Tensore d'inerzia e seconda equazione cardinale dei sistemi
Salve ragazzi 
avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere alcuni dubbi riguardanti il tensore d'inerzia e la seconda equazione cardinale dei sistemi
Il tensore d'inerzia è costante se calcolato rispetto a un sistema di riferimento solidale agli assi principali d'inerzia del corpo
ma allora perchè non risulta vero che
[tex]\tau=\frac{dL}{dt}[/tex]
?
---------------------------------------------------------------------------------------
Inoltre sapete dirmi come posso ricavare la seconda equazione cardinale dei sistemi, cioè
[tex]\tau=d\frac{\vec{L}}{dt}+\vec{\omega} \times \vec{L}[/tex]
?
Vi ringrazio
avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere alcuni dubbi riguardanti il tensore d'inerzia e la seconda equazione cardinale dei sistemiIl tensore d'inerzia è costante se calcolato rispetto a un sistema di riferimento solidale agli assi principali d'inerzia del corpo
ma allora perchè non risulta vero che
[tex]\tau=\frac{dL}{dt}[/tex]
?
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Inoltre sapete dirmi come posso ricavare la seconda equazione cardinale dei sistemi, cioè
[tex]\tau=d\frac{\vec{L}}{dt}+\vec{\omega} \times \vec{L}[/tex]
?
Vi ringrazio
Risposte
"Xavier310":
Salve ragazzi
Il tensore d'inerzia è costante se calcolato rispetto a un sistema di riferimento solidale agli assi principali d'inerzia del corpo. Ma allora perchè non risulta vero che
[tex]\tau=\frac{dL}{dt}[/tex] ?
Perchè fai questa deduzione?
Rettifico innanzitutto leggermente ciò che tu dici : normalmente il tensore di inerzia si calcola rispetto alla terna "coincidente" con la terna principale di inerzia del corpo in moto, che devi immaginare "bloccata" al corpo stesso, con origine nel punto cha hai scelto. Se l'origine è il cdm del corpo, la terna è "centrale" di inerzia.
Quindi il tensore di inerzia riferito alla terna principale è diagonale, e gli elementi della diagonale sono i tre momenti principali di inerzia, o"centrali" nel caso detto : $ = diag ( I_1, I_2,I_3)$
Ma, anche se la terna non fosse quella principale, riferita al punto scelto come origine delle coordinate, se "fissi", cioè "blocchi" comunque i tre assi al corpo, il tensore di inerzia, pur non essendo diagonale, non cambierebbe. Vi sarebbero termini "fuori diagonale" che sono i momenti centrifughi, ma il tensore rimane immutato nel moto.
Chiarito questo, perchè pensi che "non risulta vero che : [tex]\tau=\frac{dL}{dt}[/tex] ?
A secondo membro c'è la derivata rispetto al tempo del momento angolare , che è dato da : $\vecL = \vecomega$ , cioè, se ci riferiamo alla terna principale : $ L = (I_1\omega_1,I_2\omega_2,I_3\omega_3) $.
Se il tensore d'inerzia non cambia, può cambiare però la velocità angolare, per effetto di un momento di forze esterne.
Ora però, come si calcola la derivata di $vec L$ ? Questa è la seconda parte della tua domanda:
Inoltre sapete dirmi come posso ricavare la seconda equazione cardinale dei sistemi, cioè
[tex]\tau=d\frac{\vec{L}}{dt}+\vec{\omega} \times \vec{L}[/tex] ?
Vi ringrazio
Il vettore $vecL$ può cambiare, nel riferimento mobile, perchè cambia $vec\omega$ in tale riferimento (cioè le sue componenti $ (\omega_1,\omega_2,\omega_3)$, se ci stiamo riferendo alla terna principale) Perciò, si deve derivare $vecL$ nel "riferimento mobile", e questo è il primo termine al secondo membro di quello che hai scritto tu.
Ma non basta: la terna mobile in generale è dotata di moto rototraslatorio rispetto alla terna fissa. Prescindendo dalla traslazione, per la quale si può sempre aggiungere la velocità del moto traslatorio se occorre, consideriamo la sola rotazione, con velocità angolare $vec\omega$ . Per effetto di questa, lo spazio mobile è dotato di moto rotatorio di "corpo rigido" rispetto al fisso.
Dato un punto $P$ solidale allo spazio mobile, avente vettore posizione $vecr$ , la velocità nel moto rotatorio di corpo rigido è data quindi da :
$(dvecr)/(dt) = vec\omega\times vecr$ .
Perciò, se un punto $Q$ è in moto nel riferimento mobile, esso ha : velocità relativa nel rif mobile uguale a :$[(dvecr)/(dt)]_M $ ; e inoltre velocità di trascinamento data dalla quantità prima scritta : $vec\omega\times vec(r)$ , perchè in un certo istante esso passa per la posizione $P$ dello spazio mobile.
Allora la velocità assoluta ( prescidendo, ripeto, dalla componente traslatoria del riferimento) è data, rispetto al rif fisso, da :
$[(dvecr)/(dt)]_F= [(dvecr)/(dt)]_M + vec\omega\times vecr$
Ora questa formula è del tutto generale. Al posto di $vecr$ ci può stare un vettore qualsiasi. Si può definire un "operatore derivata" nel rif fisso, dato da :
$[(d....)/(dt)]_F= [(d....)/(dt)]_M + vec\omega\times.....$
dove al posto dei puntini di metti il vettore che vuoi. Se al posto dei puntini ci metti i versori degli assi mobili, ottieni le famose formule di Poisson.
Perciò anche il vettore $vecL$ può essere derivato, nel rif fisso, come detto sopra :
$[(dvecL)/(dt)]_F= [(dvecL)/(dt)]_M + vec\omega\times vecL$
e questa è proprio la relazione che esprime la derivata del momento angolare, calcolata nel rif fisso.
Che poi tale derivata sia uguale al momento delle forze esterne ( il polo è sempre lo stesso, fisso o coincidente col baricentro, come normalmente capita negli esercizi), la dimostrazione si ricava a partire da quella relativa ad un punto materiale: sono passaggi di calcolo vettoriale, che si trovano in tutti i libri di Meccanica Razionale.
Se vuoi, dai un'occhiata a questo esercizio:
applicaz-momento-delle-f-di-inerzia-t97674.html#p649639
Grazie della risposta navigatore
In merito a ciò che hai scritto, vorrei chiederti:
Ma in quali casi il tensore d'inerzia non cambia? Quando lo si calcola rispetto agli assi principali d'inerzia?
Inoltre a senso parlare di tensore d'inerzia rispetto a un punto?
Altro chiarimento:
Quindi la differenza tra
[tex]\tau=\frac{dL}{dt}[/tex]
e
[tex]\tau=\frac{d\vec{L}}{dt}+\vec{\omega} \times \vec{L}[/tex]
sta nel fatto che nella prima, momento angolare a velocità angolare sono parallele? (Probabilmente sbaglio ad interpretare il momento angolare in quelle formula)
In merito a ciò che hai scritto, vorrei chiederti:
Se il tensore d'inerzia non cambia, può cambiare però la velocità angolare, per effetto di un momento di forze esterne.
Ma in quali casi il tensore d'inerzia non cambia? Quando lo si calcola rispetto agli assi principali d'inerzia?
Inoltre a senso parlare di tensore d'inerzia rispetto a un punto?
Altro chiarimento:
Quindi la differenza tra
[tex]\tau=\frac{dL}{dt}[/tex]
e
[tex]\tau=\frac{d\vec{L}}{dt}+\vec{\omega} \times \vec{L}[/tex]
sta nel fatto che nella prima, momento angolare a velocità angolare sono parallele? (Probabilmente sbaglio ad interpretare il momento angolare in quelle formula)
Xavier, penso tu abbia bisogno di rivedere le tue conoscenze circa i momenti di inerzia, il tensore di inerzia, il momento angolare. Posso darti solo delle risposte approssimate e brevi.
Dato un solido e fissato un suo punto $O$ e un sistema di coordinate $Oxyz$ , si definiscono i tre momenti di inerzia rispetto ai tre assi, e i momenti centrifughi rispetto ai tre piani coordinati, e li si mette in una matrice simmetrica a tre righe e tre colonne, detta anche “tensore di inerzia”, di cui la diagonale principale è costituita dai tre momenti di inerzia, gli elementi fuori diagonale sono i momenti centrifughi. La matrice di inerzia cambia se cambiano gli assi, passanti per $O$, rispetto ai quali si calcolano i momenti detti.
Si dimostra che, tra le infinite terne con origine in $O$, ne esiste almeno una ( ma se non è una sola, sono infinite!) tale che rispetto ad essa i momenti centrifughi sono nulli, la matrice si riduce a forma diagonale, e i tre momenti d’ inerzia sulla diagonale sono i “momenti principali di inerzia” : i tre assi principali sono evidentemente relativi al punto $O$ scelto. Se $O$ è il centro di massa $G$ del corpo, i mom principali si chiamano “centrali di inerzia” del corpo.
Quando assumi una terna di riferimento nel corpo, devi immaginare che essa sia “bloccata” nel corpo stesso. Se il corpo ruota o anche trasla rispetto ad un rif fisso $O’XYZ$ , il riferimento solidale al corpo lo segue nei suoi movimenti rototraslatori.
Se ora per $O$ passa un asse di rotazione, attorno al quale il corpo ruota con velocità angolare vettoriale $vec\omega$ , si dimostra che il vettore momento angolare relativo al punto $O$ vale : $ vecL = vec\omega$ . Qui devi eseguire il prodotto “ righe per colonne” della matrice di inerzia per il vettore trasposto di $vec\omega$ ( è un vettore di 1 sola colonna, i cui elementi sono le 3 componenti di $vec\omega$ ) .
Se cambio la terna di riferimento con origine in $O$, ma lascio immutato il vettore $vec\omega$ , e non agiscono “momenti di forze esterne” sul corpo, anche il vettore $ vecL$ non cambia : cambieranno però le sue componenti rispetto ai nuovi assi, come sono cambiate quelle di $vec\omega$ . Ma i due vettori, velocità angolare e momento angolare, no, nelle ipotesi fatte.
Allora conviene riferire il tutto alla terna più semplice con origine in $O$, cioè la terna principale di inerzia. Detti $(A,B,C)$ i tre momenti principali di inerzia e dette $(p,q,r)$ le componenti della velocità angolare, risulta semplicemente che : $vecL = (Ap,Bq,Cr)$ in questa terna. Non abbiamo momenti centrifughi tra i piedi, nei calcoli.
Applicando un momento di forze esterne, il momento angolare cambia, e può cambiare evidentemente solo cambiando una, due o tutt’e tre le componenti della velocità angolare.
La seconda eq Cardinale della Dinamica stabilisce appunto la relazione tra il momento delle forze esterne, relativo ad un certo polo $O$ ( che di solito si assume coincidente col cdm del corpo, ma non è detto: per es se il corpo ha un “punto fisso” come nel caso della trottola conviene assumere tale punto come origine) e la corrispondente variazione del momento angolare. La relazione : $vec\tau = (dvecL)/(dt)$ è del tutto generica.
Se i due vettori, velocità angolare e momento angolare, rimangono paralleli nel tempo, vuol dire che il corpo sta ruotando attorno ad uno dei tre assi principali passanti per l'origine. E' evidente che in tal caso il prodotto vettoriale $vec\omega\timesvecL$ è uguale a zero.
Per calcolare la derivata del vettore momento angolare, rispetto all’osservatore fisso, bisogna tener conto che, in generale, $vecL$ può variare sia nel corpo (cioè nel riferimento mobile, perché può mutare la velocità angolare come vettore) che nello spazio fisso, e questa seconda variazione è dovuta alla rotazione “di corpo rigido” dello spazio mobile rispetto al fisso.
Sono stato forse sintetico, ma sono concetti che nei libri di MR vengono trattati estesamente.
Spero solo di non aver detto cavolate. Sono argomenti alquanto delicati, che però si capiscono meglio con esercizi.
Dato un solido e fissato un suo punto $O$ e un sistema di coordinate $Oxyz$ , si definiscono i tre momenti di inerzia rispetto ai tre assi, e i momenti centrifughi rispetto ai tre piani coordinati, e li si mette in una matrice simmetrica a tre righe e tre colonne, detta anche “tensore di inerzia”, di cui la diagonale principale è costituita dai tre momenti di inerzia, gli elementi fuori diagonale sono i momenti centrifughi. La matrice di inerzia cambia se cambiano gli assi, passanti per $O$, rispetto ai quali si calcolano i momenti detti.
Si dimostra che, tra le infinite terne con origine in $O$, ne esiste almeno una ( ma se non è una sola, sono infinite!) tale che rispetto ad essa i momenti centrifughi sono nulli, la matrice si riduce a forma diagonale, e i tre momenti d’ inerzia sulla diagonale sono i “momenti principali di inerzia” : i tre assi principali sono evidentemente relativi al punto $O$ scelto. Se $O$ è il centro di massa $G$ del corpo, i mom principali si chiamano “centrali di inerzia” del corpo.
Quando assumi una terna di riferimento nel corpo, devi immaginare che essa sia “bloccata” nel corpo stesso. Se il corpo ruota o anche trasla rispetto ad un rif fisso $O’XYZ$ , il riferimento solidale al corpo lo segue nei suoi movimenti rototraslatori.
Se ora per $O$ passa un asse di rotazione, attorno al quale il corpo ruota con velocità angolare vettoriale $vec\omega$ , si dimostra che il vettore momento angolare relativo al punto $O$ vale : $ vecL = vec\omega$ . Qui devi eseguire il prodotto “ righe per colonne” della matrice di inerzia per il vettore trasposto di $vec\omega$ ( è un vettore di 1 sola colonna, i cui elementi sono le 3 componenti di $vec\omega$ ) .
Se cambio la terna di riferimento con origine in $O$, ma lascio immutato il vettore $vec\omega$ , e non agiscono “momenti di forze esterne” sul corpo, anche il vettore $ vecL$ non cambia : cambieranno però le sue componenti rispetto ai nuovi assi, come sono cambiate quelle di $vec\omega$ . Ma i due vettori, velocità angolare e momento angolare, no, nelle ipotesi fatte.
Allora conviene riferire il tutto alla terna più semplice con origine in $O$, cioè la terna principale di inerzia. Detti $(A,B,C)$ i tre momenti principali di inerzia e dette $(p,q,r)$ le componenti della velocità angolare, risulta semplicemente che : $vecL = (Ap,Bq,Cr)$ in questa terna. Non abbiamo momenti centrifughi tra i piedi, nei calcoli.
Applicando un momento di forze esterne, il momento angolare cambia, e può cambiare evidentemente solo cambiando una, due o tutt’e tre le componenti della velocità angolare.
La seconda eq Cardinale della Dinamica stabilisce appunto la relazione tra il momento delle forze esterne, relativo ad un certo polo $O$ ( che di solito si assume coincidente col cdm del corpo, ma non è detto: per es se il corpo ha un “punto fisso” come nel caso della trottola conviene assumere tale punto come origine) e la corrispondente variazione del momento angolare. La relazione : $vec\tau = (dvecL)/(dt)$ è del tutto generica.
Se i due vettori, velocità angolare e momento angolare, rimangono paralleli nel tempo, vuol dire che il corpo sta ruotando attorno ad uno dei tre assi principali passanti per l'origine. E' evidente che in tal caso il prodotto vettoriale $vec\omega\timesvecL$ è uguale a zero.
Per calcolare la derivata del vettore momento angolare, rispetto all’osservatore fisso, bisogna tener conto che, in generale, $vecL$ può variare sia nel corpo (cioè nel riferimento mobile, perché può mutare la velocità angolare come vettore) che nello spazio fisso, e questa seconda variazione è dovuta alla rotazione “di corpo rigido” dello spazio mobile rispetto al fisso.
Sono stato forse sintetico, ma sono concetti che nei libri di MR vengono trattati estesamente.
Spero solo di non aver detto cavolate. Sono argomenti alquanto delicati, che però si capiscono meglio con esercizi.
Grazie della risposta =) studio il tutto per bene e in caso mi rifaccio vivo su questo topic =) grazie ancora!
PRego. Vorrei aggiungere solo questo : il caso in cui il copro ruota intorno ad un asse princpale di inerzia si ha per esempio nel disco che rotola su un piano inclinato ( o anche orizzontale) : l'asse di istantanea rotazione è un asse principale di inerzia. Il momenti di forze esterne ( peso, se il piano è inclinato) causa vriazione del modulo del momento angolare, non della direzione.
Invece, il caso della macina da mulino, dell'esercizio che ho linkato, è il cas oin cui il momento angolare rispetto al riferimento mobile non varia . Essi invece, come vettore, ruota insieme col riferimento mobile, rispetto al riferimento fisso, con la velocità angolare $\Omega\veck$. I due vettori $vec(\omega)$ ( velocità angolare assoluta) e $vec(\L_G) $ non sono paralleli.
Invece, il caso della macina da mulino, dell'esercizio che ho linkato, è il cas oin cui il momento angolare rispetto al riferimento mobile non varia . Essi invece, come vettore, ruota insieme col riferimento mobile, rispetto al riferimento fisso, con la velocità angolare $\Omega\veck$. I due vettori $vec(\omega)$ ( velocità angolare assoluta) e $vec(\L_G) $ non sono paralleli.
Rieccomi 
volevo chiederti se potresti dirmi se questo ragionamento riguardo al moto rotazionale di un corpo è giusto, dove interpreto male o dove manca qualcosa per aver un quadro più lineare dal punto di vista logico discorsivo. Ti ringrazio della disponibilità! Mi hai dato un grosso aiuto nella comprensione di questo argomento
Quindi...: Per descrivere il moto rotazionale di un corpo, inizio trovando il momento angolare
Quindi, considero un corpo rigido che ruota attorno a un asse qualunque con velocità angolare [tex]\omega=(\omega_x,\omega_y,\omega_z)[/tex]
Procedo al calcolo del momento angolare
[tex]L=\sum m_{\alpha} r_{\alpha} \times (\omega \times r_{\alpha})[/tex]
Facendo questo prodotto vettoriale ottengo
[tex]L=I\omega[/tex]
Dove:
[tex]L=L_x,L_y,L_z[/tex]
[tex]\omega=(\omega_x,\omega_y,\omega_z)[/tex]
I=tensore d'inerzia
dove nella matrice che definisce il tensore d'inerzia sono individuati 3 momenti d'inerzia e 6 prodotti d'inerzia
Domanda: perchè alcuni sono definiti momenti d'inerzia e altri prodotti d'inerzia?
In generale il momento angolare L non parallelo ad [tex]\omega[/tex]. Quando invece ciò accade diciamo che l'asse è un asse principale d'inerzia. Due vettori non nulli a e b sono paralleli se esiste un numero reale [tex]\lambda[/tex] tale che a=[tex]\lambda[/tex]b, quindi in questo caso, [tex]L=\lambda \omega[/tex] dove lambda deve corrispondere al momento d'inerzia relativo all'asse medesimo
Una delle caratteristiche più importanti è che la matrice ad essa associata è simmetrica, e per il teorema spettrale, esistono almeno tre autovettori ortogonali che diagonalizzano la matrice, e questi tre autovettori individuano gli assi principali d'inerzia
Quindi ogni corpo rigido possiede tre assi principali d'inerzia
- Ora, avendo definito il momento angolare e il tensore d'inerzia che caratterizzano un corpo rigido in movimento intorno ad un asse qualsiasi, possiamo studiarne il moto
Per far ciò, ricordiamo che la rapidità di variazione di un vettore può essere definita dalla seguente relazione
$[(d....)/(dt)]_F= [(d....)/(dt)]_M + vec\omega\times.....$
Quindi nel caso del momento angolare
$[(dvecL)/(dt)]_F= [(dvecL)/(dt)]_M + vec\omega\times vecL$
considerando che
[tex]L=\lambda_1\omega_1,\lambda_2\omega_2,\lambda_3\omega_3[/tex]
ricavo le equazioni di eulero
Equazioni di eulero ed equazioni cardinali della dinamica dei sistemi indicano la stessa cosa esatto?
volevo chiederti se potresti dirmi se questo ragionamento riguardo al moto rotazionale di un corpo è giusto, dove interpreto male o dove manca qualcosa per aver un quadro più lineare dal punto di vista logico discorsivo. Ti ringrazio della disponibilità! Mi hai dato un grosso aiuto nella comprensione di questo argomento Quindi...: Per descrivere il moto rotazionale di un corpo, inizio trovando il momento angolare
Quindi, considero un corpo rigido che ruota attorno a un asse qualunque con velocità angolare [tex]\omega=(\omega_x,\omega_y,\omega_z)[/tex]
Procedo al calcolo del momento angolare
[tex]L=\sum m_{\alpha} r_{\alpha} \times (\omega \times r_{\alpha})[/tex]
Facendo questo prodotto vettoriale ottengo
[tex]L=I\omega[/tex]
Dove:
[tex]L=L_x,L_y,L_z[/tex]
[tex]\omega=(\omega_x,\omega_y,\omega_z)[/tex]
I=tensore d'inerzia
dove nella matrice che definisce il tensore d'inerzia sono individuati 3 momenti d'inerzia e 6 prodotti d'inerzia
Domanda: perchè alcuni sono definiti momenti d'inerzia e altri prodotti d'inerzia?
In generale il momento angolare L non parallelo ad [tex]\omega[/tex]. Quando invece ciò accade diciamo che l'asse è un asse principale d'inerzia. Due vettori non nulli a e b sono paralleli se esiste un numero reale [tex]\lambda[/tex] tale che a=[tex]\lambda[/tex]b, quindi in questo caso, [tex]L=\lambda \omega[/tex] dove lambda deve corrispondere al momento d'inerzia relativo all'asse medesimo
Una delle caratteristiche più importanti è che la matrice ad essa associata è simmetrica, e per il teorema spettrale, esistono almeno tre autovettori ortogonali che diagonalizzano la matrice, e questi tre autovettori individuano gli assi principali d'inerzia
Quindi ogni corpo rigido possiede tre assi principali d'inerzia
- Ora, avendo definito il momento angolare e il tensore d'inerzia che caratterizzano un corpo rigido in movimento intorno ad un asse qualsiasi, possiamo studiarne il moto
Per far ciò, ricordiamo che la rapidità di variazione di un vettore può essere definita dalla seguente relazione
$[(d....)/(dt)]_F= [(d....)/(dt)]_M + vec\omega\times.....$
Quindi nel caso del momento angolare
$[(dvecL)/(dt)]_F= [(dvecL)/(dt)]_M + vec\omega\times vecL$
considerando che
[tex]L=\lambda_1\omega_1,\lambda_2\omega_2,\lambda_3\omega_3[/tex]
ricavo le equazioni di eulero
Equazioni di eulero ed equazioni cardinali della dinamica dei sistemi indicano la stessa cosa esatto?
"Xavier310":
.....Quindi...: Per descrivere il moto rotazionale di un corpo, inizio trovando il momento angolare
Quindi, considero un corpo rigido che ruota attorno a un asse qualunque con velocità angolare [tex]\omega=(\omega_x,\omega_y,\omega_z)[/tex]
Di solito è il problema che assegna il moto. Quindi l'asse di rotazione, che può essere fisso o mobile, sia nel corpo che nello spazio fisso, o in entrambi. Oppure dice che il corpo ha un "punto fisso". Oppure dice che il corpo è libero, non si può dire a priori.
Procedo al calcolo del momento angolare
[tex]L=\sum m_{\alpha} r_{\alpha} \times (\omega \times r_{\alpha})[/tex]
Il momento angolare è definito rispetto ad un polo, di solito fisso o coincidente col baricentro. Per calcolarlo, devi calcolare dapprima la matrice di inerzia, cioè nel polo devi assumere un riferimento cartesiano triortogonale e determinare le caratteristiche di inerzia del corpo rispetto agli assi. E' sempre il problema a suggerirti come assumere il miglior riferimento.
Facendo questo prodotto vettoriale ottengo
[tex]L=I\omega[/tex]
Dove:
[tex]L=L_x,L_y,L_z[/tex]
[tex]\omega=(\omega_x,\omega_y,\omega_z)[/tex]
I=tensore d'inerzia
dove nella matrice che definisce il tensore d'inerzia sono individuati 3 momenti d'inerzia e 6 prodotti d'inerzia
i prodotti di inerzia distinti sono 3 , non 6 , perchè la matrice $ 3 \times3 $ è simmetrica rispetto alla diagonale principale : $I_(ij) = I_(ji)$ , per ogni coppia di numeri distinti $i,j$ da 1 a 3.
Domanda: perchè alcuni sono definiti momenti d'inerzia e altri prodotti d'inerzia?
Per un punto materiale $P(x,y,z)$ cui è associata la massa elementare $dm$ , si ha : $dI_x = dm*(y^2+z^2)$ . E inoltre: $ dI_(xy) = -dm*xy$ . Il primo è il momento di inerzia rispetto all'asse $x$. Nel secondo, detto "prodotto di inerzia", a parte il segno "$-$" ( troppo lungo spiegarti il motivo del segno, vattelo a guardare su un libro di MR) , compaiono le due distanze di $P$ dai piani coordinati $xz$ e $yz$ . Non so perchè si chiami "prodotto di inerzia" o " momento centrifugo"
Xavier, ma queste cose dovresti già saperle...
In generale il momento angolare L non parallelo ad [tex]\omega[/tex]. Quando invece ciò accade diciamo che l'asse è un asse principale d'inerzia. Due vettori non nulli a e b sono paralleli se esiste un numero reale [tex]\lambda[/tex] tale che a=[tex]\lambda[/tex]b, quindi in questo caso, [tex]L=\lambda \omega[/tex] dove lambda deve corrispondere al momento d'inerzia relativo all'asse medesimo
Una delle caratteristiche più importanti è che la matrice ad essa associata è simmetrica, e per il teorema spettrale, esistono almeno tre autovettori ortogonali che diagonalizzano la matrice, e questi tre autovettori individuano gli assi principali d'inerzia
Tutto più o meno giusto, anche se un po' confuso, andrebbero fatte maggiori precisazioni....ma lascio stare.
Quindi ogni corpo rigido possiede tre assi principali d'inerzia
Neanche per idea. Per ogni punto di un corpo rigido ci sono almeno tre assi principali di inerzia. Se non sono tre, per particolari simmetrie del corpo, sono infiniti: dipende dalla geometria e dalla distribuzione della massa nel corpo. Pensa ad un solido di rotazione attorno ad un asse : per tutti i punti dell'asse, ogni altra retta che giace nel piano perpendicolare per quel punto è "principale". Si deve studiare la geometria del corpo.
Inoltre ogni corpo rigido, avendo un definito centro di massa, ha almeno una terna "centrale" di inerzia. Centrale significa : riferita al cdm . Almeno significa che possono essere una o...infinite. Pensa ad una sfera, ad un pallone da rugby, ad un cubo, ad un parallelepiedo con tre lati diversi, oppure due uguali e uno diverso ...Quante terne centrali hanno questi corpi, e come sono i momenti centrali d'inerzia?
Hai bisogno di ripassare questa materia, a fondo...
Ora, avendo definito il momento angolare e il tensore d'inerzia che caratterizzano un corpo rigido in movimento intorno ad un asse qualsiasi, possiamo studiarne il moto
Xavier, no. Qui ci vuole un corso di lezioni. Il momento angolare è definito rispetto ad un polo. Il tensore di inerzia, dato il polo, si definisce rispetto ad una terna cartesiana triortogonale con origine in esso. Se cambi terna, cambia il tensore.
Per far ciò, ricordiamo che la rapidità di variazione di un vettore può essere definita dalla seguente relazionequesta è la relazione tra la derivata temporale nel riferimento fisso e la derivata nel riferimento mobile, che ti ho dato io.
$[(d....)/(dt)]_F= [(d....)/(dt)]_M + vec\omega\times.....$
Quindi nel caso del momento angolare
$[(dvecL)/(dt)]_F= [(dvecL)/(dt)]_M + vec\omega\times vecL$
considerando che
[tex]L=\lambda_1\omega_1,\lambda_2\omega_2,\lambda_3\omega_3[/tex]
ricavo le equazioni di eulero
Equazioni di eulero ed equazioni cardinali della dinamica dei sistemi indicano la stessa cosa esatto?
No. Le equazioni di Eulero sono le equazioni per il moto di un corpo rigido con un punto fisso. Quindi sono una particolarizzazione delle eq cardinali della Dinamica.
Xavier, sul serio ti dico : prendi i libri di MR da capo, studia, impara bene, fatti spiegare da un amico, da un professore, fà esercizi...hai una certa confusione in testa, mischi concetti giusti a concetti errati, scusami se te lo dico francamente.
Ti ringrazio della spiegazione il fatto è che io non ho mai fatto meccanica razionale! Il tutto (tensore d'inerzia, equazioni di eulero, ecc..) mi sono state spiegate in due ore di lezione nel corso di meccanica classica nello studio dei corpi rigidi, quindi suppongo che all'esame non mi venga chiesto tutto il programma di meccanica razionale essendo un corso di meccanica classica
il fatto è che io non ho mai fatto meccanica razionale! Il tutto (tensore d'inerzia, equazioni di eulero, ecc..) mi sono state spiegate in due ore di lezione nel corso di meccanica classica nello studio dei corpi rigidi, quindi suppongo che all'esame non mi venga chiesto tutto il programma di meccanica razionale essendo un corso di meccanica classica
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