosa: qual'è la differenza tra tensore doppio, triplo, quadruplo ecc???
Grazie per l' "entrambi", ma sono uno solo 
.
Sì, quello consideralo un prodotto matrice-vettore.
Ora uso indici "in alto" (si chiamano controvarianti) e "in basso" (covarianti)
-cosa
che prima avevamo omesso di fare, di distinguerli.
La generica componente di
un tensore di ordine (m+n)-esimo
ha forma
$a*_("(1)"i)a*_("(2)"j)...a*_("(m)"k)a_("(m+1)")^pa_("(m+2)")^q...a_("(m+n)")^r$
Dove $a_("(m+t)")^s$ è la s-esima componente
di un vettore dello spazio vettoriale (m+t)-esimo di un prodotto tensoriale (come s'era detto),
e $a*_("(f)"g)$ è la g-esima
componente di un vettore nello spazio f-esimo, /spazio/ delle
applicazioni lineari da un qualche spazio vettoriale in $RR$ (spazio duale).
Insomma, un tensore di ordine (m-n)
è un elemento di
un prodotto tensoriale tra m "spazi duali" ed n spazi vettoriali
.Sì, quello consideralo un prodotto matrice-vettore.
Ora uso indici "in alto" (si chiamano controvarianti) e "in basso" (covarianti)
-cosa
che prima avevamo omesso di fare, di distinguerli.
La generica componente di
un tensore di ordine (m+n)-esimo
ha forma
$a*_("(1)"i)a*_("(2)"j)...a*_("(m)"k)a_("(m+1)")^pa_("(m+2)")^q...a_("(m+n)")^r$
Dove $a_("(m+t)")^s$ è la s-esima componente
di un vettore dello spazio vettoriale (m+t)-esimo di un prodotto tensoriale (come s'era detto),
e $a*_("(f)"g)$ è la g-esima
componente di un vettore nello spazio f-esimo, /spazio/ delle
applicazioni lineari da un qualche spazio vettoriale in $RR$ (spazio duale).
Insomma, un tensore di ordine (m-n)
è un elemento di
un prodotto tensoriale tra m "spazi duali" ed n spazi vettoriali
http://dma.ing.uniroma1.it/users/m_fluid_c1/index.html
-vai a "materiale", "Appendice" - è il mio corso di Fluidodinamica
-vai a "materiale", "Appendice" - è il mio corso di Fluidodinamica
OK ti ringrazio!!
Però non riesco ancora ben a comprendere perché sul mio libro si parla sempre di tensore doppio.
Correggimi se sbaglio:
il tensore doppio ha 9 componenti scalari e associa ad un vettore un altro vettore.
il tensore triplo, allora cosa é? cioè quante componenti scalari ha?? e il tensore semplice??
E' questo che non mi è chiaro.
Sul mio libro delle volte usa il termine "tensore doppio", altre volte: "tensore", non capisco se sono la stessa cosa.
Se riesci a chiarirmi questo concetto, mi avrai liberato dai dubbi
Però non riesco ancora ben a comprendere perché sul mio libro si parla sempre di tensore doppio.
Correggimi se sbaglio:
il tensore doppio ha 9 componenti scalari e associa ad un vettore un altro vettore.
il tensore triplo, allora cosa é? cioè quante componenti scalari ha?? e il tensore semplice??
E' questo che non mi è chiaro.
Sul mio libro delle volte usa il termine "tensore doppio", altre volte: "tensore", non capisco se sono la stessa cosa.
Se riesci a chiarirmi questo concetto, mi avrai liberato dai dubbi
In effetti c'è scritto in quell'appendice.
"tensore semplice" è un vettore, o tensore di ordine 1.
tensore di ordine 0 sono gli scalari.
Un tensore di ordine 2 ha $mXn$ componenti scalari:
Nel tuo caso $m=n=3$.
Come stai lavorando, con prodotti tensoriali di $RR^3$, allora
un tensore del terzo ordine avrà 27 componenti scalari, e così via... .
Penso che quando dica solo "tensore" si riferisca al "tensore doppio".
O, altrimenti, si specifica (tensore del quarto ordine... etc.); e, per
tensori di ordine zero ed uno si dice
semplicemente "scalari" e "vettori":
Bye.
"tensore semplice" è un vettore, o tensore di ordine 1.
tensore di ordine 0 sono gli scalari.
Un tensore di ordine 2 ha $mXn$ componenti scalari:
Nel tuo caso $m=n=3$.
Come stai lavorando, con prodotti tensoriali di $RR^3$, allora
un tensore del terzo ordine avrà 27 componenti scalari, e così via... .
Penso che quando dica solo "tensore" si riferisca al "tensore doppio".
O, altrimenti, si specifica (tensore del quarto ordine... etc.); e, per
tensori di ordine zero ed uno si dice
semplicemente "scalari" e "vettori":
Bye.
Ho capito.
Quindi:
tensore di ordine zero = 1 componente scalare (uno scalare)
tensore di ordine uno = 3 componenti scalari (il vettore, esprimibile con la matrice colonna)
tensore di ordine due = 9 componenti scalari (estensione del concetto di vettore)
Quindi:
tensore di ordine zero = 1 componente scalare (uno scalare)
tensore di ordine uno = 3 componenti scalari (il vettore, esprimibile con la matrice colonna)
tensore di ordine due = 9 componenti scalari (estensione del concetto di vettore)
Sì, in $RR^3$, ed $RR^3$-tensorial*-$RR^3$...
* questo è un simbolo che non ho trovtao come scrivere: X dentro un cerchio: prodotto
tensoriale o 'diade'.
* questo è un simbolo che non ho trovtao come scrivere: X dentro un cerchio: prodotto
tensoriale o 'diade'.
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