Tensione fune
Ciao a tutti, è la prima volta che scrivo su questo forum. Tuttavia prima di far ciò, ho provato a cercare qualche argomento che trattasse all'incirca il mio problema ma devo dire che non ho trovato una risposta che centrasse a pieno il problema.
Veniamo a noi:
Supponiamo che su di un piano orizzontale liscio, vi siano due masse, m1 ed m2 (con m1 che precede m2) collegate tra di loro attraverso una fune inestensibile . Inoltre supponiamo che il sistema (masse+fune) stia accelerando. Ora, non è interessante la causa di tale accelerazione al fine del mio discorso (o almeno lo spero
).
Quello su cui vorrei porre l'attenzione è la dinamica della fune in questa situazione.
Applicando la seconda legge di Newton sulla fune ( in particolare, su una porzione di essa), posso affermare che: la risultante delle forze che agiscono sulla fune è data da
F(m1,f) - F(m2,f) = m(fune)*a
dove F[m(i),f] è da leggere : la forza applicata dalla massa m(i), sulla fune
Accelerazione "a" uguale per m1,m2 e per la fune, in quanto inestensibile (supponiamo di 1m*s^-2).
Ora, il ragionamento che leggo su molti libri di trascurare la massa della fune mi ha messo una pulce nell'orecchio. Di solito si giustifica questa approssimazione per far quadrare i conti. Ovvero, secondo la mia "visione fisica" della faccenda:
Nell'applicare la seconda legge di Newton sul pezzo di fune deve succedere che, la risultante delle forze che agiscono su di esso non deve cambiare ( o deformare) la lunghezza di questo, cioè il pezzetto di fune non deve accelerare.Quindi, la risultante delle forze agenti sulla fune deve essere circa nulla, per non contraddire il fatto che la fune fosse inestensibile. Ma far ciò contraddice anche un'altra cosa, a mio avviso,ed è il fatto che il sistema (masse+filo) stia accelerando.
In quanto è noto che la fune è accelerata ed ha la stessa accelerazione delle masse m1 ed m2 poichè e "si muove" con queste ultime.
I due punti di vista sono nettamente opposti. Da una parte ogni singolo pezzetto della fune non deve accelerare perchè ciò implicherebbe l'esistenza di una forza che deformerebbe la corda (verrebbe meno la inestensibiltà) e dall'altro però che tutti i punti si muovono con una certa accelerazione.
Tutto ciò mi porta a concludere solo una cosa:
Per non contraddire il fatto che non ci debba essere accelerazione sulla porzione di fune si suppone che la risultante delle forze debba essere circa nulla e che per forza di cose la massa debba essere trascurabile.( Ho utilizzato la legge di annullamento del prodotto nel secondo membro dell'equazione che ho scritto sopra)
Sono molto in confusione e spero che qualcuno più esperto di me possa darmi qualche dritta.
Mi scuso se non ho utilizzato i caratteri corretti per le formule ma devo prenderci la mano.
Saluti
Veniamo a noi:
Supponiamo che su di un piano orizzontale liscio, vi siano due masse, m1 ed m2 (con m1 che precede m2) collegate tra di loro attraverso una fune inestensibile . Inoltre supponiamo che il sistema (masse+fune) stia accelerando. Ora, non è interessante la causa di tale accelerazione al fine del mio discorso (o almeno lo spero
).Quello su cui vorrei porre l'attenzione è la dinamica della fune in questa situazione.
Applicando la seconda legge di Newton sulla fune ( in particolare, su una porzione di essa), posso affermare che: la risultante delle forze che agiscono sulla fune è data da
F(m1,f) - F(m2,f) = m(fune)*a
dove F[m(i),f] è da leggere : la forza applicata dalla massa m(i), sulla fune
Accelerazione "a" uguale per m1,m2 e per la fune, in quanto inestensibile (supponiamo di 1m*s^-2).
Ora, il ragionamento che leggo su molti libri di trascurare la massa della fune mi ha messo una pulce nell'orecchio. Di solito si giustifica questa approssimazione per far quadrare i conti. Ovvero, secondo la mia "visione fisica" della faccenda:
Nell'applicare la seconda legge di Newton sul pezzo di fune deve succedere che, la risultante delle forze che agiscono su di esso non deve cambiare ( o deformare) la lunghezza di questo, cioè il pezzetto di fune non deve accelerare.Quindi, la risultante delle forze agenti sulla fune deve essere circa nulla, per non contraddire il fatto che la fune fosse inestensibile. Ma far ciò contraddice anche un'altra cosa, a mio avviso,ed è il fatto che il sistema (masse+filo) stia accelerando.
In quanto è noto che la fune è accelerata ed ha la stessa accelerazione delle masse m1 ed m2 poichè e "si muove" con queste ultime.
I due punti di vista sono nettamente opposti. Da una parte ogni singolo pezzetto della fune non deve accelerare perchè ciò implicherebbe l'esistenza di una forza che deformerebbe la corda (verrebbe meno la inestensibiltà) e dall'altro però che tutti i punti si muovono con una certa accelerazione.
Tutto ciò mi porta a concludere solo una cosa:
Per non contraddire il fatto che non ci debba essere accelerazione sulla porzione di fune si suppone che la risultante delle forze debba essere circa nulla e che per forza di cose la massa debba essere trascurabile.( Ho utilizzato la legge di annullamento del prodotto nel secondo membro dell'equazione che ho scritto sopra)
Sono molto in confusione e spero che qualcuno più esperto di me possa darmi qualche dritta.
Mi scuso se non ho utilizzato i caratteri corretti per le formule ma devo prenderci la mano.
Saluti
Risposte
Ciao e benvenuto.
Fai un po' di confusione perché non puoi applicare l'equazione di Newton $F = m a$ a un caso limite in cui la massa è nulla senza tener conto di cosa accade all'altro termine dell'equazione (cioè la forza o meglio la risultante delle forze applicate alla massa) in quel caso.
Inoltre non è vero che la massa della fune debba trascurarsi necessariamente, si trascura se è trascurabile, altrimenti se ne tiene conto, non viene fuori alcuna contraddizione.
Vediamo in formule cosa accade (nel caso che hai in mente le forze sono dirette lungo la fune, altrimenti le cose si complicherebbero), la fune può considerarsi come una sbarra rigida di massa nota che congiunge le due masse.
Applicando l'equazione di Newton a tutto il corpo costituito dalle due masse più la fune di massa $M$ (supponiamo per concretizzare le idee che $F_1>F_2$ in modulo e che le direzioni delle due forze siano opposte):
$(m_1+m_2+M)a=F_1-F_2$
quindi
$a=(F_1-F_2)/(m_1+m_2+M)$
Se volessimo calcolare le forze che agiscono sulla fune alle estremità potremmo pensare di rimuovere prima una massa e poi l'altra applicando la forza che ciascuna massa esercita sulla fune. Usiamo l'equazione di Newton per ciascun caso:
$T_1-F_2=(m_2+M)a$
(con $T_1$ forza sulla fune in prossimità dell'estremo dove c'e(ra) la $m_1$).
Da questa si trova
$T_1=F_2+(m_2+M)(F_1-F_2)/(m_1+m_2+M)$
analogamente per la forza sulla fune all'altro estremo:
$F_1-T_2=(m_1+M)a$
da cui
$T_2=F_1-(m_1+M)(F_1-F_2)/(m_1+m_2+M)$
queste sono le forze agli estremi della fune, anche se fosse $M=0$ comunque forniscono delle relazioni valide, precisamente in quel caso si troverebbe che $T_1=T_2$.
Ora se volessimo applicare l'equazione di Newton alla corda senza le masse dovremmo scrivere
$T_1-T_2 = M a$
sostituendo le relazioni trovate per $a$ e per $T_1$ e $T_2$ si trova
$(F_2-F_1)+ (F_1-F_2)/(m_1+m_2+M)(2M+m_1+m_2)=M(F_1-F_2)/(m_1+m_2+M)$
se ora ponessimo $M=0$ otterremo una forma indeterminata
$0=0$ d'altra parte non ha senso applicare Newton ad una massa nulla infatti...
Spero di aver chiarito i tuoi dubbi.
Fai un po' di confusione perché non puoi applicare l'equazione di Newton $F = m a$ a un caso limite in cui la massa è nulla senza tener conto di cosa accade all'altro termine dell'equazione (cioè la forza o meglio la risultante delle forze applicate alla massa) in quel caso.
Inoltre non è vero che la massa della fune debba trascurarsi necessariamente, si trascura se è trascurabile, altrimenti se ne tiene conto, non viene fuori alcuna contraddizione.
Vediamo in formule cosa accade (nel caso che hai in mente le forze sono dirette lungo la fune, altrimenti le cose si complicherebbero), la fune può considerarsi come una sbarra rigida di massa nota che congiunge le due masse.
Applicando l'equazione di Newton a tutto il corpo costituito dalle due masse più la fune di massa $M$ (supponiamo per concretizzare le idee che $F_1>F_2$ in modulo e che le direzioni delle due forze siano opposte):
$(m_1+m_2+M)a=F_1-F_2$
quindi
$a=(F_1-F_2)/(m_1+m_2+M)$
Se volessimo calcolare le forze che agiscono sulla fune alle estremità potremmo pensare di rimuovere prima una massa e poi l'altra applicando la forza che ciascuna massa esercita sulla fune. Usiamo l'equazione di Newton per ciascun caso:
$T_1-F_2=(m_2+M)a$
(con $T_1$ forza sulla fune in prossimità dell'estremo dove c'e(ra) la $m_1$).
Da questa si trova
$T_1=F_2+(m_2+M)(F_1-F_2)/(m_1+m_2+M)$
analogamente per la forza sulla fune all'altro estremo:
$F_1-T_2=(m_1+M)a$
da cui
$T_2=F_1-(m_1+M)(F_1-F_2)/(m_1+m_2+M)$
queste sono le forze agli estremi della fune, anche se fosse $M=0$ comunque forniscono delle relazioni valide, precisamente in quel caso si troverebbe che $T_1=T_2$.
Ora se volessimo applicare l'equazione di Newton alla corda senza le masse dovremmo scrivere
$T_1-T_2 = M a$
sostituendo le relazioni trovate per $a$ e per $T_1$ e $T_2$ si trova
$(F_2-F_1)+ (F_1-F_2)/(m_1+m_2+M)(2M+m_1+m_2)=M(F_1-F_2)/(m_1+m_2+M)$
se ora ponessimo $M=0$ otterremo una forma indeterminata
$0=0$ d'altra parte non ha senso applicare Newton ad una massa nulla infatti...
Spero di aver chiarito i tuoi dubbi.
Ti ringrazio per la risposta. Ho ancora un paio di domande da farti.
1) Il fatto di aver supposto che F1 sia maggiore di F2, è per far si che il sistema accelerasse?
2)Considerando la macchina di Atwood. Consideriamo anche due masse (m1>m2), le quali sono collegate tra loro da un filo ideale, qual è il motivo per cui le tensione agli estremi della fune debbano essere le stesse?
Perchè, da una parte, la massa m1 esercitata il suo peso sulla fune (P1). Essa a sua volta (per reazione) eserciterà una tensione T1 su m1, uguale e opposta. Dall'altra parte, la massa m2 esercita il suo peso sulla fune (P2). Essa a sua volta (per reazione) eserciterà una tensione T2 su m2, uguale e opposta.
Ma perchè T1 deve essere uguale a T2? Proprio perchè ho considerato che le tensione siano uguali e opposte ai relativi pesi non possono essere uguali!! Perchè la tensione deve essere uguale su tutto i sistema??
Sto sbagliando sicuramente qualcosa
1) Il fatto di aver supposto che F1 sia maggiore di F2, è per far si che il sistema accelerasse?
2)Considerando la macchina di Atwood. Consideriamo anche due masse (m1>m2), le quali sono collegate tra loro da un filo ideale, qual è il motivo per cui le tensione agli estremi della fune debbano essere le stesse?
Perchè, da una parte, la massa m1 esercitata il suo peso sulla fune (P1). Essa a sua volta (per reazione) eserciterà una tensione T1 su m1, uguale e opposta. Dall'altra parte, la massa m2 esercita il suo peso sulla fune (P2). Essa a sua volta (per reazione) eserciterà una tensione T2 su m2, uguale e opposta.
Ma perchè T1 deve essere uguale a T2? Proprio perchè ho considerato che le tensione siano uguali e opposte ai relativi pesi non possono essere uguali!! Perchè la tensione deve essere uguale su tutto i sistema??
Sto sbagliando sicuramente qualcosa
"dariofw":
Ti ringrazio per la risposta. Ho ancora un paio di domande da farti.
1) Il fatto di aver supposto che F1 sia maggiore di F2, è per far si che il sistema accelerasse?
No. L'ho detto per semplificarti il ragionamento sulle formule. Se vuoi non è necessario si può lasciare tutto generico, ma poi occorre fare attenzione a come si considerano i segni.
"dariofw":
2)Considerando la macchina di Atwood. Consideriamo anche due masse (m1>m2), le quali sono collegate tra loro da un filo ideale, qual è il motivo per cui le tensione agli estremi della fune debbano essere le stesse?
Lo stesso motivo per cui agli estremi della fune nell'esempio di prima le tensioni $T_1$ e $T_2$ sono uguali se $M=0$: basta applicare bene la formula di Newton e nel caso di massa nulla della corda si ottiene quel risultato.
Nel caso della macchina di Artwood il ragionamento è simile, sempre se la corda e la carrucola (se la corda aderisce alla carrucola) hanno massa nulla.
"dariofw":
[...]
Proprio perchè ho considerato che le tensione siano uguali e opposte ai relativi pesi non possono essere uguali!!
Le tensioni NON sono in generale uguali ed opposte ai relativi pesi, lo sarebbero solo se l'accelerazione del sistema fosse nulla e quindi se le masse dalle due parti fossero uguali.
Scusa Faussone se mi intrometto, non sono solito farlo, specie se sei tu a rispondere. Ma vorrei far osservare esplicitamente a Dario il suo errore, in questa frase :
Rifletti Dario : se la massa $m_1$ fosse sottoposta a due forze $P_1$ e $T_1$ uguali e contrarie, non si muoverebbe verso il basso, con moto accelerato, ma resterebbe ferma. Analogamente. se la massa $m_2$ fosse sottoposta a due forze uguali e contrarie, non si muoverebbe verso l'alto, ma resterebbe ferma.
Puoi ricavare l'accelerazione dell'insieme delle due masse $m_1 + m_2$ da questa semplice considerazione, senza passare attraverso la tensione nel filo, che è una forza interna al sistema delle due masse :
- il peso $P_1 = m_1g$ è la forza "motrice" . Il peso $P_2 = m_2g$ è la forza "resistente" .
Queste due forze determinano l'accelerazione del sistema :
"forza motrice - forza resistente = massa totale x accelerazione" . Ovvero :
$(m_1- m_2)g = (m_1 + m_2) a $
da cui : $a = g (m_1-m_2)/(m_1 + m_2) $
Per ricavare la tensione $T_1$ nel filo che regge $m_1$ , considera $m_1$ e le forze che agiscono su di essa, e falla accelerare con l'accelerazione $a$ trovata :
$m_1a = P_1 - T_1$
analogamente fai con $m_2$ , calcolando $T_2$ .
Viene fuori che $T_1 = T_2$ .
"dariofw":
……...
Perchè, da una parte, la massa m1 esercitata il suo peso sulla fune (P1). Essa a sua volta (per reazione) eserciterà una tensione T1 su m1, uguale e opposta. Dall'altra parte, la massa m2 esercita il suo peso sulla fune (P2). Essa a sua volta (per reazione) eserciterà una tensione T2 su m2, uguale e opposta.
Rifletti Dario : se la massa $m_1$ fosse sottoposta a due forze $P_1$ e $T_1$ uguali e contrarie, non si muoverebbe verso il basso, con moto accelerato, ma resterebbe ferma. Analogamente. se la massa $m_2$ fosse sottoposta a due forze uguali e contrarie, non si muoverebbe verso l'alto, ma resterebbe ferma.
Puoi ricavare l'accelerazione dell'insieme delle due masse $m_1 + m_2$ da questa semplice considerazione, senza passare attraverso la tensione nel filo, che è una forza interna al sistema delle due masse :
- il peso $P_1 = m_1g$ è la forza "motrice" . Il peso $P_2 = m_2g$ è la forza "resistente" .
Queste due forze determinano l'accelerazione del sistema :
"forza motrice - forza resistente = massa totale x accelerazione" . Ovvero :
$(m_1- m_2)g = (m_1 + m_2) a $
da cui : $a = g (m_1-m_2)/(m_1 + m_2) $
Per ricavare la tensione $T_1$ nel filo che regge $m_1$ , considera $m_1$ e le forze che agiscono su di essa, e falla accelerare con l'accelerazione $a$ trovata :
$m_1a = P_1 - T_1$
analogamente fai con $m_2$ , calcolando $T_2$ .
Viene fuori che $T_1 = T_2$ .
Ringrazio entrambe per la vostra disponibilità e chiarezza.Ho ancora due domande :
1)Supponiamo che la fune non sia ideale (M=/0) e di trovarci nella situazione dell'esempio che vi ho esposto all'inizio.
Se dovessi trovare che la tensione sulla fune T1>T2 (cioè è più intensa su un estremo della fune che dall'altro) , potrei dire che una porzione di fune si stia allungando o deformando? Cadrebbe anche la condizione di estensibilità della fune?
2)Quando diciamo che tutti i pezzi della corda hanno la stessa tensione, stiamo dicendo che non si "allungano"?cioè che l'accelerazione relativa tra un pezzetto di fune e l'altro è nulla?
Abbiate pazienza, ma sono piuttosto "pesante" fin quando non capisco a pieno un argomento.
Saluti
1)Supponiamo che la fune non sia ideale (M=/0) e di trovarci nella situazione dell'esempio che vi ho esposto all'inizio.
Se dovessi trovare che la tensione sulla fune T1>T2 (cioè è più intensa su un estremo della fune che dall'altro) , potrei dire che una porzione di fune si stia allungando o deformando? Cadrebbe anche la condizione di estensibilità della fune?
2)Quando diciamo che tutti i pezzi della corda hanno la stessa tensione, stiamo dicendo che non si "allungano"?cioè che l'accelerazione relativa tra un pezzetto di fune e l'altro è nulla?
Abbiate pazienza, ma sono piuttosto "pesante" fin quando non capisco a pieno un argomento.
Saluti
"dariofw":
1)Supponiamo che la fune non sia ideale (M=/0) e di trovarci nella situazione dell'esempio che vi ho esposto all'inizio.
Se dovessi trovare che la tensione sulla fune T1>T2 (cioè è più intensa su un estremo della fune che dall'altro) , potrei dire che una porzione di fune si stia allungando o deformando? Cadrebbe anche la condizione di estensibilità della fune?
No. Se la massa della fune non è nulla, ottieni in generale, anche nel caso di fune inestensibile, che le tensioni agli estremi sono diverse. E' proprio quello che si ottiene dalle formule che ti ho scritto nella prima risposta!
"dariofw":
2)Quando diciamo che tutti i pezzi della corda hanno la stessa tensione, stiamo dicendo che non si "allungano"?cioè che l'accelerazione relativa tra un pezzetto di fune e l'altro è nulla?
No. Se la tensione lungo la corda è costante non è detto che non ci sia allungamento. La corda potrebbe deformarsi ma la tensione in ogni sua parte potrebbe essere la stessa, le due cose non sono legate.
"Faussone":
No. Se la massa della fune non è nulla, ottieni in generale, anche nel caso di fune inestensibile, che le tensioni agli estremi sono diverse. E' proprio quello che si ottiene dalle formule che ti ho scritto nella prima risposta!
Qual è la ragione di tutto ciò? Caspita, 'sta fune è rigida, è attaccata per i suoi estremi a due masse diverse e le due tensioni sono diverse?! non capisco il motivo
Dalle tue formule è chiaro che se M=\0 le due tensione sono diverse, ma non capisco l'origine fisica!Forse perchè le due masse, tirano diversamente la corda? E' l'unica cosa che mi viene in mente. Forse perchè F1>F2?
'
Lo vedi dalla prima risposta che ti ho dato in questa discussione.
Comunque "il modo in cui le masse tirano la corda" non c'entra nulla, tutto dipende dal fatto che la fune ha una sua massa.
Se vuoi per capire le cose considera una situazione ancora più semplice: una fune pesante senza masse alle estremità su un piano orizzontale, e immagina di tirarla da una parte con una forza diretta lungo la corda, scrivi l'equazione di Newton prima per l'intera corda e poi per diversi pezzi di corda a partire dall'estremo in cui c'è la forza verso l'altro estremo.
Vedrai che man mano che aumenti la porzione di corda considerata la tensione all'estremo scelto, dove non c'è la forza, varia, proprio a causa del fatto che varia la massa della corda considerata.
Comunque "il modo in cui le masse tirano la corda" non c'entra nulla, tutto dipende dal fatto che la fune ha una sua massa.
Se vuoi per capire le cose considera una situazione ancora più semplice: una fune pesante senza masse alle estremità su un piano orizzontale, e immagina di tirarla da una parte con una forza diretta lungo la corda, scrivi l'equazione di Newton prima per l'intera corda e poi per diversi pezzi di corda a partire dall'estremo in cui c'è la forza verso l'altro estremo.
Vedrai che man mano che aumenti la porzione di corda considerata la tensione all'estremo scelto, dove non c'è la forza, varia, proprio a causa del fatto che varia la massa della corda considerata.
Considera questo esempio, che equivale all'ultimo chiarimento di Faussone.
C'è un carro attrezzi, che traina con un bel cavo dieci macchine tutte uguali, legate una in fila all'altra con dei pezzi di fune intermedi.
Nella fase di accelerazione del carro attrezzi, questo deve accelerare tutte e dieci le macchine, imprimendo loro la stessa accelerazione $a$ (supponiamo che il cavo e le nove funi siano inenstensibili).
Ma la fune che si trova tra la prima e la seconda macchina, ne deve accelerare solo nove, quindi esercita una tensione minore di quella del cavo di rimorchio. E la fune che si trova tra la seconda e la terza macchina deve accelerare solo otto macchine, quindi la tensione è ancora minore….e così via.
L'ultima fune, tra la nona e la decima macchina, deve accelerare solo la decima macchina, quindi esercita la tensione più piccola di quella di tutte le funi precedenti.
Ora, se fai una adeguata trasposizione al caso della fune continua dotata di massa e posta su un piano orizzontale privo di attrito, che tiri per un estremo, ritrovi la conseguenza che ti ha illustrato il nostro amico Faussone.
C'è un carro attrezzi, che traina con un bel cavo dieci macchine tutte uguali, legate una in fila all'altra con dei pezzi di fune intermedi.
Nella fase di accelerazione del carro attrezzi, questo deve accelerare tutte e dieci le macchine, imprimendo loro la stessa accelerazione $a$ (supponiamo che il cavo e le nove funi siano inenstensibili).
Ma la fune che si trova tra la prima e la seconda macchina, ne deve accelerare solo nove, quindi esercita una tensione minore di quella del cavo di rimorchio. E la fune che si trova tra la seconda e la terza macchina deve accelerare solo otto macchine, quindi la tensione è ancora minore….e così via.
L'ultima fune, tra la nona e la decima macchina, deve accelerare solo la decima macchina, quindi esercita la tensione più piccola di quella di tutte le funi precedenti.
Ora, se fai una adeguata trasposizione al caso della fune continua dotata di massa e posta su un piano orizzontale privo di attrito, che tiri per un estremo, ritrovi la conseguenza che ti ha illustrato il nostro amico Faussone.
Vi ringrazio per le risposte. Pongo ancora un' ulteriore domanda.
Si può affermare che, se il sistema ( 2 masse collegate tra loro da un filo ideale) è in quiete, o si muove a velocità costante, allora le forze applicate agli estemi della fune, sono in modulo uguali alle tensioni che la fune applica a tali masse?
Viceversa se un sistema è accelerato, le forze applicate agli estremi della fune sono, in genere, diverse dalle tensioni della fune? vedi macchina di Atwood.
Grazie
Si può affermare che, se il sistema ( 2 masse collegate tra loro da un filo ideale) è in quiete, o si muove a velocità costante, allora le forze applicate agli estemi della fune, sono in modulo uguali alle tensioni che la fune applica a tali masse?
Viceversa se un sistema è accelerato, le forze applicate agli estremi della fune sono, in genere, diverse dalle tensioni della fune? vedi macchina di Atwood.
Grazie
Sì.
Ho chiesto al mio prof. di fisica e mi ha detto che è sbagliato il mio ragionamento qui sopra. Infatti nella macchina di Atwood, sulla fune ,è vero che agisce la forza della massa m2 (-T2), ma è una coppia di azione e reazione, dunque in modulo pari alla tensione della fune (T2). Quello che ho confuso fino ad ora, era il fatto di considerare che la forza che esercitasse la massa m2 sulla fune fosse stata il suo peso (P2)! Errato, in quanto il peso appartiene ad un' altra coppia di azione-reazione che vede interagire due corpi diversi : la terra e la massa m2, non la fune.
Pertanto è errato pensare che se un sistema è accelerato, le forze che vengono esercitate sulla fune dalle masse siano diverse dalle tensioni delle funi, perchè come invece ho dimostrato sono uguali.
Aspetto qualche parere.
Pertanto è errato pensare che se un sistema è accelerato, le forze che vengono esercitate sulla fune dalle masse siano diverse dalle tensioni delle funi, perchè come invece ho dimostrato sono uguali.
Aspetto qualche parere.
"dariofw":
[.....]
Pertanto è errato pensare che se un sistema è accelerato, le forze che vengono esercitate sulla fune dalle masse siano diverse dalle tensioni delle funi, perchè come invece ho dimostrato sono uguali.
Non ho capito se non ho compreso quello che avevi chiesto o se mi sono espresso male, ribadisco che se nella macchina di Artwood le masse sono accelerate sotto l'azione del proprio peso per esempio, la tensione della fune è diversa dalle forze peso agenti sulle masse stesse. Questo è quello che intendevo.
"Faussone":
[quote="dariofw"]
[.....]
Pertanto è errato pensare che se un sistema è accelerato, le forze che vengono esercitate sulla fune dalle masse siano diverse dalle tensioni delle funi, perchè come invece ho dimostrato sono uguali.
Non ho capito se non ho compreso quello che avevi chiesto o se mi sono espresso male, ribadisco che se nella macchina di Artwood le masse sono accelerate sotto l'azione del proprio peso per esempio, la tensione della fune è diversa dalle forze peso agenti sulle masse stesse. Questo è quello che intendevo.[/quote]
Può darsi che non ti abbia capito o che tu non mi abbia capito
Dario,
a questo punto io non so che cosa era (forse) poco chiaro nelle spiegazioni che ti sono state date, e che cosa avevi in mente circa forze e tensioni nella macchina di Atwood.
Allora ripeto in dettaglio il calcolo :
Supponiamo che sia $m_1 > m_2$ , e quindi anche : $m_1g >m_2g$ .
È chiaro che questi pesi sono dovuti all'attrazione gravitazionale della Terra.
L'esperienza ci dice che la massa $m_1$ scende, la massa $m_2$ sale.
Ma le due masse non scendono o salgono con accelerazione pari a $g$ , perché non sono libere. C'è un vincolo rappresentato dal filo che le unisce, passando in una carrucola, il cui momento di inerzia si trascura per ipotesi (si può trattare anche il caso in cui tale momento di inerzia non sia trascurabile, se cerchi lo trovi in questo forum, è stato trattato varie volte).
Questo filo deve rallentare la discesa di $m_1$, contrastandone il peso, per cui l'equazione vettoriale del moto di $m_1$, proiettata su un asse verticale orientato positivamente verso il basso é :
$ m_1g - T_1 = m_1a$ --------(1)
L'accelerazione $a$ della massa $m_1$ che scende è un vettore diretto verso il basso, ed è uguale, in modulo, a quella della massa $m_2$ che sale, la quale come vettore è diretta verso l'alto. Esse sono uguali in modulo, per l'inestensibilità del filo, che si assume per ipotesi (se questa affermazione non ti convince, in basso ho riportato la dimostrazione che le due masse hanno la stessa accelerazione in modulo).
Nel contempo, il filo deve vincere il peso di $m_2$ accelerando la massa $m_2$ verso l'alto, per cui l'equazione vettoriale del moto di $m_2$, proiettata sullo stesso asse di prima, si scrive :
$-T_2 + m_2g = -m_2a$ ------(2)
Dovrebbe essere chiaro che, se la massa $m_1$ è sottoposta alla tensione del filo di modulo $T_1$ diretta verso l'alto, a sua volta il filo è tirato da $m_1$ con una forza uguale e contraria diretta verso il basso; cosa del tutto analoga succede per la massa $m_2$ e la tensione $T_2$. Bisogna abituarsi a disegnare il "diagramma di corpo libero" di un pezzo di sistema, per capire come vanno messe le forze. In questo caso, basta "tagliare i due fili", e sostituirli con le forze esercitate dalle parti tagliate. Se uno sa fare questo, risolve molti problemi.
Finora, abbiamo tre incognite : $ T_1, T_2, a$ , e due sole equazioni. Ci serve una terza equazione.
Scriviamo allora la 2° equazione cardinale della Dinamica, applicata alla sola puleggia : il momento delle forze esterne agenti sulla puleggia è uguale alla variazione del momento angolare della puleggia:
$T_1*R - T_2*R = I*dot\omega = I*\alpha$
Ma abbiamo detto che il momento di inerzia della puleggia è trascurabile, cioè uguale a zero. Per cui si ottiene immediatamente :
$T_1 = T_2$ -------(3)
Se $I$ non fosse stato trascurabile, l'equazione avrebbe effettivamente evidenziato una differenza tra le due tensioni $T_1$ e $T_2$ , e in definitiva avrebbe portato a un diverso valore della accelerazione $a$.
È poi quasi ovvio che siccome la fune non slitta sulla puleggia l'accelerazione lineare del filo e l'accelerazione angolare della puleggia sono legate dalla relazione : $ a = \alpha*R$ . Ma questo nel nostro caso non fa altro che confermare che le due masse hanno la stessa accelerazione lineare in modulo : $a_1 = a_2 = a = \alpha*R$ .
Quest'ultima relazione vale anche se si considera la puleggia dotata di massa e quindi non si trascura il suo momento di inerzia.
Ora che hai le tre equazioni, risolvile, e ricava $a$ e $T$.
a questo punto io non so che cosa era (forse) poco chiaro nelle spiegazioni che ti sono state date, e che cosa avevi in mente circa forze e tensioni nella macchina di Atwood.
Allora ripeto in dettaglio il calcolo :
Supponiamo che sia $m_1 > m_2$ , e quindi anche : $m_1g >m_2g$ .
È chiaro che questi pesi sono dovuti all'attrazione gravitazionale della Terra.
L'esperienza ci dice che la massa $m_1$ scende, la massa $m_2$ sale.
Ma le due masse non scendono o salgono con accelerazione pari a $g$ , perché non sono libere. C'è un vincolo rappresentato dal filo che le unisce, passando in una carrucola, il cui momento di inerzia si trascura per ipotesi (si può trattare anche il caso in cui tale momento di inerzia non sia trascurabile, se cerchi lo trovi in questo forum, è stato trattato varie volte).
Questo filo deve rallentare la discesa di $m_1$, contrastandone il peso, per cui l'equazione vettoriale del moto di $m_1$, proiettata su un asse verticale orientato positivamente verso il basso é :
$ m_1g - T_1 = m_1a$ --------(1)
L'accelerazione $a$ della massa $m_1$ che scende è un vettore diretto verso il basso, ed è uguale, in modulo, a quella della massa $m_2$ che sale, la quale come vettore è diretta verso l'alto. Esse sono uguali in modulo, per l'inestensibilità del filo, che si assume per ipotesi (se questa affermazione non ti convince, in basso ho riportato la dimostrazione che le due masse hanno la stessa accelerazione in modulo).
Nel contempo, il filo deve vincere il peso di $m_2$ accelerando la massa $m_2$ verso l'alto, per cui l'equazione vettoriale del moto di $m_2$, proiettata sullo stesso asse di prima, si scrive :
$-T_2 + m_2g = -m_2a$ ------(2)
Dovrebbe essere chiaro che, se la massa $m_1$ è sottoposta alla tensione del filo di modulo $T_1$ diretta verso l'alto, a sua volta il filo è tirato da $m_1$ con una forza uguale e contraria diretta verso il basso; cosa del tutto analoga succede per la massa $m_2$ e la tensione $T_2$. Bisogna abituarsi a disegnare il "diagramma di corpo libero" di un pezzo di sistema, per capire come vanno messe le forze. In questo caso, basta "tagliare i due fili", e sostituirli con le forze esercitate dalle parti tagliate. Se uno sa fare questo, risolve molti problemi.
Finora, abbiamo tre incognite : $ T_1, T_2, a$ , e due sole equazioni. Ci serve una terza equazione.
Scriviamo allora la 2° equazione cardinale della Dinamica, applicata alla sola puleggia : il momento delle forze esterne agenti sulla puleggia è uguale alla variazione del momento angolare della puleggia:
$T_1*R - T_2*R = I*dot\omega = I*\alpha$
Ma abbiamo detto che il momento di inerzia della puleggia è trascurabile, cioè uguale a zero. Per cui si ottiene immediatamente :
$T_1 = T_2$ -------(3)
Se $I$ non fosse stato trascurabile, l'equazione avrebbe effettivamente evidenziato una differenza tra le due tensioni $T_1$ e $T_2$ , e in definitiva avrebbe portato a un diverso valore della accelerazione $a$.
È poi quasi ovvio che siccome la fune non slitta sulla puleggia l'accelerazione lineare del filo e l'accelerazione angolare della puleggia sono legate dalla relazione : $ a = \alpha*R$ . Ma questo nel nostro caso non fa altro che confermare che le due masse hanno la stessa accelerazione lineare in modulo : $a_1 = a_2 = a = \alpha*R$ .
Quest'ultima relazione vale anche se si considera la puleggia dotata di massa e quindi non si trascura il suo momento di inerzia.
Ora che hai le tre equazioni, risolvile, e ricava $a$ e $T$.
@dariofw
Ok spero sia chiaro adesso.
Ok spero sia chiaro adesso.
Ti ringrazio navigatore. Spiegazione chiara ed esaustiva. Da manuale.
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