Tensore d'inerzia
Buongiorno a tutti,
avrei bisogno, se possibile, di alcune delucidazioni sul tensore d'inerzia.
Partiamo dalla definizione:
"Definiamo il tensore d'inerzia (rispetto al punto O) del corpo rigido come la funzione $ i_o : R^3 -> R^3 $ definita da: $ i_o (a) = Sigma m_i OP_i ^^ (a ^^ OP_i) $ con $ a in R^3 $
A dire il vero la non mi sembra una vera e propria definizione.. non ci ho capito nulla :/
Passiamo a una delle proprietà del tensore d'inerzia:
La funzione $ i_o : R^3 -> R^3 $ è un'applicazione lineare, nel senso che $ i_o (l_1 a_1 + l_2 a_2) = l_1 i_o (a_1) + l_2 i_o (a_2) $ per ogni $ l_1, l_2 in R , a_1, a_2 in R^3 $
Dimostrazione proprietà del tensore d'inerzia:
Basta ricordare la definizione di $ i_o $
Ora io dico.. che dimostrazione è? :/
_________________________________________________________________________________________________
Qualcuno riesce a darmi una mano su questi punti?
Se la definizione è corretta qualcuno riesce a spiegarmi meglio di cosa si tratta?
Per quanto riguarda la dimostrazione... come faccio a dimostrare quella proprietà?
Ringrazio tutti in anticipo
ciao ciaoo
avrei bisogno, se possibile, di alcune delucidazioni sul tensore d'inerzia.
Partiamo dalla definizione:
"Definiamo il tensore d'inerzia (rispetto al punto O) del corpo rigido come la funzione $ i_o : R^3 -> R^3 $ definita da: $ i_o (a) = Sigma m_i OP_i ^^ (a ^^ OP_i) $ con $ a in R^3 $
A dire il vero la non mi sembra una vera e propria definizione.. non ci ho capito nulla :/
Passiamo a una delle proprietà del tensore d'inerzia:
La funzione $ i_o : R^3 -> R^3 $ è un'applicazione lineare, nel senso che $ i_o (l_1 a_1 + l_2 a_2) = l_1 i_o (a_1) + l_2 i_o (a_2) $ per ogni $ l_1, l_2 in R , a_1, a_2 in R^3 $
Dimostrazione proprietà del tensore d'inerzia:
Basta ricordare la definizione di $ i_o $
Ora io dico.. che dimostrazione è? :/
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Qualcuno riesce a darmi una mano su questi punti?
Se la definizione è corretta qualcuno riesce a spiegarmi meglio di cosa si tratta?
Per quanto riguarda la dimostrazione... come faccio a dimostrare quella proprietà?
Ringrazio tutti in anticipo
ciao ciaoo
Risposte
Ciao wackos.
Ti capisco, eccome ! Se mi avessero spiegato il tensore di inerzia a quella maniera, senza dirmi qual è l'origine fisica dello stesso, e soprattutto qual è l'utilità del tensore di inerzia, non avrei capito un accidente, sicuro!
Io detesto, per non dire odio, le definizioni altisonanti che, pur giuste da un punto di vista matematico, non fanno capire niente di quello che occorre in sostanza sapere su un certo argomento, per poterlo sfruttare.
Abbiamo parlato spesso del tensore di inerzia, questo sconosciuto (a qualche professore, io aggiungo….non me ne vogliano!
). Per esempio, dà un'occhiata a questo scambio di post. Se fai una ricerca ne trovi degli altri comunque. E in rete ci sono buone trattazioni sull'argomento, in vari corsi di meccanica classica.
viewtopic.php?f=19&t=98411&hilit=+matrice+di+inerzia#p652269
poi guarda questo, ad esempio :
http://www.roma1.infn.it/people/longo/m ... nerzia.pdf
e questo :
http://www.giovannibachelet.it/MS2005/s ... rigidi.pdf
Ti capisco, eccome ! Se mi avessero spiegato il tensore di inerzia a quella maniera, senza dirmi qual è l'origine fisica dello stesso, e soprattutto qual è l'utilità del tensore di inerzia, non avrei capito un accidente, sicuro!
Io detesto, per non dire odio, le definizioni altisonanti che, pur giuste da un punto di vista matematico, non fanno capire niente di quello che occorre in sostanza sapere su un certo argomento, per poterlo sfruttare.
Abbiamo parlato spesso del tensore di inerzia, questo sconosciuto (a qualche professore, io aggiungo….non me ne vogliano!
). Per esempio, dà un'occhiata a questo scambio di post. Se fai una ricerca ne trovi degli altri comunque. E in rete ci sono buone trattazioni sull'argomento, in vari corsi di meccanica classica. viewtopic.php?f=19&t=98411&hilit=+matrice+di+inerzia#p652269
poi guarda questo, ad esempio :
http://www.roma1.infn.it/people/longo/m ... nerzia.pdf
e questo :
http://www.giovannibachelet.it/MS2005/s ... rigidi.pdf
Buongiorno..
non so se sono io che ho lacune ma ho capito un po' troppo poco..
Navigando in internet ho trovato qualcosina.. Mi aiutate a capire se ho capito?
Vediamo..
"Il tensore d'inerzia non è altro che una grandezza fisica che caratterizza un corpo rigido e che esprime in che modo esso reagisce ai cambiamenti di stato del suo moto."
Dopo che so spiegarlo in questo modo potrei comunque tener per buona la definizione che mi è stata assegnata o la mia spiegazione è un po troppo scarna? dovrei parlare anche della matrice d'inerzia per spiegare meglio il tensore?
_______________________________________________________________________________________________________
Per quanto riguarda invece la dimostrazione.. non capisco come devo procedere..
Grazie ancora a tutti in anticipo
non so se sono io che ho lacune ma ho capito un po' troppo poco..
Navigando in internet ho trovato qualcosina.. Mi aiutate a capire se ho capito?
Vediamo..
"Il tensore d'inerzia non è altro che una grandezza fisica che caratterizza un corpo rigido e che esprime in che modo esso reagisce ai cambiamenti di stato del suo moto."
Dopo che so spiegarlo in questo modo potrei comunque tener per buona la definizione che mi è stata assegnata o la mia spiegazione è un po troppo scarna? dovrei parlare anche della matrice d'inerzia per spiegare meglio il tensore?
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Per quanto riguarda invece la dimostrazione.. non capisco come devo procedere..
Grazie ancora a tutti in anticipo
Hai dato un'occhiata ai link che ti ho messo?
Innanzitutto, tensore di inerzia e matrice di inerzia, a livello di meccanica classica, in uno spazio euclideo riferito a coordinate cartesiane , sono la stessa cosa.
La definizione che hai dato :
non va bene. Se un corpo è in moto traslatorio rettilineo, e vogliamo cambiarne lo stato di moto lasciandolo in moto rettilineo, quindi vogliamo accelerarlo, la grandezza fisica che caratterizza il modo in cui reagisce alla accelerazione è la massa , non il tensore di inerzia. Di tensore di inerzia si comincia a parlare quando si comincia a parlare di moto rotatorio di un corpo rigido.
Ma il tensore di inerzia si definisce "a priori" come una caratteristica del corpo , in "geometria delle masse" , senza pensare al moto, in ogni punto del corpo o anche fuori del corpo.
Poi ovviamente torna comodo nella descrizione del moto rotatorio. Anzi, serve proprio lì.
Scusami, insisto : leggi le spiegazioni che trovi nei link messi. MA non hai un libro di meccanica razionale o meccanica classica dove leggere e studiare?
Dato un punto materiale $(P,m)$ e una retta distante $r$ da P , il momento d'inerzia di P rispetto alla retta è $mr^2$ . È additivo: se hai tante masse concentrate, il m.i. rispetto alla retta è somma dei m.i. di ciascuna. È lineare : se raddoppi la massa raddoppi il m.i.
Innanzitutto, tensore di inerzia e matrice di inerzia, a livello di meccanica classica, in uno spazio euclideo riferito a coordinate cartesiane , sono la stessa cosa.
La definizione che hai dato :
"Il tensore d'inerzia non è altro che una grandezza fisica che caratterizza un corpo rigido e che esprime in che modo esso reagisce ai cambiamenti di stato del suo moto."
non va bene. Se un corpo è in moto traslatorio rettilineo, e vogliamo cambiarne lo stato di moto lasciandolo in moto rettilineo, quindi vogliamo accelerarlo, la grandezza fisica che caratterizza il modo in cui reagisce alla accelerazione è la massa , non il tensore di inerzia. Di tensore di inerzia si comincia a parlare quando si comincia a parlare di moto rotatorio di un corpo rigido.
Ma il tensore di inerzia si definisce "a priori" come una caratteristica del corpo , in "geometria delle masse" , senza pensare al moto, in ogni punto del corpo o anche fuori del corpo.
Poi ovviamente torna comodo nella descrizione del moto rotatorio. Anzi, serve proprio lì.
Scusami, insisto : leggi le spiegazioni che trovi nei link messi. MA non hai un libro di meccanica razionale o meccanica classica dove leggere e studiare?
Dato un punto materiale $(P,m)$ e una retta distante $r$ da P , il momento d'inerzia di P rispetto alla retta è $mr^2$ . È additivo: se hai tante masse concentrate, il m.i. rispetto alla retta è somma dei m.i. di ciascuna. È lineare : se raddoppi la massa raddoppi il m.i.
Sisi avevo già letto i link.. anche se fatico a capire qualcosa quando leggo post già scritti perchè non avendo capito a pieno l'argomento, leggendo anche i dubbi o le perplessità di altri utenti vado ancora più in confusione.
Per quanto riguarda i file invece un'idea me la sono fatta.. e credo pressapoco di ave capito cosa si intende
il fatto che sia lineare mi è chiaro.. ma come posso dimostrarlo?
PS ho un libro di meccanica razionale ma tratta l'argomento in modo superficiale. Parla solo in 7/8 righe di matrice di inerzia.. il tensore lo nomina solo tra parentesi e tra l'altro delle proprietà non c'è traccia
Grazie ancora per la pazienza
Per quanto riguarda i file invece un'idea me la sono fatta.. e credo pressapoco di ave capito cosa si intende
il fatto che sia lineare mi è chiaro.. ma come posso dimostrarlo?
PS ho un libro di meccanica razionale ma tratta l'argomento in modo superficiale. Parla solo in 7/8 righe di matrice di inerzia.. il tensore lo nomina solo tra parentesi e tra l'altro delle proprietà non c'è traccia
Grazie ancora per la pazienza
"wackos":
il fatto che sia lineare mi è chiaro.. ma come posso dimostrarlo?
Per sostituzione diretta; in questa espressione :
"wackos":
$ i_o : R^3 -> R^3 $ definita da: $ i_o (a) = Sigma m_i OP_i ^^ (a ^^ OP_i) $ con $ a in R^3 $
metti al posto di $(a)$ la quantità : $ (l_1 a_1 + l_2 a_2)$ , e fai i calcoli. Sia $veca$ che $vec(OP)$ sono vettori. Poni $m=1$.
La linearità deriva dalla linearità dell' operazione del prodotto vettoriale tra vettori. E ricorda che puoi scrivere più semplicemente il doppio prodotto vettoriale così :
$vecaxx(vecbxxvecc) = vecb(veca*vecc) - vecc(veca*vecb) $
individuando correttamente $veca, vecb, vecc$ nel nostro caso. È facile, forza.
$ i_o (a) = Sigma m_i OP_i ^^ (a ^^ OP_i) $
$ i_o (l_1 a_1 + l_2 a_2) = Sigma m_i (l_1 a_1 + l_2 a_2)(OP_i \cdot OP_i) - Sigma m_i OP_i ( OP_i \cdot (l_1 a_1 + l_2 a_2)) $
$ i_o (l_1 a_1 + l_2 a_2) = Sigma m_i l_1 a_1 OP_i^2 + Sigma m_i l_2 a_2 OP_i^2 - 0 $
$ ... ? $
Devo solo scrivere $ i_o(l_1a_1+l_2a_2)=l_1i_o(a_1)+l_2i_o(a_2) $ ?
grazie ancora in anticipo e mi scuso se ho scritto qualche cavolata
$ i_o (l_1 a_1 + l_2 a_2) = Sigma m_i (l_1 a_1 + l_2 a_2)(OP_i \cdot OP_i) - Sigma m_i OP_i ( OP_i \cdot (l_1 a_1 + l_2 a_2)) $
$ i_o (l_1 a_1 + l_2 a_2) = Sigma m_i l_1 a_1 OP_i^2 + Sigma m_i l_2 a_2 OP_i^2 - 0 $
$ ... ? $
Devo solo scrivere $ i_o(l_1a_1+l_2a_2)=l_1i_o(a_1)+l_2i_o(a_2) $ ?
grazie ancora in anticipo e mi scuso se ho scritto qualche cavolata
Hai delle difficoltà nel calcolo vettoriale. Ti consiglio sinceramente un buon ripasso.
Innanzitutto ti ho detto : poni $m_i = 1$ , così te ne liberi, nel senso che non hai la massa tra i piedi nei calcoli. Naturalmente poi dovrai tenerne conto alla fine, per ciascun punto materiale, ovvero se devi fare un calcolo per un corpo continuo. Di solito, i corpi rigidi si suppongono omogenei, quindi la densità è costante ed è preferibile calcolare dapprima i momenti di inerzia e centrifughi di volume, e poi moltiplicare per la densità onde avere i corrispondenti momenti di "massa".
Ma ora non è la massa il problema.
LA linearità del doppio prodotto vettoriale che devi calcolare, rispetto ad $veca$, significa questo.
Scrivi : $veca = l_1veca_1 + l_2veca_2$ , cioè una combinazione lineare di $veca_1$ e $veca_2$. Si ha, per sostituzione diretta (ho scritto $vec(OP_i) = vecr_i$ per semplicità ) :
$vecr_i xx(vecaxxvecr_i) = vecr_i xx[( l_1veca_1 + l_2veca_2)xxvecr_i] = l_1vecr_ixx(veca_1xxvecr_i) + l_2vecr_ixx(veca_2xxvecr_i)$
Adesso io non scrivo definizioni formali e rigorose di ciò che si intende per "applicazione" , lo può fare un matematico meglio di me. Ma mi preme evidenziare la "linearità" .
Questo significa "applicazione lineare" : dati due vettori $veca$ e $vecb$ , l'applicazione "prodotto vettoriale" fa corrispondere ai due vettori dati il loro prodotto vettoriale: questa applicazione è lineare per quanto detto prima
Anzi, il prodotto vettoriale (e anche il prodotto scalare) tra vettori è bilineare, il che significa che è lineare rispetto a entrambi gli argomenti $veca$ e $vecb$ . Cioè, se esprimi $vecb$ come combinazione lineare $vecb = ( m_1vecb_1 + m_2vecb_2) $ di altri vettori , hai un risultato analogo al primo.
Spero che tu sappia fare il prodotto vettoriale tra due vettori $vecaxxvecb$ . In coordinate cartesiane, scrivi il determinante simbolico :
$|(veci,vecj,veck),(a_x,a_y,a_z),(b_x,b_y,b_z)|$
e lo sviluppi secondo gli elementi della prima riga.
Percio, per tornare alla matrice di inerzia, una volta calcolato $vec\omegaxxvecr_i$ (*) con la regola del determinante simbolico, ne scrivi un altro, ancora simbolico, dove la prima riga è sempre quella dei versori, la seconda riga è formata dalle componenti di $vec\omega$ , la terza riga è formata dalle componenti del vettore che hai calcolato come sopra detto.
E così facendo ottieni facilmente (!) le componenti del doppio prodotto vettoriale che ti interessa.
Più di questo in un post non riesco a dire. Prenditi un buon libro di meccanica classica, oppure fai una ricerca accurata e estesa sul web, ci sono decine e decine di dispense scritte da docenti universitari, che parlano di questo argomento.
Per esempio, ho trovato questo or ora :
http://www.physics.miami.edu/~nearing/m ... ensors.pdf
____________________________________________________________________________
(*) è inutile avere un vettore $veca$ generico, che non dice niente. La matrice di inerzia ha la sua ragion d'essere quando si parla di moto rotatorio di un sistema rigido, discreto o continuo che sia. È quindi meglio mettere direttamente una velocità angolare $vec\omega$ .
Innanzitutto ti ho detto : poni $m_i = 1$ , così te ne liberi, nel senso che non hai la massa tra i piedi nei calcoli. Naturalmente poi dovrai tenerne conto alla fine, per ciascun punto materiale, ovvero se devi fare un calcolo per un corpo continuo. Di solito, i corpi rigidi si suppongono omogenei, quindi la densità è costante ed è preferibile calcolare dapprima i momenti di inerzia e centrifughi di volume, e poi moltiplicare per la densità onde avere i corrispondenti momenti di "massa".
Ma ora non è la massa il problema.
LA linearità del doppio prodotto vettoriale che devi calcolare, rispetto ad $veca$, significa questo.
Scrivi : $veca = l_1veca_1 + l_2veca_2$ , cioè una combinazione lineare di $veca_1$ e $veca_2$. Si ha, per sostituzione diretta (ho scritto $vec(OP_i) = vecr_i$ per semplicità ) :
$vecr_i xx(vecaxxvecr_i) = vecr_i xx[( l_1veca_1 + l_2veca_2)xxvecr_i] = l_1vecr_ixx(veca_1xxvecr_i) + l_2vecr_ixx(veca_2xxvecr_i)$
Adesso io non scrivo definizioni formali e rigorose di ciò che si intende per "applicazione" , lo può fare un matematico meglio di me. Ma mi preme evidenziare la "linearità" .
Questo significa "applicazione lineare" : dati due vettori $veca$ e $vecb$ , l'applicazione "prodotto vettoriale" fa corrispondere ai due vettori dati il loro prodotto vettoriale: questa applicazione è lineare per quanto detto prima
Anzi, il prodotto vettoriale (e anche il prodotto scalare) tra vettori è bilineare, il che significa che è lineare rispetto a entrambi gli argomenti $veca$ e $vecb$ . Cioè, se esprimi $vecb$ come combinazione lineare $vecb = ( m_1vecb_1 + m_2vecb_2) $ di altri vettori , hai un risultato analogo al primo.
Spero che tu sappia fare il prodotto vettoriale tra due vettori $vecaxxvecb$ . In coordinate cartesiane, scrivi il determinante simbolico :
$|(veci,vecj,veck),(a_x,a_y,a_z),(b_x,b_y,b_z)|$
e lo sviluppi secondo gli elementi della prima riga.
Percio, per tornare alla matrice di inerzia, una volta calcolato $vec\omegaxxvecr_i$ (*) con la regola del determinante simbolico, ne scrivi un altro, ancora simbolico, dove la prima riga è sempre quella dei versori, la seconda riga è formata dalle componenti di $vec\omega$ , la terza riga è formata dalle componenti del vettore che hai calcolato come sopra detto.
E così facendo ottieni facilmente (!) le componenti del doppio prodotto vettoriale che ti interessa.
Più di questo in un post non riesco a dire. Prenditi un buon libro di meccanica classica, oppure fai una ricerca accurata e estesa sul web, ci sono decine e decine di dispense scritte da docenti universitari, che parlano di questo argomento.
Per esempio, ho trovato questo or ora :
http://www.physics.miami.edu/~nearing/m ... ensors.pdf
____________________________________________________________________________
(*) è inutile avere un vettore $veca$ generico, che non dice niente. La matrice di inerzia ha la sua ragion d'essere quando si parla di moto rotatorio di un sistema rigido, discreto o continuo che sia. È quindi meglio mettere direttamente una velocità angolare $vec\omega$ .
Mi scuso se ho esagerato con le richieste.. Non me ne sono neanche reso conto sinceramente.. credevo fosse una roba più facile. In realtà invece ti ho dovuto far scrivere un sacco di cose.. Scusa..
Che ho delle lacune è vero.. su queste cose è vero..
Però. Il determinante lo so calcolare.. ma non capisco alcune cose. (spero di non rubare troppo tempo. se così fosse non rispondermi)
Perchè la seconda riga è composta dalle componenti di $ vec\omega $ e non da $vec r_i $ visto che ho $ vec r_i xx (veca xx vecr_i) $?
Scusa ancora.. (so che non si dovrebbe fare ma io cercavo la dimostrazione perchè i sto capendo poco e ho pensato "la studio a memoria".. )
Che ho delle lacune è vero.. su queste cose è vero..
Però. Il determinante lo so calcolare.. ma non capisco alcune cose. (spero di non rubare troppo tempo. se così fosse non rispondermi)
"navigatore":
Percio, per tornare alla matrice di inerzia, una volta calcolato $ vec\omegaxxvecr_i $ (*) con la regola del determinante simbolico, ne scrivi un altro, ancora simbolico, dove la prima riga è sempre quella dei versori, la seconda riga è formata dalle componenti di $ vec\omega $ , la terza riga è formata dalle componenti del vettore che hai calcolato come sopra detto.
E così facendo ottieni facilmente (!) le componenti del doppio prodotto vettoriale che ti interessa.
Perchè la seconda riga è composta dalle componenti di $ vec\omega $ e non da $vec r_i $ visto che ho $ vec r_i xx (veca xx vecr_i) $?
Scusa ancora.. (so che non si dovrebbe fare ma io cercavo la dimostrazione perchè i sto capendo poco e ho pensato "la studio a memoria".. )
"wackos":
Mi scuso se ho esagerato con le richieste.. Non me ne sono neanche reso conto sinceramente.. credevo fosse una roba più facile. In realtà invece ti ho dovuto far scrivere un sacco di cose.. Scusa..
Che ho delle lacune è vero.. su queste cose è vero..
Non c'è bisogno che ti scusi. Però ascolta il mio consiglio, e vatti a ripassare benissimamente bene assai il calcolo vettoriale!
Però. Il determinante lo so calcolare.. ma non capisco alcune cose. (spero di non rubare troppo tempo. se così fosse non rispondermi)
"navigatore":
Percio, per tornare alla matrice di inerzia, una volta calcolato $ vec\omegaxxvecr_i $ (*) con la regola del determinante simbolico, ne scrivi un altro, ancora simbolico, dove la prima riga è sempre quella dei versori, la seconda riga è formata dalle componenti di $ vec\omega $ , la terza riga è formata dalle componenti del vettore che hai calcolato come sopra detto.
E così facendo ottieni facilmente (!) le componenti del doppio prodotto vettoriale che ti interessa.
Perchè la seconda riga è composta dalle componenti di $ vec\omega $ e non da $ vec r_i $ visto che ho $ vec r_i xx (veca xx vecr_i) $?
Scusa ancora.. (so che non si dovrebbe fare ma io cercavo la dimostrazione perchè i sto capendo poco e ho pensato "la studio a memoria".. )
Non studiare a memoria queste cose, ti sfuggirebbero dopo poco tempo. Hai visto la frase che ho evidenziato in rosso?
Devi calcolare prima il prodotto vettoriale che sta dentro la parentesi tonda : $(vec\omegaxxvecr_i)$ , e ottieni :
$veci (\omega_yr_z - \omega_zr_y) + vecj ( \omega_zr_x - \omega_xr_z) + veck( \omega_xr_y - \omega_yr_x) = v_1veci + v_2vecj + v_3veck $
ci sei fin qui ?
Poi scrivi un altro determinante simbolico, perché devi ancora calcolare il secondo prodotto vettoriale : $vecr_ixx(…..)$
Al posto dei puntini c'è il prodotto vettoriale che hai calcolato prima.
Quindi scrivi un altro determinante simbolico :
$|(veci,vecj,veck), (r_x,r_y,r_z), ( v_1, v_2, v_3 )| $
dove al posto dei $v_i$ ci sono quelle porcherie che ho scritto prima.
Poi ad ogni punto $P_i$ ci attacchi la massa.
Chiarisco comunque che questo è il calcolo che si fa per determinare il vettore momento angolare $vecL$ di un corpo rigido (o sistema rigido di punti materiali) che si muove ruotando rispetto a un asse (in genere variabile anche rispetto al corpo, oltre che nello spazio assoluto) che passa per un un punto fisso $O$ , assunto come origine delle coordinate (in genere si prende il centro di massa, ma non è obbligatorio). Alla fine, si ottiene che :
$vecL = vec\omega $
dove $$ è appunto la sospirata matrice di inerzia rispetto ad O . Moltiplicando la matrice di inerzia del corpo relativa ad O per il vettore velocità angolare (istantaneo in generale) si ottiene il vettore momento angolare $vecL$ rispetto ad O.
Ma ripeto : si può parlare di momento di inerzia, di prodotti di inerzia, e di matrice di inerzia di un corpo, indipendentemente dal moto. Solo che se ne parla molto nel moto di un corpo rigido con un punto fisso, perché è qui che serve in special modo.
Leggiti la dispensa che ti ho allegato nel post precedente. Queste cose vanno ponderate con calma, quindi a mente fredda.
Con qualche giorno di ritardo ma.. Rieccomi
Allora.. diciamo che sto iniziando a entrare un attimo nell'argomento. Ho letto con calma (e non di fretta le dispense) e credo di iniziare a vedere un attimo la luce in fondo al tunnel ahahah
Il problema sulla dimostrazione però resta.. non so se ho lacune in geometria o cosa..
Però .. Moltiplicare vettorialmente una velocità per una distanza.. mi da un momento d'inerzia?
le componenti della matrice di inerzia non sono altro che masse per una distanza al quadrato.
non capisco se il problema della dimostrazione è solo dovuto al fatto di problemi con le applicazioni lineari (e/o geometria in generale) o cosa...
Sta di fatto che non riesco a dimostrarlo.. non entro nell'ottica. So che mi è stato spiegato tutto alla perfezione però quell'applicazione lineare io non la capisco.
Per questo mi chiedo.. nel caso di cui mi sto occupando io tensore d'inerzia e matrice d'inerzia coincidono. Giusto?
Mi viene da chiedermi: questa proprietà posso dimostrarla sfruttando la matrice d'inerzia anziché il tensore d'inerzia?
Non riesco neanche a capire perchè non trovo su nessun libro questa dimostrazione. Ho fatto passare tutti i libri della biblioteca.
Grazie in anticipo a tutti
Allora.. diciamo che sto iniziando a entrare un attimo nell'argomento. Ho letto con calma (e non di fretta le dispense) e credo di iniziare a vedere un attimo la luce in fondo al tunnel ahahah
Il problema sulla dimostrazione però resta.. non so se ho lacune in geometria o cosa..
Però .. Moltiplicare vettorialmente una velocità per una distanza.. mi da un momento d'inerzia?
le componenti della matrice di inerzia non sono altro che masse per una distanza al quadrato.
non capisco se il problema della dimostrazione è solo dovuto al fatto di problemi con le applicazioni lineari (e/o geometria in generale) o cosa...
Sta di fatto che non riesco a dimostrarlo.. non entro nell'ottica. So che mi è stato spiegato tutto alla perfezione però quell'applicazione lineare io non la capisco.
Per questo mi chiedo.. nel caso di cui mi sto occupando io tensore d'inerzia e matrice d'inerzia coincidono. Giusto?
Mi viene da chiedermi: questa proprietà posso dimostrarla sfruttando la matrice d'inerzia anziché il tensore d'inerzia?
Non riesco neanche a capire perchè non trovo su nessun libro questa dimostrazione. Ho fatto passare tutti i libri della biblioteca.
Grazie in anticipo a tutti
"wackos":
………..
Però .. Moltiplicare vettorialmente una velocità per una distanza.. mi da un momento d'inerzia?
No. La formula che ti ho dato : $vecL = vec\omega$ serve per calcolare il momento angolare rispetto a un polo.
le componenti della matrice di inerzia non sono altro che masse per una distanza al quadrato.
La matrice di inerzia di un sistema rigido di punti materiali, riferito a un riferimento cartesiano $Oxyz$ , è data da :
$ = ((I_x,I_(xy), I_(xz)) , (I_(yx),I_y, I_(yz)) , (I_(zx),I_(zy), I_z))$
dove : $I_x = \Sigma_i m_i(y_i^2 + z_i^2)$ ; $I_(xy) = - \Sigma_i m_ix_iy_i $ ; $ I_(xz) = - \Sigma_i m_ix_iz_i $ , e analoghe.
Si tratta di caratteristiche geometrico-meccaniche del sistema di punti materiali. La velocità angolare non c'entra. Per sistemi continui, ci sono degli integrali anziché sommatorie.
Per questo mi chiedo.. nel caso di cui mi sto occupando io tensore d'inerzia e matrice d'inerzia coincidono. Giusto?
Mi viene da chiedermi: questa proprietà posso dimostrarla sfruttando la matrice d'inerzia anziché il tensore d'inerzia?
Non riesco neanche a capire perchè non trovo su nessun libro questa dimostrazione. Ho fatto passare tutti i libri della biblioteca.
Grazie in anticipo a tutti
Matrice e tensore di inerzia sono la stessa cosa.
Cerca sul web : " geometria delle masse" . Buon lavoro.
FORSE ho capito...
Quindi non perdiamo tempo e iniziamo...
$i_o (l_1 vec(a_1) + l_2 vec(a_2) ) = Sigma m_i vec(r_i) ^^ ((l_1 vec(a_1) + l_2 vec(a_2) ) ^^ vec(r_i)) =
l_1vec(r_i) ^^ (vec (a_1) ^^ vec (r_i)) + l_2vec(r_i) ^^ (vec (a_2) ^^ vec (r_i)) $
$(vec (a_1) ^^ vec(r_i)) = | ( vec(i) , vec (j) , vec(k) ),( vec(a_(1x)) , vec(a_(1y)) , vec(a_(1z) )),(vec(r_(ix)) , vec(r_(iy)) , vec(r_(iz) )) | = (vec(a_(1y))vec(r_(iz) )- vec(a_(1z))vec(r_(iy)), vec(a_(1z) )vec(r_(ix)) - vec(a_(1x))vec(r_(iz) ), vec(a_(1x))vec(r_(iy)) - vec(a_(1y))vec(r_(ix))) $
$(vec(r_i)^^(vec(a_(1y))vec(r_(iz) )- vec(a_(1z))vec(r_(iy)); vec(a_(1z) )vec(r_(ix)) - vec(a_(1x))vec(r_(iz) ); vec(a_(1x))vec(r_(iy)) - vec(a_(1y))vec(r_(ix))))= | ( vec(i) , vec (j) , vec(k) ),(vec(r_(ix)) , vec(r_(iy)) , vec(r_(iz) )),(vec(a_(1y))vec(r_(iz) )- vec(a_(1z))vec(r_(iy)), vec(a_(1z) )vec(r_(ix)) - vec(a_(1x))vec(r_(iz) ), vec(a_(1x))vec(r_(iy)) - vec(a_(1y))vec(r_(ix)))| = (vec(r_(iy))^2vec(a_(1x)) +vec(r_(iz))^2vec(a_(1x)) - vec(r_(iy))vec(r_(ix))vec(a_(1y)) - vec(r_(iz))vec(r_(ix))vec(a_(1z)) , vec(r_(iz))^2vec(a_(1y)) +vec(r_(ix))^2vec(a_(1y)) - vec(r_(iz))vec(r_(iy))vec(a_(1z)) - vec(r_(ix))vec(r_(iy))vec(a_(1x)), vec(r_(ix))^2vec(a_(1z)) +vec(r_(iy))^2vec(a_(1z)) - vec(r_(ix))vec(r_(iz))vec(a_(1x)) - vec(r_(iy))vec(r_(iz))vec(a_(1z))) $
Analogamente per le altre matrici con $vec(a_2)$
Ottengo quindi:
$l_1 (vec(r_(iy))^2vec(a_(1x)) +vec(r_(iz))^2vec(a_(1x)) - vec(r_(iy))vec(r_(ix))vec(a_(1y)) - vec(r_(iz))vec(r_(ix))vec(a_(1z)) , vec(r_(iz))^2vec(a_(1y)) +vec(r_(ix))^2vec(a_(1y)) - vec(r_(iz))vec(r_(iy))vec(a_(1z)) - vec(r_(ix))vec(r_(iy))vec(a_(1x)), vec(r_(ix))^2vec(a_(1z)) +vec(r_(iy))^2vec(a_(1z)) - vec(r_(ix))vec(r_(iz))vec(a_(1x)) - vec(r_(iy))vec(r_(iz))vec(a_(1z))) + l_2 (vec(r_(iy))^2vec(a_(2x)) +vec(r_(iz))^2vec(a_(2x)) - vec(r_(iy))vec(r_(ix))vec(a_(2y)) - vec(r_(iz))vec(r_(ix))vec(a_(2z)) , vec(r_(iz))^2vec(a_(2y)) +vec(r_(ix))^2vec(a_(2y)) - vec(r_(iz))vec(r_(iy))vec(a_(2z)) - vec(r_(ix))vec(r_(iy))vec(a_(2x)), vec(r_(ix))^2vec(a_(2z)) +vec(r_(iy))^2vec(a_(2z)) - vec(r_(ix))vec(r_(iz))vec(a_(2x)) - vec(r_(iy))vec(r_(iz))vec(a_(2z))) = l_1 i_o (vec(a_1)) + l_2 i_o (vec(a_2)) = i_o (l_1 vec(a_1) + l_2 vec(a_2) )$
Dimostrato?
Quindi non perdiamo tempo e iniziamo...
$i_o (l_1 vec(a_1) + l_2 vec(a_2) ) = Sigma m_i vec(r_i) ^^ ((l_1 vec(a_1) + l_2 vec(a_2) ) ^^ vec(r_i)) =
l_1vec(r_i) ^^ (vec (a_1) ^^ vec (r_i)) + l_2vec(r_i) ^^ (vec (a_2) ^^ vec (r_i)) $
$(vec (a_1) ^^ vec(r_i)) = | ( vec(i) , vec (j) , vec(k) ),( vec(a_(1x)) , vec(a_(1y)) , vec(a_(1z) )),(vec(r_(ix)) , vec(r_(iy)) , vec(r_(iz) )) | = (vec(a_(1y))vec(r_(iz) )- vec(a_(1z))vec(r_(iy)), vec(a_(1z) )vec(r_(ix)) - vec(a_(1x))vec(r_(iz) ), vec(a_(1x))vec(r_(iy)) - vec(a_(1y))vec(r_(ix))) $
$(vec(r_i)^^(vec(a_(1y))vec(r_(iz) )- vec(a_(1z))vec(r_(iy)); vec(a_(1z) )vec(r_(ix)) - vec(a_(1x))vec(r_(iz) ); vec(a_(1x))vec(r_(iy)) - vec(a_(1y))vec(r_(ix))))= | ( vec(i) , vec (j) , vec(k) ),(vec(r_(ix)) , vec(r_(iy)) , vec(r_(iz) )),(vec(a_(1y))vec(r_(iz) )- vec(a_(1z))vec(r_(iy)), vec(a_(1z) )vec(r_(ix)) - vec(a_(1x))vec(r_(iz) ), vec(a_(1x))vec(r_(iy)) - vec(a_(1y))vec(r_(ix)))| = (vec(r_(iy))^2vec(a_(1x)) +vec(r_(iz))^2vec(a_(1x)) - vec(r_(iy))vec(r_(ix))vec(a_(1y)) - vec(r_(iz))vec(r_(ix))vec(a_(1z)) , vec(r_(iz))^2vec(a_(1y)) +vec(r_(ix))^2vec(a_(1y)) - vec(r_(iz))vec(r_(iy))vec(a_(1z)) - vec(r_(ix))vec(r_(iy))vec(a_(1x)), vec(r_(ix))^2vec(a_(1z)) +vec(r_(iy))^2vec(a_(1z)) - vec(r_(ix))vec(r_(iz))vec(a_(1x)) - vec(r_(iy))vec(r_(iz))vec(a_(1z))) $
Analogamente per le altre matrici con $vec(a_2)$
Ottengo quindi:
$l_1 (vec(r_(iy))^2vec(a_(1x)) +vec(r_(iz))^2vec(a_(1x)) - vec(r_(iy))vec(r_(ix))vec(a_(1y)) - vec(r_(iz))vec(r_(ix))vec(a_(1z)) , vec(r_(iz))^2vec(a_(1y)) +vec(r_(ix))^2vec(a_(1y)) - vec(r_(iz))vec(r_(iy))vec(a_(1z)) - vec(r_(ix))vec(r_(iy))vec(a_(1x)), vec(r_(ix))^2vec(a_(1z)) +vec(r_(iy))^2vec(a_(1z)) - vec(r_(ix))vec(r_(iz))vec(a_(1x)) - vec(r_(iy))vec(r_(iz))vec(a_(1z))) + l_2 (vec(r_(iy))^2vec(a_(2x)) +vec(r_(iz))^2vec(a_(2x)) - vec(r_(iy))vec(r_(ix))vec(a_(2y)) - vec(r_(iz))vec(r_(ix))vec(a_(2z)) , vec(r_(iz))^2vec(a_(2y)) +vec(r_(ix))^2vec(a_(2y)) - vec(r_(iz))vec(r_(iy))vec(a_(2z)) - vec(r_(ix))vec(r_(iy))vec(a_(2x)), vec(r_(ix))^2vec(a_(2z)) +vec(r_(iy))^2vec(a_(2z)) - vec(r_(ix))vec(r_(iz))vec(a_(2x)) - vec(r_(iy))vec(r_(iz))vec(a_(2z))) = l_1 i_o (vec(a_1)) + l_2 i_o (vec(a_2)) = i_o (l_1 vec(a_1) + l_2 vec(a_2) )$
Dimostrato?
"wackos":
FORSE ho capito...
Quindi non perdiamo tempo e iniziamo...
$i_o (l_1 vec(a_1) + l_2 vec(a_2) ) = Sigma m_i vec(r_i) ^^ ((l_1 vec(a_1) + l_2 vec(a_2) ) ^^ vec(r_i)) =
l_1vec(r_i) ^^ (vec (a_1) ^^ vec (r_i)) + l_2vec(r_i) ^^ (vec (a_2) ^^ vec (r_i)) $
$(vec (a_1) ^^ vec(r_i)) = | ( vec(i) , vec (j) , vec(k) ),( vec(a_(1x)) , vec(a_(1y)) , vec(a_(1z) )),(vec(r_(ix)) , vec(r_(iy)) , vec(r_(iz) )) | = (vec(a_(1y))vec(r_(iz) )- vec(a_(1z))vec(r_(iy)), vec(a_(1z) )vec(r_(ix)) - vec(a_(1x))vec(r_(iz) ), vec(a_(1x))vec(r_(iy)) - vec(a_(1y))vec(r_(ix))) $
…...
Dimostrato?
Guarda, apprezzo le tue buone intenzioni. Ma quando sviluppi un determinante come quello simbolico, in cui gli elementi della prima riga sono i tre versori della terna cartesiana $veci, veci, veck$ , questi non devono sparire !
Dovresti scrivere : $veci(……) + vecj(……) + veck (…..) $ come risultato. E così nel calcolo successivo.
Pero le componenti non sono vettori!!! Non devi mettere il segno di vettore sulle componenti, insomma.
Tu hai scritto il vettore al secondo membro come $ (…., ….. , …..) $ , cioè riportando solo le componenti (con le frecce , che devi togliere perché è sbagliato).
Formalmente non andrebbe bene….ma lo scopo e il procedimento è quello che hai capito. Correggi e ci sei, spero.
Te l'avevo già fatta vedere la linearità, senza fare i calcoli. E poi le prime 8 pagine della dispensa di Nearing che ho linkato sono molto chiare , se sai l'inglese.
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