Tensore d'inerzia rispetto ad un polo
salve a tutti,ho un esercizio di questo genere:
supposta la massa costante da cui la densità risulta uguale a 1 ho una figura sull'asse $ xy $ che si presenta composta così :
http://img593.imageshack.us/img593/4531/29348605.jpg
ora il mio problema è determinare il tensore d'inerzia rispetto al polo $O$ posto in basso a sinistra.
da qui ho ragionato così:
1) ho ricavato la posizione del baricentro $ (2.5,1.5)$
2) ho scomposto la figura in due rettangoli,partendo da sinistra il primo di base 2 e lato 4 A1 ed il secondo di base 4 e lato 2 A2.
opero sul primo rettangolo A1:
tenendo fisso il sistema di riferimento in basso a sinistra,grazie al teorema di Huygens ho trovato $J11 = (m*b^2)/12 + m*d^2$ e $J22= (m*a^2)/12 + m*d^2$
i risultati sono rispettivamente $128/3 $ e $32/3$
inoltre ho trovato anche il momento di deviazione $J12=- int_(0)^(2) int_(0)^(4) xy \ dx \ dxy $ ottenendo come risultato $-16$
ora iniziano i miei problemi...per determinare $J33$ io avrei usato la formula $ (sum m(a^2+b^2))/12 $ ma qualcosa mi dice che questo non è corretto...qualcuno ha qualche idea ?
inoltre,quando passo al secondo rettangolo A2,come si potrebbe formulare l'equazione ?
grazie !
supposta la massa costante da cui la densità risulta uguale a 1 ho una figura sull'asse $ xy $ che si presenta composta così :
http://img593.imageshack.us/img593/4531/29348605.jpg
ora il mio problema è determinare il tensore d'inerzia rispetto al polo $O$ posto in basso a sinistra.
da qui ho ragionato così:
1) ho ricavato la posizione del baricentro $ (2.5,1.5)$
2) ho scomposto la figura in due rettangoli,partendo da sinistra il primo di base 2 e lato 4 A1 ed il secondo di base 4 e lato 2 A2.
opero sul primo rettangolo A1:
tenendo fisso il sistema di riferimento in basso a sinistra,grazie al teorema di Huygens ho trovato $J11 = (m*b^2)/12 + m*d^2$ e $J22= (m*a^2)/12 + m*d^2$
i risultati sono rispettivamente $128/3 $ e $32/3$
inoltre ho trovato anche il momento di deviazione $J12=- int_(0)^(2) int_(0)^(4) xy \ dx \ dxy $ ottenendo come risultato $-16$
ora iniziano i miei problemi...per determinare $J33$ io avrei usato la formula $ (sum m(a^2+b^2))/12 $ ma qualcosa mi dice che questo non è corretto...qualcuno ha qualche idea ?
inoltre,quando passo al secondo rettangolo A2,come si potrebbe formulare l'equazione ?
grazie !
Risposte
occhio a non spingere per rispondere 
Per quanto riguarda i momenti $J_1$ $J_2$ (e $J_{12}$), puoi applicare la proprietà additiva scomponendo la figura in due rettangoli e applicando ove occorre Huygens.
Per quanto riguarda i momenti rispetto a $J_3$ (dove l'asse 3 è quello perpendicolare al disegno) puoi osservare che $J_3=J_1+J_2$ per una figura piana, il perché è abbastanza semplice da dimostrare...
Per quanto riguarda i momenti rispetto a $J_3$ (dove l'asse 3 è quello perpendicolare al disegno) puoi osservare che $J_3=J_1+J_2$ per una figura piana, il perché è abbastanza semplice da dimostrare...
ah dunque è la somma...capisco...grazie !
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