Tensione
es 65 cap. 5 Serway-Jewett (IV edizione italiana - Fisica per scienze ed ingegneria)
Un tostapane di massa 1.30 kg non è attaccato alla presa di corrente. Il coefficiente di attrito statico tra il tostapane il tavolo è 0.350. Per muovere il tostapane, occorre tirare con attenzione [?] il cavo elettrico.
A quale angolo rispetto all'orizzontale bisogna tirare per rendere la tensione del filo la più piccola possibile?
In corrispondenza di quest'angolo, quanto vale la tensione del filo?
___________________________________________________________________________
Se potete, la soluzione mettetela in uno spoiler (o non mettetela affatto), mi interessa il ragionamento.
Non riesco a determinare l'angolo corretto (nella soluzione è 19° circa).
Nel mio ragionamento sono partito dal presupposto che la tensione e la forza applicata sono uguali in modulo, dato che il corpo non si sposta.
Quindi (se quello che ho scritto è corretto) adesso devo cercare la forza minima per vincere l'attrito. Dato che per spostarlo presumo che il testo intenda "trascinarlo sul tavolo", la forza F sull'asse x è pari al suo modulo per il coseno dell'angolo.
Quindi il modulo di F è minimo quando l'angolo è 0 (cos(0) = 1).
Ma è sbagliato.
Un tostapane di massa 1.30 kg non è attaccato alla presa di corrente. Il coefficiente di attrito statico tra il tostapane il tavolo è 0.350. Per muovere il tostapane, occorre tirare con attenzione [?] il cavo elettrico.
A quale angolo rispetto all'orizzontale bisogna tirare per rendere la tensione del filo la più piccola possibile?
In corrispondenza di quest'angolo, quanto vale la tensione del filo?
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Se potete, la soluzione mettetela in uno spoiler (o non mettetela affatto), mi interessa il ragionamento.
Non riesco a determinare l'angolo corretto (nella soluzione è 19° circa).
Nel mio ragionamento sono partito dal presupposto che la tensione e la forza applicata sono uguali in modulo, dato che il corpo non si sposta.
Quindi (se quello che ho scritto è corretto) adesso devo cercare la forza minima per vincere l'attrito. Dato che per spostarlo presumo che il testo intenda "trascinarlo sul tavolo", la forza F sull'asse x è pari al suo modulo per il coseno dell'angolo.
Quindi il modulo di F è minimo quando l'angolo è 0 (cos(0) = 1).
Ma è sbagliato.
Risposte
L'equazione del moto del tostapane proiettata lungo due assi cartesiani, uno parallelo al piano e l'altro ortogonale a quest'ultimo è
\[mg-N-T\sin{\theta}=0\hspace{2 cm}T\cos{\theta}-F_{a}=0\]
ora il tostapane non entra in moto fino a che
\[T\cos{\theta}\leq\mu_{s}N=\mu_{s}(mg-T\sin{\theta})\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}T\leq\frac{\mu_{s}mg}{\cos{\theta}+\mu_{s}\sin{\theta}}\]
Se la tensione supera questo valore di soglia allora il tostapane entra in moto e la forza di attrito statico viene sostituita dalla forza di attrito dinamico
\[mg-N-T\sin{\theta}=0\hspace{2 cm}T\cos{\theta}-\mu_{d}N=ma\]
Comunque facciamo un passo indietro; abbiamo detto che la tensione massima prima che il tostapane entri in moto è
\[T=\frac{\mu_{s}mg}{\cos{\theta}+\mu_{s}\sin{\theta}}\]
ora deriviamo la funzione per studiarne gli eventuali punti critici
\[T'=\frac{\mu_{s}mg(\sin{\theta}-\mu_{s}\cos{\theta})}{(\cos{\theta}+\mu_{s}\sin{\theta})^{2}}=0\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}\sin{\theta}-\mu_{s}\cos{\theta}=0\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}\tan{\theta}=\mu_{s}\]
da cui si ricava
\[\theta=0.33667\ rad\simeq19.29^{\circ}\hspace{2 cm}T(\theta)=4.21\ N\]
\[mg-N-T\sin{\theta}=0\hspace{2 cm}T\cos{\theta}-F_{a}=0\]
ora il tostapane non entra in moto fino a che
\[T\cos{\theta}\leq\mu_{s}N=\mu_{s}(mg-T\sin{\theta})\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}T\leq\frac{\mu_{s}mg}{\cos{\theta}+\mu_{s}\sin{\theta}}\]
Se la tensione supera questo valore di soglia allora il tostapane entra in moto e la forza di attrito statico viene sostituita dalla forza di attrito dinamico
\[mg-N-T\sin{\theta}=0\hspace{2 cm}T\cos{\theta}-\mu_{d}N=ma\]
Comunque facciamo un passo indietro; abbiamo detto che la tensione massima prima che il tostapane entri in moto è
\[T=\frac{\mu_{s}mg}{\cos{\theta}+\mu_{s}\sin{\theta}}\]
ora deriviamo la funzione per studiarne gli eventuali punti critici
\[T'=\frac{\mu_{s}mg(\sin{\theta}-\mu_{s}\cos{\theta})}{(\cos{\theta}+\mu_{s}\sin{\theta})^{2}}=0\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}\sin{\theta}-\mu_{s}\cos{\theta}=0\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}\tan{\theta}=\mu_{s}\]
da cui si ricava
\[\theta=0.33667\ rad\simeq19.29^{\circ}\hspace{2 cm}T(\theta)=4.21\ N\]
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