Tensione nelle funi

[TS778LB]

Supponiamo di avere una fune omogenea ed inestensibile, di lunghezza $ L $ , la cui massa per unità di lunghezza sia $ \lambda $, che sia sottoposta all'azione simultanea di due forze $ \vecF_A $ e $ \vecF_B $ applicate ai suoi estremi, aventi stessa retta d'azione e versi opposti. Nell'ipotesi di trascurabilità della forza peso, come posso ricavare l'espressione della tensione in un punto generico $ P $ a distanza $ x $ dall'estremo $ A $ ?

[anonymous_0b37e9]

Supponendo, per sempicità:

$F_B gt= F_A$

con $vecF_B$ agente, verso destra, sull'estremo della fune di destra e $vecF_A$ agente, verso sinistra, sull'estremo della fune di sinistra, si ha:

$a=(F_B-F_A)/(\lambdaL)$

Quindi, si tratta di risolvere la seguente equazione differenziale:

$[\Deltax rarr 0] rarr$

$rarr [T(x+\Deltax)-T(x)=\lambda\Deltaxa] rarr$

$rarr [(T(x+\Deltax)-T(x))/(\Deltax)=\lambdaa] rarr$

$rarr [(dT)/(dx)=\lambdaa]$

con almeno una delle seguenti condizioni al contorno:

$[T(0)=F_A] vv [T(L)=F_B]$

Tuttavia, se $\lambda$ è costante, puoi procedere anche senza scomodare le equazioni differenziali.

[TS778LB]

Come soluzione viene riportata $ T=F_A+\frac{x}{L}(F_B-F_A) $ ! Come potrei arrivarci seguendo il tuo ragionamento?

[anonymous_0b37e9]

$[(dT)/(dx)=\lambdaa] rarr [T(x)=\lambdaax+C]$

$[T(0)=F_A] rarr [F_A=C] rarr [T(x)=\lambdaax+F_A]$

$[a=(F_B-F_A)/(\lambdaL)] rarr [T(x)=\lambda(F_B-F_A)/(\lambdaL)x+F_A] rarr [T(x)=x/L(F_B-F_A)+F_A]$

[professorkappa]

La soluzione di SE e' elegantissima.
Un'alternativa piu' terra-terra e' quella della sezione ideale della fune a un punto generico x. In quel punto esiste la tensione T e quindi per lo spezzone di sx,

$T-F_A=ma=lambda*x*a$.

con $a=(F_B-F_A)/[lambda*L]$

Da cui $T=F_A+lambda*x*(F_B-F_A)/[lambda*L]=F_A+x/L(F_B-F_A)$.