Tensioni dei fili
Nonostante io non studi fisica da poco tempo oggi mi sono per l'ennesima volta imbattuto in uno dei dubbi che non ho mai risolto. La domanda è davvero offensiva, stupida ma io non riesco davvero a far quadrare i conti.
Situazione semplicissima:
viene applicata un'accelerazione \(\displaystyle a \) diretta verso l'alto ad un filo (la cui massa è trascurabile) a cui è attaccata una massa \(\displaystyle m \). Calcolare le tensioni del filo nel caso di quiete \(\displaystyle T_g \) e nel caso di moto \(\displaystyle T_m \) e determinare, durante la fase di moto accelerato, quali sono le forze applicate al corpo e il valore della loro risultante per un osservatore solidale al filo. Dati: \(\displaystyle a=4 m/s^2 \) , \(\displaystyle m=1.38 Kg \) .
Nel caso di quiete vale: \(\displaystyle mg-T_g=0 \) da cui ottengo che \(\displaystyle T_g=mg=13.5N \).
Questa è la tensione dovuta al peso del corpo \(\displaystyle m \).
Per la tensione del filo nel caso di moto, l'intuito mi suggerisce di sommare le due accelerazioni e moltiplicare questa somma per la massa. Così facendo ottengo un risultato corretto: \(\displaystyle T_m=(a+g)\cdot m=19N\).
Questa invece è la tensione dovuta al peso del corpo più la sollecitazione che il filo subisce a causa della forza applicata verso l'alto. La tensione dovuta alla sola accelerazione verso l'alto è: \(\displaystyle T_a=ma=5.5N \)
Non riesco però a spiegarmi il significato delle equazioni:
se c'è moto io posso scrivere:
\(\displaystyle ma+T_q-mg-T_a=ma' \)
dove con \(\displaystyle a' \) indico l'accelerazione risultante che causa il moto: chiaramente se c'è moto \(\displaystyle a'\neq 0 \).
Credo di non aver trascurato niente. Le forze in gioco sono tutte quante inserite nell'equazione ma al momento del calcolo io non capisco più nulla. Come faccio a far quadrare i conti se le tensioni calcolate sono uguali alle forze che le generano? Dovrei elidere i termini e ritrovarmi con \(\displaystyle ma'=0 \) il che significa che c'è equilibrio.
Ma se ho detto che c'è moto, affinché io possa trovare un \(\displaystyle a'\neq 0 \) dovrei pensare che le tensioni dei fili sono in valore assoluto diverse dalle forze che le generano...Per questo motivo inizio a preoccuparmi quando incontro quesiti nei quali è richiesto di calcolare le tensioni dei fili o comunque di tenerne conto nelle equazioni.
Perché quando non considero nell'equazione le tensioni i conti quadrano? Come faccio a considerarle senza confondermi?
Qual è il ragionamento giusto da "ficcarmi" in testa affinché non commetta errori e/o non mi blocchi su conti così stupidi?
Situazione semplicissima:
viene applicata un'accelerazione \(\displaystyle a \) diretta verso l'alto ad un filo (la cui massa è trascurabile) a cui è attaccata una massa \(\displaystyle m \). Calcolare le tensioni del filo nel caso di quiete \(\displaystyle T_g \) e nel caso di moto \(\displaystyle T_m \) e determinare, durante la fase di moto accelerato, quali sono le forze applicate al corpo e il valore della loro risultante per un osservatore solidale al filo. Dati: \(\displaystyle a=4 m/s^2 \) , \(\displaystyle m=1.38 Kg \) .
Nel caso di quiete vale: \(\displaystyle mg-T_g=0 \) da cui ottengo che \(\displaystyle T_g=mg=13.5N \).
Questa è la tensione dovuta al peso del corpo \(\displaystyle m \).
Per la tensione del filo nel caso di moto, l'intuito mi suggerisce di sommare le due accelerazioni e moltiplicare questa somma per la massa. Così facendo ottengo un risultato corretto: \(\displaystyle T_m=(a+g)\cdot m=19N\).
Questa invece è la tensione dovuta al peso del corpo più la sollecitazione che il filo subisce a causa della forza applicata verso l'alto. La tensione dovuta alla sola accelerazione verso l'alto è: \(\displaystyle T_a=ma=5.5N \)
Non riesco però a spiegarmi il significato delle equazioni:
se c'è moto io posso scrivere:
\(\displaystyle ma+T_q-mg-T_a=ma' \)
dove con \(\displaystyle a' \) indico l'accelerazione risultante che causa il moto: chiaramente se c'è moto \(\displaystyle a'\neq 0 \).
Credo di non aver trascurato niente. Le forze in gioco sono tutte quante inserite nell'equazione ma al momento del calcolo io non capisco più nulla. Come faccio a far quadrare i conti se le tensioni calcolate sono uguali alle forze che le generano? Dovrei elidere i termini e ritrovarmi con \(\displaystyle ma'=0 \) il che significa che c'è equilibrio.
Ma se ho detto che c'è moto, affinché io possa trovare un \(\displaystyle a'\neq 0 \) dovrei pensare che le tensioni dei fili sono in valore assoluto diverse dalle forze che le generano...Per questo motivo inizio a preoccuparmi quando incontro quesiti nei quali è richiesto di calcolare le tensioni dei fili o comunque di tenerne conto nelle equazioni.
Perché quando non considero nell'equazione le tensioni i conti quadrano? Come faccio a considerarle senza confondermi?
Qual è il ragionamento giusto da "ficcarmi" in testa affinché non commetta errori e/o non mi blocchi su conti così stupidi?
Risposte
Non riesco a cogliere il significato di $a'$, prova a definirla, forse ti chiarisci le idee.
il sistema in questione è costituito da una sola massa m perciò ho indicato \(\displaystyle ma' \) come la risultante delle forze. \(\displaystyle a' \) è un'accelerazione non nulla quando il sistema è in movimento ed è questo il caso poiché c'è spostamento cioè moto e non più quiete. Come faccio a calcolare matematicamente (e non a intuito come ho già fatto) la tensione \(\displaystyle T_m \) ? Volendo partire da una condizione generale (e non particolare) matematica sempre vera (come quando scrivo l'equilibrio) come faccio a ricavare adeguatamente \(\displaystyle T_m \) ?
Questo è il classico esempio dell'ascensore che accelera verso l'alto, quando parte.
Se vuoi ragionare in termini solo matematici, lasciando da parte l'intuito, come dici, fa così. Assumi un asse $z$ verticale orientato verso l'alto. Poi applica i vettori:
1) $m\veca$, che è orientato come $z$, e cioè verso l'alto, ovviamente.
2)$m\vecg$, peso dell'ascensore, orientato verso il basso.
3) $\vecT_m$, tensione nel filo, che "tira" l'ascensore, quindi è orientata verso l'alto.
Se si vuole che l'ascensore acceleri verso l'alto, ci deve essere una forza che, applicata alla massa $m$ , le imprime l'accelerazione $\veca$. Questa forza è il risultante delle forze agenti : $\vecT_m + m\vecg$ .
Ma le due forze agenti sono dirette in versi opposti, quindi allorchè proietti i vettori sull'asse $z$ ottieni che il modulo del risultante vale : $ T_m - mg$ . Perciò, la forza "netta" che causa l'accelerazione $\veca$ ha modulo uguale alla differenza tra tensione $T_m$ e peso $mg$ . La componente di $\veca$ è invece positiva.
L'equazione che risolve il problema è dunque : $ T_m - mg = ma $, ovvero, come hai scritto tu : $ T_m = m(a+g) $.
LA tensione nel filo, infatti, deve non solo vincere la forza peso $mg$, ma anche accelerare la massa.
Viceversa, quando l'ascensore arriva al piano e rallenta per fermarsi, l'accelerazione è negativa ( come componente sull'asse $z$ di prima). Che succede alle forze $ \vecT_m$ e $m\vecg$ ?
E quando l'ascensore, partendo da fermo, accelera verso il basso in discesa? E quando arriva a terra e deve fermarsi?
Se vuoi vedere le cose dal punto di vista di un osservatore non inerziale, solidale all'ascensore, entra tu stesso nell'ascensore e mettiti una bilancia pesapersone sotto i piedi : vedrai che nella fase di accelerazione in salita la bilancia segna "di più" rispetto al valore da fermo, poichè avverte anche la forza inerziale $-ma$, dovuta alla accelerazione del riferimento, subìta dalla tua massa.Nella fase di accelerazione negativa in arrivo al piano, la bilancia segna "di meno" (NB : una bilancia misura la "massa" di un corpo. Ma "localmente" , cioè in porzioni di spazio sufficientemente piccole da poter ritenere uniforme il campo gravitazionale $\vecg$ , massa e peso si possono ritenere proporzionali )
Insomma, per l'ossevatore si ha quello che si verifica in una automobile : quando acceleri, il sedile ti spinge in avanti, e tu premi sul sedile con la forza d'inerzia $-ma$ ( però ora ti sei liberato della accelerazione gravitazionale). Le due forze, nel riferimento non inerziale dell'automobile, si equilibrano, e tu rimani in quiete rispetto all'auto ( salvo lieve schiacciamento del sedile).
In definitiva, quello dell'ascensore, corpo "rigido" di massa $m = cost$ , non è altro che un semplice esempio di applicazione dell prima equazione Cardinale della Dinamica, in un riferimento inerziale : il risultante delle forze esterne agenti su un sistema è uguale alla variazione della quantità di moto del sistema .
Cioè : $ \vecR_e = (d\vecQ)/dt = m (d\vecv)/(dt) = m\veca $ ----(1)
Questa equazione vettoriale, che esiste indipendentemente da qualunque riferimento cartesiano (come tutte le eq vettoriali, che per questo esistono) , consente di risolvere il problema dell'ascensore, in ogni condizione, tenendo presente che le forze esterne sono solo due, la tensione $\vecT$ esercitata dal cavo, diretta sempre in alto, e la forza peso $\vec(mg)$, diretta sempre in basso. Quella che cambia verso, è l'accelerazione, nei 4 casi detti.
Per esplicitare le rispettive equazioni scalari, assumi ora un asse $z$ orientato verso l'alto, proietta su quest'asse la(1) con i giusti versi di forze ed accelerazione, e hai tutti i risultati che vuoi.
Se vuoi ragionare in termini solo matematici, lasciando da parte l'intuito, come dici, fa così. Assumi un asse $z$ verticale orientato verso l'alto. Poi applica i vettori:
1) $m\veca$, che è orientato come $z$, e cioè verso l'alto, ovviamente.
2)$m\vecg$, peso dell'ascensore, orientato verso il basso.
3) $\vecT_m$, tensione nel filo, che "tira" l'ascensore, quindi è orientata verso l'alto.
Se si vuole che l'ascensore acceleri verso l'alto, ci deve essere una forza che, applicata alla massa $m$ , le imprime l'accelerazione $\veca$. Questa forza è il risultante delle forze agenti : $\vecT_m + m\vecg$ .
Ma le due forze agenti sono dirette in versi opposti, quindi allorchè proietti i vettori sull'asse $z$ ottieni che il modulo del risultante vale : $ T_m - mg$ . Perciò, la forza "netta" che causa l'accelerazione $\veca$ ha modulo uguale alla differenza tra tensione $T_m$ e peso $mg$ . La componente di $\veca$ è invece positiva.
L'equazione che risolve il problema è dunque : $ T_m - mg = ma $, ovvero, come hai scritto tu : $ T_m = m(a+g) $.
LA tensione nel filo, infatti, deve non solo vincere la forza peso $mg$, ma anche accelerare la massa.
Viceversa, quando l'ascensore arriva al piano e rallenta per fermarsi, l'accelerazione è negativa ( come componente sull'asse $z$ di prima). Che succede alle forze $ \vecT_m$ e $m\vecg$ ?
E quando l'ascensore, partendo da fermo, accelera verso il basso in discesa? E quando arriva a terra e deve fermarsi?
Se vuoi vedere le cose dal punto di vista di un osservatore non inerziale, solidale all'ascensore, entra tu stesso nell'ascensore e mettiti una bilancia pesapersone sotto i piedi : vedrai che nella fase di accelerazione in salita la bilancia segna "di più" rispetto al valore da fermo, poichè avverte anche la forza inerziale $-ma$, dovuta alla accelerazione del riferimento, subìta dalla tua massa.Nella fase di accelerazione negativa in arrivo al piano, la bilancia segna "di meno" (NB : una bilancia misura la "massa" di un corpo. Ma "localmente" , cioè in porzioni di spazio sufficientemente piccole da poter ritenere uniforme il campo gravitazionale $\vecg$ , massa e peso si possono ritenere proporzionali )
Insomma, per l'ossevatore si ha quello che si verifica in una automobile : quando acceleri, il sedile ti spinge in avanti, e tu premi sul sedile con la forza d'inerzia $-ma$ ( però ora ti sei liberato della accelerazione gravitazionale). Le due forze, nel riferimento non inerziale dell'automobile, si equilibrano, e tu rimani in quiete rispetto all'auto ( salvo lieve schiacciamento del sedile).
In definitiva, quello dell'ascensore, corpo "rigido" di massa $m = cost$ , non è altro che un semplice esempio di applicazione dell prima equazione Cardinale della Dinamica, in un riferimento inerziale : il risultante delle forze esterne agenti su un sistema è uguale alla variazione della quantità di moto del sistema .
Cioè : $ \vecR_e = (d\vecQ)/dt = m (d\vecv)/(dt) = m\veca $ ----(1)
Questa equazione vettoriale, che esiste indipendentemente da qualunque riferimento cartesiano (come tutte le eq vettoriali, che per questo esistono) , consente di risolvere il problema dell'ascensore, in ogni condizione, tenendo presente che le forze esterne sono solo due, la tensione $\vecT$ esercitata dal cavo, diretta sempre in alto, e la forza peso $\vec(mg)$, diretta sempre in basso. Quella che cambia verso, è l'accelerazione, nei 4 casi detti.
Per esplicitare le rispettive equazioni scalari, assumi ora un asse $z$ orientato verso l'alto, proietta su quest'asse la(1) con i giusti versi di forze ed accelerazione, e hai tutti i risultati che vuoi.
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