Tensore D'inerzia e Teorema di Poinsot
salve a tutti
avrei qualche problema nel dimostrare che se in un corpo rigido prendiamo come sistema di riferimento gli assi principali d'inerzia il momento angolare si scrive uguale al momento d'inerzia per omega.
il mio problema è il seguente:
una volta scritto che il momento angolare è uguale arr $ sum ri X mi(w X ri) $ (scusate la scrittura ma non so come farla meglio) devo dimostrare che quello che ho scritto è uguale ad omega per il momento d'inerzia.
grazie
avrei qualche problema nel dimostrare che se in un corpo rigido prendiamo come sistema di riferimento gli assi principali d'inerzia il momento angolare si scrive uguale al momento d'inerzia per omega.
il mio problema è il seguente:
una volta scritto che il momento angolare è uguale arr $ sum ri X mi(w X ri) $ (scusate la scrittura ma non so come farla meglio) devo dimostrare che quello che ho scritto è uguale ad omega per il momento d'inerzia.
grazie
Risposte
Se ti può aiutare ho riassunto nei miei appunti un pezzo del Goldstein:
TENSORE D'INERZIA
Se un corpo rigido ruota con un punto fisso dato dal centro del riferimento cartesiano $Oxyz$ allora secondo definizione il momento angolare è dato da $\vec L=\vec r\times \vec p=m(\vec r\times \vec v)=\sum_i m_i(\vec r_i\times \vec v_i)=\sum_i m_i(\vec r_i\times (\vec \omega \times \vec r_i))=\sum_i m_i(\vec \omega \vec r_i^2-\vec r_i \cdot (\vec r_i \cdot \vec \omega_i))$ dove $v_i$ e $r_i$ sono le posizioni e le velocità delle j-esime particelle rispetto a $O$. Si noti che $\omega$ non varia da punto a punto. L'energia cinetica è data da $T=\frac{1}{2}\sum_i m_i \vec v^2_i=\frac{1}{2}\sum_i m_i (\vec \omega \times \vec r_i)^2$, ma il quadrato di un vettore è il prodotto scalare con se stesso allora $T=\frac{1}{2}\sum_i [(\vec \omega \times \vec r_i)\cdot (\vec \omega \times \vec r_i)])$ Sviluppando esplicititamente $L$ o $T$ e raccogliendo rispettivamente i coefficienti delle velocità angolari o delle velocità angolari elevate a quadrato otteniamo la matrice d'inerzia. Dato che $\vec L=I\vec \omega$ possiamo scrivere $I=\vec L/\vec \omega$. La natura del mmento di inerzia I è quella di un tensore. La matrice rappresentativa è simmetrica definita positva. Gli elementi diagonali sono chiamata coefficienti d'inerzia mentre gli altri prodotti d'inerzia. Le componenti le puoi trovare in giro. Riprendiamo l'energia cinetica. La possiamo riscrivere come $T=\frac{1}{2}\sum_i m_i \vec v_i \cdot (\vec \omega \times \vec r_i)= \vec \omega / 2 \cdot \sum_i m_i (\vec r_i \times \vec v_i)$. Si vede che la sommatoria rappresenta il momento angolare del corpo rispetto all'origine $O$. Ponendo $\vec \omega=\omega \vec n$ si ottiene $T=\frac{\vec \omega \cdot \vec L}{2}=\frac{\vec \omega \cdot I \vec \omega}{2}=\frac{\omega^2}{2}\vec n \cdot I \vec n=\frac{\omega^2}{2}I_r$ dove lo scalare $I_r$ prende il nome di momento di inerzia rispetto all'asse di rotazione. Il momento di inerzia ci serve per esprimere nella Lagrangiana l'energia cinetica rotazionale.
AUTOVALORI DEL TENSORE DI INERZIA E RIDUZIONE AGLI ASSI PRINCIPALI
I coefficienti del tensore d'inerzia $I$ dipendono sia dall'origine del sistema di riferimento $Oxyz$ sia dall'orientazione degli assi. Sarebbe comodo avere un sistema $Ox'y'z'$ per cui la matrice I prende la forma diagonale. Si seplificherebbe l'espressione di $L$ ed anche dell'energia cinetica $T=1/2 (I_1\omega_x^2+I_2\omega_y^2+I_3\omega_z^2)$. Gli assi per cui la matrice è diagnale vengono chiamati principali d'inerzia, gli elementi diagonali di $I$ prendono il nome di momenti principali d'inerzia. E' sempre possibile trovare un sistema di assi rispetto al quale la matrice è diagonale. Questo è conseguenza del carattere hermitiano di I. Quando gli autovalori sono diversi i rispettivi autovettori sono ortognonali. Quando due degli autovalori sono uguali gli autovettri non sono necessariamente ortogonali. Una combinazione lineare di questi autovettori è pure un autovettore corrispondente allo stesso autovalore. Di conseguenza tutti i vettori del piano così definito sono autovettori. Si costruisce allora una terna ortogonale scegliendo due autovettori ortogonali nel piano e l'ultimo necessariamente ortogonale. Si può passare a $Ox'y'z'$ attraverso una trasformazione ortogonale. Tale procedimento prende il nome di riduzione agli assi principali. Si può arrivare alla definizione si assi principali mediante delle considerazioni geometriche. Ricordando che $I=\vec n \cdot I \vec n$ sostituendo ad $\vec n=\alpha \vec i+\beta \vec j+ \gamma \vec k$ dove i coefficienti sono i coseni direttori, otteniamo $I=I_{xx}\alpha^2+I_{yy}\beta^2+I_{zz}\gamma^2-2I_{xy}\alpha\beta-2I_{yz}\beta\gamma-2I_{zx}\gamma\alpha$. Risulta utile definire un vettre $\rho=\vec n/\sqrt{I}$. $I$ espressa nei termini di questo nuovo vettore diventa $I=I_{xx}\rho_1^2+I_{yy}\rho_2^2+I_{zz}\rho_3^2-2I_{xy}\rho_1\rho_2-2I_{yz}\rho_2\rho_3-2I_{zx}\rho_3\rho_1$. Nelle variabili $\rho_i$ l'equazione rappresenta un ellissoide, chiamato ellissoide d'inerzia. E' noto che si può passare da un sistema di coordinate $\rho '_i$ in cui l'ellissoide prende la forma $I=I_{xx}\rho_1^{'2}+I_{yy}\rho_2^{'2}+I_{zz}\rho_3^{'2}$. Una quantità legata al momento d'inerzia è il raggio di girazione definito da $I=MR_0^2$.
In ogni caso ti consiglio di fare riferimento al testo originale.
TENSORE D'INERZIA
Se un corpo rigido ruota con un punto fisso dato dal centro del riferimento cartesiano $Oxyz$ allora secondo definizione il momento angolare è dato da $\vec L=\vec r\times \vec p=m(\vec r\times \vec v)=\sum_i m_i(\vec r_i\times \vec v_i)=\sum_i m_i(\vec r_i\times (\vec \omega \times \vec r_i))=\sum_i m_i(\vec \omega \vec r_i^2-\vec r_i \cdot (\vec r_i \cdot \vec \omega_i))$ dove $v_i$ e $r_i$ sono le posizioni e le velocità delle j-esime particelle rispetto a $O$. Si noti che $\omega$ non varia da punto a punto. L'energia cinetica è data da $T=\frac{1}{2}\sum_i m_i \vec v^2_i=\frac{1}{2}\sum_i m_i (\vec \omega \times \vec r_i)^2$, ma il quadrato di un vettore è il prodotto scalare con se stesso allora $T=\frac{1}{2}\sum_i [(\vec \omega \times \vec r_i)\cdot (\vec \omega \times \vec r_i)])$ Sviluppando esplicititamente $L$ o $T$ e raccogliendo rispettivamente i coefficienti delle velocità angolari o delle velocità angolari elevate a quadrato otteniamo la matrice d'inerzia. Dato che $\vec L=I\vec \omega$ possiamo scrivere $I=\vec L/\vec \omega$. La natura del mmento di inerzia I è quella di un tensore. La matrice rappresentativa è simmetrica definita positva. Gli elementi diagonali sono chiamata coefficienti d'inerzia mentre gli altri prodotti d'inerzia. Le componenti le puoi trovare in giro. Riprendiamo l'energia cinetica. La possiamo riscrivere come $T=\frac{1}{2}\sum_i m_i \vec v_i \cdot (\vec \omega \times \vec r_i)= \vec \omega / 2 \cdot \sum_i m_i (\vec r_i \times \vec v_i)$. Si vede che la sommatoria rappresenta il momento angolare del corpo rispetto all'origine $O$. Ponendo $\vec \omega=\omega \vec n$ si ottiene $T=\frac{\vec \omega \cdot \vec L}{2}=\frac{\vec \omega \cdot I \vec \omega}{2}=\frac{\omega^2}{2}\vec n \cdot I \vec n=\frac{\omega^2}{2}I_r$ dove lo scalare $I_r$ prende il nome di momento di inerzia rispetto all'asse di rotazione. Il momento di inerzia ci serve per esprimere nella Lagrangiana l'energia cinetica rotazionale.
AUTOVALORI DEL TENSORE DI INERZIA E RIDUZIONE AGLI ASSI PRINCIPALI
I coefficienti del tensore d'inerzia $I$ dipendono sia dall'origine del sistema di riferimento $Oxyz$ sia dall'orientazione degli assi. Sarebbe comodo avere un sistema $Ox'y'z'$ per cui la matrice I prende la forma diagonale. Si seplificherebbe l'espressione di $L$ ed anche dell'energia cinetica $T=1/2 (I_1\omega_x^2+I_2\omega_y^2+I_3\omega_z^2)$. Gli assi per cui la matrice è diagnale vengono chiamati principali d'inerzia, gli elementi diagonali di $I$ prendono il nome di momenti principali d'inerzia. E' sempre possibile trovare un sistema di assi rispetto al quale la matrice è diagonale. Questo è conseguenza del carattere hermitiano di I. Quando gli autovalori sono diversi i rispettivi autovettori sono ortognonali. Quando due degli autovalori sono uguali gli autovettri non sono necessariamente ortogonali. Una combinazione lineare di questi autovettori è pure un autovettore corrispondente allo stesso autovalore. Di conseguenza tutti i vettori del piano così definito sono autovettori. Si costruisce allora una terna ortogonale scegliendo due autovettori ortogonali nel piano e l'ultimo necessariamente ortogonale. Si può passare a $Ox'y'z'$ attraverso una trasformazione ortogonale. Tale procedimento prende il nome di riduzione agli assi principali. Si può arrivare alla definizione si assi principali mediante delle considerazioni geometriche. Ricordando che $I=\vec n \cdot I \vec n$ sostituendo ad $\vec n=\alpha \vec i+\beta \vec j+ \gamma \vec k$ dove i coefficienti sono i coseni direttori, otteniamo $I=I_{xx}\alpha^2+I_{yy}\beta^2+I_{zz}\gamma^2-2I_{xy}\alpha\beta-2I_{yz}\beta\gamma-2I_{zx}\gamma\alpha$. Risulta utile definire un vettre $\rho=\vec n/\sqrt{I}$. $I$ espressa nei termini di questo nuovo vettore diventa $I=I_{xx}\rho_1^2+I_{yy}\rho_2^2+I_{zz}\rho_3^2-2I_{xy}\rho_1\rho_2-2I_{yz}\rho_2\rho_3-2I_{zx}\rho_3\rho_1$. Nelle variabili $\rho_i$ l'equazione rappresenta un ellissoide, chiamato ellissoide d'inerzia. E' noto che si può passare da un sistema di coordinate $\rho '_i$ in cui l'ellissoide prende la forma $I=I_{xx}\rho_1^{'2}+I_{yy}\rho_2^{'2}+I_{zz}\rho_3^{'2}$. Una quantità legata al momento d'inerzia è il raggio di girazione definito da $I=MR_0^2$.
In ogni caso ti consiglio di fare riferimento al testo originale.
grazie mille della risposta!è proprio quello che cercavo!
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