Tensore di Cauchy per la meccanica del continuo
Salve! Ho un dubbio sugli elementi che costituiscono il tensore di Cauchy.
In particolare mi è stato accennato che i suoi elementi possono essere sia numeri (nel caso in cui riferisca il tensore a un punto specifico) che funzioni (nel caso in cui, invece, lo lascio funzione del punto dove lo calcolo).
Risulta anche a voi questo?
Inoltre: quando mi viene quindi dato un tensore coi “numeri”, esso è valido per il calcolo delle tensioni su una qualunque giacitura di normale n che però si trova nell’intorno di quel punto, vero? Cioè non è che un tensore di Cauchy con valori numerici mi vale per il calcolo dello stato di tensione in tutto il continuo, no? Proprio perché so che la tensione dipende, oltre che dalla normale, anche dal punto...
Se invece mi fosse dato un tensore con funzioni invece potrei quindi calcolare le tensioni in ogni punto del continuo e per ogni sua giacitura?
Grazie
In particolare mi è stato accennato che i suoi elementi possono essere sia numeri (nel caso in cui riferisca il tensore a un punto specifico) che funzioni (nel caso in cui, invece, lo lascio funzione del punto dove lo calcolo).
Risulta anche a voi questo?
Inoltre: quando mi viene quindi dato un tensore coi “numeri”, esso è valido per il calcolo delle tensioni su una qualunque giacitura di normale n che però si trova nell’intorno di quel punto, vero? Cioè non è che un tensore di Cauchy con valori numerici mi vale per il calcolo dello stato di tensione in tutto il continuo, no? Proprio perché so che la tensione dipende, oltre che dalla normale, anche dal punto...
Se invece mi fosse dato un tensore con funzioni invece potrei quindi calcolare le tensioni in ogni punto del continuo e per ogni sua giacitura?
Grazie
Risposte
Il tensore delle tensioni è una "proprietà" del punto, cioè in quel punto puoi conoscere tutte le tensioni indipendentemente dall'orientamento che stai esaminando tramite il tensore delle tensioni.
Nel caso particolare che citi, se non ho capito male, hai un tensore in funzione delle coordinate del punto, in questo caso per ogni punto di coordinate generiche $x,y,z$ allora puoi trovare il tensore corrispondente, ma di fatto rimane sempre il concetto che il tensore delle tensioni è una proprietà del punto.
Spero di non aver frainteso la tua domanda.
Dimenticavo di aggiungere una cosa, chiaramente anche se il tensore delle tensioni è espresso per funzioni dovranno valere tutte le proprietà del tensore in ogni punto che stai considerando ... altrimenti c'è qualcosa che va contro tutte le ipotesi con cui è stato elaborato il modello di Cauchy.
Nel caso particolare che citi, se non ho capito male, hai un tensore in funzione delle coordinate del punto, in questo caso per ogni punto di coordinate generiche $x,y,z$ allora puoi trovare il tensore corrispondente, ma di fatto rimane sempre il concetto che il tensore delle tensioni è una proprietà del punto.
Spero di non aver frainteso la tua domanda.
Dimenticavo di aggiungere una cosa, chiaramente anche se il tensore delle tensioni è espresso per funzioni dovranno valere tutte le proprietà del tensore in ogni punto che stai considerando ... altrimenti c'è qualcosa che va contro tutte le ipotesi con cui è stato elaborato il modello di Cauchy.
Grazie d’accordo.
Quindi se ho capito bene diciamo che se mi viene data la matrice del tensore con 9 valori numerici (che poi saranno 6 per la simmetria della matrice) sono in grado di ricavare lo stato tensionale per qualsiasi giacitura passante per quel punto.
Se invece nella matrice ho delle funzioni allora posso individuare prima il punto di interesse (x,y,z) e poi le tensioni per ogni giacitura per quel punto.
Quindi se ho capito bene diciamo che se mi viene data la matrice del tensore con 9 valori numerici (che poi saranno 6 per la simmetria della matrice) sono in grado di ricavare lo stato tensionale per qualsiasi giacitura passante per quel punto.
Se invece nella matrice ho delle funzioni allora posso individuare prima il punto di interesse (x,y,z) e poi le tensioni per ogni giacitura per quel punto.
"AndrewX":
Se invece nella matrice ho delle funzioni allora posso individuare prima il punto di interesse (x,y,z) e poi le tensioni per ogni giacitura per quel punto.
Si, dico una cosa ovvia ma giusto per chiarire. Giacitura e punto sono due cose diverse, cioè:
$vec(t)=[T(x,y,z)]*vec(u)$ così troveresti le componenti di tensione $vec(t)$ nel punto $P=(x,y,z)$ rispetto a un piano che ha normale $vec(u)$ e passante per $P=(x,y,z)$, poi sai come trovarti la $sigma$ e la $tau$
Ecco però allora in generale scelto un punto P nel solido e una giacitura (quindi un piano) che passa per esso ho UN valore di tensione (sollecitazione che dir si voglia), indipendentemente dal sistema di riferimento scelto. Tuttavia se cambio sdr mi cambia “l’espressione” di tale stato tensionale. Giusto?
Cioè come È sollecitato un corpo non può dipendere dal sdr che scelgo per descriverlo. La sollecitazione in generale varia invece per un punto scelto nel corpo e per l’orientazione di un piano che vi passa.
Cioè come È sollecitato un corpo non può dipendere dal sdr che scelgo per descriverlo. La sollecitazione in generale varia invece per un punto scelto nel corpo e per l’orientazione di un piano che vi passa.
se scegli una giacitura di un piano passante per un punto P generico non hai definito completamente la terna d'assi, hai solo l'asse normale (e quindi la componente normale univocamente definita), le altre due dipendono poi dagli altri due assi che possono "ruotare" sulla normale.
Lo stato tensionale "non cambia", cambia solo il modo di esprimerlo ma in qualche modo cmq lo devi esprimere.
Lo stato tensionale "non cambia", cambia solo il modo di esprimerlo ma in qualche modo cmq lo devi esprimere.
L'indipendenza dello stato tensionale dalla terna scelta per rappresentarlo è una ipotesi costitutiva, non si può dimostrare ma solo ipotizzare. SI dice in tal caso che il tensore degli sforzi di Cauchy è obiettivo, ma è una questione tutt'altro che banale.
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