Tensione
Sommario - Approssimazione struttura del filo e sue conseguenze:
1) filo inestensibile: tutti i punti del filo hanno stessa accelerazione \(\vec{a}\)
2) di massa trascurabile: su tutta la lunghezza del filo la tensione è unica
Dubbio - Consideriamo ad esempio una macchina di Atwood reale, con assenza di attrito tra filo e carrucola oltre alle precedenti approssimazioni sulla struttura del filo:
1) innanzitutto la carrucola non dovrebbe ruotare vista l'assenza di una forza esterna come quella di attrito
2) supponiamo che la carrucola grazie a un intervento divino possa ruotare come conseguenza dello spostamento del sistema masse-filo, in modo tale da avere una condizione di non slittamento dello stesso filo lungo la scanalatura della carrucola; l'accelerazione delle masse ovviamente dipenderà (a differenza del caso ideale) anche dal momento d'inerzia del disco
I miei dubbi a questo punto sono:
\(i)\) come mai tutti i libri, professori, etc etc (livello universitario) continuano a fare e rifare questa approssimazione (assenza di forza di attrito) così fuorviante e così lontana dalla realtà?
\(ii)\) se il filo è di massa trascurabile (cioè tensione unica) come mai nel caso della carrucola reale vengono sviluppate due diverse tensioni?
1) filo inestensibile: tutti i punti del filo hanno stessa accelerazione \(\vec{a}\)
2) di massa trascurabile: su tutta la lunghezza del filo la tensione è unica
Dubbio - Consideriamo ad esempio una macchina di Atwood reale, con assenza di attrito tra filo e carrucola oltre alle precedenti approssimazioni sulla struttura del filo:
1) innanzitutto la carrucola non dovrebbe ruotare vista l'assenza di una forza esterna come quella di attrito
2) supponiamo che la carrucola grazie a un intervento divino possa ruotare come conseguenza dello spostamento del sistema masse-filo, in modo tale da avere una condizione di non slittamento dello stesso filo lungo la scanalatura della carrucola; l'accelerazione delle masse ovviamente dipenderà (a differenza del caso ideale) anche dal momento d'inerzia del disco
I miei dubbi a questo punto sono:
\(i)\) come mai tutti i libri, professori, etc etc (livello universitario) continuano a fare e rifare questa approssimazione (assenza di forza di attrito) così fuorviante e così lontana dalla realtà?
\(ii)\) se il filo è di massa trascurabile (cioè tensione unica) come mai nel caso della carrucola reale vengono sviluppate due diverse tensioni?
Risposte
Cuspide, le tue domande sono legittime.
Risposta : sono i pregi e i difetti della Fisica trattata in modo elementare. In realtà, la puleggia non è mai perferttamente liscia, la sua massa non eè mai perfettamente trascurabile, il filo non è mai perfettamente flessibile e inestensibile e privo di massa.
Ne abbiamo parlato qui, dà un'occhiata e dimmi se ti è chiaro
viewtopic.php?f=19&t=101967&hilit=+carrucola
Risposta : sono i pregi e i difetti della Fisica trattata in modo elementare. In realtà, la puleggia non è mai perferttamente liscia, la sua massa non eè mai perfettamente trascurabile, il filo non è mai perfettamente flessibile e inestensibile e privo di massa.
Ne abbiamo parlato qui, dà un'occhiata e dimmi se ti è chiaro
viewtopic.php?f=19&t=101967&hilit=+carrucola
Ciao navigatore, beh da un punto di vista di "calcolo" non ci sono problemi:
- se hai un sistema ideale le accellerazioni sono le stesse e dipendono dalle masse, la tensione invece è unica
- se il sistema è pseudo-reale le accelerazioni sono sempre le stesse ma dipendono ovviamente anche dal momento di
inerzia del disco, la tensione invece è doppia
Il primo problema che ponevo era effettivamente più una lamentela
. Il secondo invece è quello che mi lascia
perplesso; ovvero se il filo (a prescindere dalla trascurabilità o meno della massa della carrucola) ha massa trascurabile
significa che la tensione è unica; invece negli esercizi con carrucola pseudo-reale diciamo che è doppia (una per ogni
ramo di filo) cioè è come se non usassimo più questa approssimazione per il filo intero ma la usassimo appunto solo per
ogni ramo trascurando la parte di filo che avvolge la carrucola... come mai???
- se hai un sistema ideale le accellerazioni sono le stesse e dipendono dalle masse, la tensione invece è unica
- se il sistema è pseudo-reale le accelerazioni sono sempre le stesse ma dipendono ovviamente anche dal momento di
inerzia del disco, la tensione invece è doppia
Il primo problema che ponevo era effettivamente più una lamentela
. Il secondo invece è quello che mi lasciaperplesso; ovvero se il filo (a prescindere dalla trascurabilità o meno della massa della carrucola) ha massa trascurabile
significa che la tensione è unica; invece negli esercizi con carrucola pseudo-reale diciamo che è doppia (una per ogni
ramo di filo) cioè è come se non usassimo più questa approssimazione per il filo intero ma la usassimo appunto solo per
ogni ramo trascurando la parte di filo che avvolge la carrucola... come mai???
"Cuspide83":
Ciao navigatore, beh da un punto di vista di "calcolo" non ci sono problemi:
- se hai un sistema ideale le accellerazioni sono le stesse e dipendono dalle masse, la tensione invece è unica
Andiamo con calma Cuspide...
Che cosa intendi per "sistema ideale" ? Immagino una macchina di Atwood, dove hai due masse diverse $m_1>m_2$ collegate da un filo "flessibile e inestensibile" (cosí assunto secondo i canoni della Fisica di base), di massa trascurabile, che passa su una puleggia "liscia", cioè senza attrito.
Allora, l'esistenza o meno della puleggia è irrilevante. Potrebbe trattarsi anche di un piolo fisso perfettamente "liscio" sul quale passa il filo.
L'accelerazione (con una sola "l", per favore) di ciascuna massa è un vettore, diretto verso l'alto per la massa minore $m_2$ e verso il basso per quella maggiore $m_1$, di ugual modulo:
$a = (m_1-m_2)/(m_1+m_2)*g$ --------(1)
Questa può calcolarsi in un colpo solo, dicendo che, per la seconda legge della Dinamica, la massa $(m_1 + m_2)$ subisce una accelerazione $a$ a causa del risultante delle forze agenti, il cui modulo vale la differenza dei pesi delle masse separate $(m_1 - m_2)*g$. Se uguagli il modulo della forza risultante al prodotto della massa totale per l'accelerazione incognita, ottieni :
$(m_1 - m_2)*g = (m_1+m_2)*a $ --------(2)
da cui proprio la (1). Naturalmente poi occorre determinare la tensione nel filo, che in questo caso è la stessa nei due rami perché lo scopo della puleggia "liscia" è solo quello di trasmettere la tensione da una massa all'altra. La si ricava analizzando le forze agenti su una delle due masse ( diagramma di corpo libero), e applicando la seconda legge della dinamica in quanto è già nota l'accelerazione. Si vede che risulta :
$T = (2m_1m_2)/(m_1 + m_2)*g$ --------(3)
Ma i libri non riportano questo modo sintetico di analizzare le cose, perché lascia un po' sconcertati all'inizio. Invece fanno un'analisi più dettagliata, basata sulle forze agenti sulle singole masse. E allora, si assume un asse verticale solitamente orientato verso l'alto, si considerano le forze e le accelerazioni "vettoriali" di ciascuna delle masse, e si scrivono due equazioni vettoriali, le quali proiettate sull'asse danno luogo a due equazioni scalari:
$T-m_2*g = m_2*a$ ------(4)
$ T - m_1*g = -m_1*a $ -------(5)
Risolvendo il sistema di ritrovano i risultati detti.
se il sistema è pseudo-reale le accelerazioni sono sempre le stesse ma dipendono ovviamente anche dal momento di inerzia del disco, la tensione invece è doppia
Che cosa vuol dire "sistema pseudo-reale" ? Vuol dire forse l'aggiunta del fatto che la massa della puleggia non è trascurabile? Allora devi tener conto del momento di inerzia del disco, certo. Ma che vuol dire "doppia"? Leggendo quello che segue deduco che forse vuoi dire che assume due differenti valori:
Il primo problema che ponevo era effettivamente più una lamentela
perplesso; ovvero se il filo (a prescindere dalla trascurabilità o meno della massa della carrucola) ha massa trascurabile
significa che la tensione è unica, invece negli esercizi con carrucola pseudo-reale diciamo che è doppia (una per ogni
ramo di filo) cioè è come se non usassimo più questa approssimazione per il filo intero ma la usassimo appunto solo per
ogni ramo trascurando la parte di filo che avvolge la carrucola... come mai???
C'è un po' di confusione. Il filo, anche se è flessibile, inestensibile e di massa trascurabile, ha due tensioni diverse nei due rami proprio a motivo del fatto che non è trascurabile la massa della puleggia, cioè il ramo "traente" del filo (quello collegato alla massa maggiore) deve accelerare anche la puleggia in moto rotatorio, mentre il ramo "cedente" (quello collegato alla massa minore) deve accelerare solo la massa minore, appunto.
E in questo caso, entra in gioco l'attrito statico che agisce tra filo e gola della puleggia, altrimenti chi metterebbe in rotazione la puleggia stessa? Tieni presente che questo attrito è "statico", è come quello tra la suola delle tue scarpe e la strada quando cammini : non c'è moto relativo tra le due superfici a contatto, per fortuna, quindi non c'è strisciamento, non si tratta di attrito dinamico o attrito volvente come una ruota "reale" che si deforma al contatto col suolo e dissipa energia. Questo è ciò che dice la Fisica di base.
La Meccanica delle Macchine dice dell'altro: la cinghia si deforma lungo la gola della puleggia, e c'è differenza di tensione tra i due tratti, traente e cedente, anche a regime di giri costante, cioe non durante l'accelerazione. Se ti interessa, guarda anche solo la prima pagina di questo link, dove si parla di trasmissioni meccaniche con cinghie :
http://www.calderini.it/hycald/calderin ... inghie.pdf
Ciao navigatore, allora vado in ordine:
1) per quanto riguarda l'accelerazione, non vale se prendi solo l'unico errore di battitura... quelle giuste non le hai viste
2) per quanto riguarda la carrucola ideale (come dici tu praticamente un piolo) non ci sono problemi come avevo già scritto
3) per quanto riguarda sia la definizione di carrucola pseudo-reale, che quella infelice di tensione doppia, intendevo proprio quelle che hai usato nella tua spiegazione
Ora il mio problema, e che come ho potuto vedere è quello di molti altri studenti, è questo: studiamo il caso della carrucola "pseudo-reale", io capisco e comprendo come fisicamente le tensioni nei due rami del filo debbano essere necessariamente diverse (e infatti non ho problemi nel risolvere questo tipo di esercizi); la cosa che mi da noia è questa implicazione che viene insegnata in modo quasi mnemonico, "massa filo trascurabile \(\Leftrightarrow\) unica tensione", e questa contraddice la fisica del caso che stiamo trattando a meno di considerare il filo non come un unico corpo (ramo+parte che avvolge la carrucola+ramo), ma "come due rami distinti" che partono dalle tangenti verticali al disco + una parte superiore che sostanzialmente non ci interessa a nulla.
1) per quanto riguarda l'accelerazione, non vale se prendi solo l'unico errore di battitura... quelle giuste non le hai viste
2) per quanto riguarda la carrucola ideale (come dici tu praticamente un piolo) non ci sono problemi come avevo già scritto
3) per quanto riguarda sia la definizione di carrucola pseudo-reale, che quella infelice di tensione doppia, intendevo proprio quelle che hai usato nella tua spiegazione
Ora il mio problema, e che come ho potuto vedere è quello di molti altri studenti, è questo: studiamo il caso della carrucola "pseudo-reale", io capisco e comprendo come fisicamente le tensioni nei due rami del filo debbano essere necessariamente diverse (e infatti non ho problemi nel risolvere questo tipo di esercizi); la cosa che mi da noia è questa implicazione che viene insegnata in modo quasi mnemonico, "massa filo trascurabile \(\Leftrightarrow\) unica tensione", e questa contraddice la fisica del caso che stiamo trattando a meno di considerare il filo non come un unico corpo (ramo+parte che avvolge la carrucola+ramo), ma "come due rami distinti" che partono dalle tangenti verticali al disco + una parte superiore che sostanzialmente non ci interessa a nulla.
Il fatto è che la Fisica elementare non spiega quello che succede nel tratto di cavo avvolto sulla puleggia. Come giustamente dici tu, sembra come se sulla puleggia ci fossero due anellini, uno a destra e uno a sinistra, e i due pezzi di cavo fossero attaccati ad essi, senza niente in comune tra loro.
E gli studenti non capiscono!
In realtà ( spesso, anzi sempre secondo me, la realtà è più facile da comprendere di certe astrazioni, pur se forse è più difficoltosa da trattare analiticamente), nel tratto avvolto sulla puleggia si manifestano deformazioni e tensioni, che si possono capire se si studia la teoria dell'Elasticità, e si impara che non esiste il corpo rigido, non esiste il vincolo liscio, non esiste il filo inestensibile e perfettamente flessibile. Le deformazioni che si manifestano nel filo avvolto sulla puleggia sono distribuite su tutta la lunghezza, il filo si adatta alla gola, si allunga e si contrae di sezione, e la tensione aumenta da un capo all'altro, dando quella continuità che ad uno studio elementare sfugge.
Te l'ho detto: pregi e difetti della Fisica di base.
Comunque fai bene ad avere spirito critico e a non accettare passivamente quello che ti si dice. Una spiegazione razionale ai fenomeni naturali ci deve essere, c'è sempre, anche se non immediata da comprendere.
E gli studenti non capiscono!
In realtà ( spesso, anzi sempre secondo me, la realtà è più facile da comprendere di certe astrazioni, pur se forse è più difficoltosa da trattare analiticamente), nel tratto avvolto sulla puleggia si manifestano deformazioni e tensioni, che si possono capire se si studia la teoria dell'Elasticità, e si impara che non esiste il corpo rigido, non esiste il vincolo liscio, non esiste il filo inestensibile e perfettamente flessibile. Le deformazioni che si manifestano nel filo avvolto sulla puleggia sono distribuite su tutta la lunghezza, il filo si adatta alla gola, si allunga e si contrae di sezione, e la tensione aumenta da un capo all'altro, dando quella continuità che ad uno studio elementare sfugge.
Te l'ho detto: pregi e difetti della Fisica di base.
Comunque fai bene ad avere spirito critico e a non accettare passivamente quello che ti si dice. Una spiegazione razionale ai fenomeni naturali ci deve essere, c'è sempre, anche se non immediata da comprendere.
Quoto, e comunque credo di aver trovato una spiegazione accettabile e semplice che mi permette di spiegare sia perchè le tensioni vengono applicate alla carrucola nei punti di stacco del filo dalla stessa, sia perchè si hanno due diverse tensioni, rimanendo nel caso "classico" e senza quindi introdurre tutto quello che giustamente dicevi sull'elasticità, attrito etc etc.
Appena ho tempo posto.
Appena ho tempo posto.
Le tensioni nel filo non "vengono applicate" nei punti di stacco del filo stesso dalla puleggia. La tensione nel filo esiste in ogni sezione e si trasmette da una massa all'altra, senza soluzione di continuità.
Te l'ho già detto : la tensione nel ramo traente è maggiore di quella del ramo cedente, quando c'è da conteggiare anche il disco con la sua massa e quindi il suo momento di inerzia, perché il primo deve accelerare anche il disco, oltre alla massa minore messa dall'altro lato. Il vincolo di rotolamento tra fune e puleggia è dato dalla forza di attrito statico tra di loro.
Te l'ho già detto : la tensione nel ramo traente è maggiore di quella del ramo cedente, quando c'è da conteggiare anche il disco con la sua massa e quindi il suo momento di inerzia, perché il primo deve accelerare anche il disco, oltre alla massa minore messa dall'altro lato. Il vincolo di rotolamento tra fune e puleggia è dato dalla forza di attrito statico tra di loro.
Scusa se mi spiego male ma sono sempre di fretta : sò che la tensione esiste in ogni sezione del filo, quello che volevo dire è che alcuni studenti per esempio mi hanno chiesto, quando "faccio il disegno perchè le tensioni le disegno qui?" e poi
Ora penso di aver individuato alcune considerazioni che possono essere fatte, e che mi permettono di risolvere appunto questi dubbi.
: sò che la tensione esiste in ogni sezione del filo, quello che volevo dire è che alcuni studenti per esempio mi hanno chiesto, quando "faccio il disegno perchè le tensioni le disegno qui?" e poi"navigatore":anche questo io lo capisco benissimo ed è logico, ma non convince in genere altri studenti che dicono "perchè se il filo ha massa trascurabile e quindi unica tensione io ne trovo due?".
Te l'ho già detto : la tensione nel ramo traente è maggiore di quella del ramo cedente, quando c'è da conteggiare anche il disco con la sua massa e quindi il suo momento di inerzia, perché il primo deve accelerare anche il disco, oltre alla massa minore messa dall'altro lato. Il vincolo di rotolamento tra fune e puleggia è dato dalla forza di attrito statico tra di loro.
Ora penso di aver individuato alcune considerazioni che possono essere fatte, e che mi permettono di risolvere appunto questi dubbi.
Bene, e allora le aspetto, parliamone!
Ok, cominciamo: chiamiamo \(S_{0}, S_{1}, S_{2}\) rispettivamente la parte di filo che avvolge la carrucola e la parti di filo che cadono ai lati della stessa (sulle quali sono fissate le due masse \(m_{1}\) e \(m_{2}\)).
Ora consideriamo il sistema ad un tempo infinitesimo \(dt\) e osserviamo che la massa \(S_{0}+M\) (\(M\) massa della carrucola) è un corpo rigido, infatti in questo intervallo di tempo data la condizione di non slittamento del filo rispetto alla carrucola (stessa velocità angolare) le distanze tra due punti qualunque rimangono invariate.
La dinamica dei sistemi di punti materiali e in particolare quella del corpo rigido, è governata come sappiamo dall'azione delle sole forze esterne, ma le tensioni che si sviluppano in \(S_{0}\) e le eventuali forze di attrito, in questo caso sono forze interne al sistema e quindi "non servono a nulla".
Ora l'elemento infinitesimo di massa \(dm_{1}\) ovvero quello che collega \(S_{1}\) a \(S_{0}\) non fa parte del sistema rigido infatti durante la rotazione infinitesima questo compie uno spostamento infinitesimo traslatorio (quindi la sua generica distanza rispetto a un punto del disco o di \(S_{0}\) risulta diversa); l'elemento infinitesimo \(dm'_{2}\) ovvero quello che collega \(S_{2}\) all'ultimo elemento \(dm''_{2}\) di \(S_{0}\) fà esattamente l'opposto, prima non faceva parte del corpo rigido e poi dopo lo spostamento infinitesimo si (praticamente via una massa dentro un'altra).
Le forze che questi elementi \(dm_{1}\) e \(dm_{2}\) esercitano sui punti estremi di \(S_{0}\) \(dm'_{1}, dm'_{2}\) questa volta sono forze esterne e quindi necessarie allo studio della dinamica del corpo (cioè in questo modo ho dimostrato perchè le tensioni vanno "pensate applicate" nei punti di intersezione tra le direzioni del filo teso e la carrucola).
Per quanto riguarda il secondo punto "mi odio!!!" perchè non ricordo più il modo in cui volevo dimostrarlo (dovevo scriverlo subito...). Comunque (anche se non lo volevo fare per via analitica) giusto per concludere si può dire che \[\vec{M}=\vec{r}\times\vec{T}_{1}-\vec{r}\times\vec{T}_{2}=\vec{r}\times(\vec{T}_{1}-\vec{T}_{2})=I\vec{\alpha}\neq\vec{0}\ \Rightarrow\ \vec{T}_{1}\neq\vec{T}_{2}\]
Ora consideriamo il sistema ad un tempo infinitesimo \(dt\) e osserviamo che la massa \(S_{0}+M\) (\(M\) massa della carrucola) è un corpo rigido, infatti in questo intervallo di tempo data la condizione di non slittamento del filo rispetto alla carrucola (stessa velocità angolare) le distanze tra due punti qualunque rimangono invariate.
La dinamica dei sistemi di punti materiali e in particolare quella del corpo rigido, è governata come sappiamo dall'azione delle sole forze esterne, ma le tensioni che si sviluppano in \(S_{0}\) e le eventuali forze di attrito, in questo caso sono forze interne al sistema e quindi "non servono a nulla".
Ora l'elemento infinitesimo di massa \(dm_{1}\) ovvero quello che collega \(S_{1}\) a \(S_{0}\) non fa parte del sistema rigido infatti durante la rotazione infinitesima questo compie uno spostamento infinitesimo traslatorio (quindi la sua generica distanza rispetto a un punto del disco o di \(S_{0}\) risulta diversa); l'elemento infinitesimo \(dm'_{2}\) ovvero quello che collega \(S_{2}\) all'ultimo elemento \(dm''_{2}\) di \(S_{0}\) fà esattamente l'opposto, prima non faceva parte del corpo rigido e poi dopo lo spostamento infinitesimo si (praticamente via una massa dentro un'altra).
Le forze che questi elementi \(dm_{1}\) e \(dm_{2}\) esercitano sui punti estremi di \(S_{0}\) \(dm'_{1}, dm'_{2}\) questa volta sono forze esterne e quindi necessarie allo studio della dinamica del corpo (cioè in questo modo ho dimostrato perchè le tensioni vanno "pensate applicate" nei punti di intersezione tra le direzioni del filo teso e la carrucola).
Per quanto riguarda il secondo punto "mi odio!!!" perchè non ricordo più il modo in cui volevo dimostrarlo (dovevo scriverlo subito...). Comunque (anche se non lo volevo fare per via analitica) giusto per concludere si può dire che \[\vec{M}=\vec{r}\times\vec{T}_{1}-\vec{r}\times\vec{T}_{2}=\vec{r}\times(\vec{T}_{1}-\vec{T}_{2})=I\vec{\alpha}\neq\vec{0}\ \Rightarrow\ \vec{T}_{1}\neq\vec{T}_{2}\]
Il problema delle due masse $m_1>m_2$ collegate da un filo perfettamente "flessibile e inestensibile" (per ipotesi) che passa in una carrucola di massa non trascurabile $M$ si risolve in vari modi, ad es col principio di conservazone dell'energia, o con la seconda equazione della Dinamica : un momento di forze esterne applicate ad un sistema causa la variazione del momento angolare del sistema.
Ci si riferisce in questo caso all'asse di rotazione fisso della puleggia per calcolare momento angolare e momento delle forze esterne. Scritta in forma scalare, proiettando i vettori su tale asse, si ha dunque:
$M_e = (dL)/(dt)$
Calcoliamo i vari termini : $M_e = m_1*g*r - m_2*g*r = (m_1 - m_2)gr$
$L = I*dot\theta + m_1*v*r + m_2*v*r$
Dove : $I = 1/2Mr^2$ è il momento di inerzia assiale della puleggia, e la velocità delle masse ha lo stesso modulo perchè il filo è inestensibile. Derivando rispetto al tempo, si ha :
$(dL)/(dt) = I* ddot\theta + (m_1 + m_2)*a*r = I*a/r + (m_1 + m_2)*a*r = (I/r^2 + m_1 + m_2) *a*r $
L'accelerazione lineare del filo e delle masse collegate è legata all'accelerazione angolare della puleggia dalla condizione : $ddot\theta = a/r$.
Uguagliando si ha :
$(m_1 - m_2)gr = (I/r^2 + m_1 + m_2) *a*r $
da cui si ricava il valore dell'accelerazione, di modulo uguale per le due masse :
$a = (m_1 - m_2)/(I/r^2 + m_1 + m_2) * g $
Non c'è bisogno di altro. Da notare che, per la massa non trascurabile della puleggia, al denominatore si aggiunge la quantità : $I/r^2 = 1/2M$ , cioè metà della massa della puleggia.
Per le tensioni nei due tratti , si ha :
$m_1g - T_1 = m_1*a$ , da cui : $ T_1 = m_1g*(2m_2 + 1/2M)/(m_1 + m_2 +1/2M)$
$T_2 - m_2g = m_2*a$ , da cui : $ T_2 = m_2g*(2m_1 + 1/2M)/(m_1 + m_2 +1/2M)$
Confrontando le tensioni, si vede che la prima è maggiore della seconda :
$T_1 - T_2 = 1/2M*(m_1 - m_2)/(m_1 + m_2 +1/2M) *g $
È ovvio che , se consideriamo "solo la puleggia" , la sua accelerazione angolare e quindi la variazione del "suo momento angolare" è data dal momento delle "forze esterne alla puleggia" : $(T_1 - T_2)*r = I*ddot\theta$ .
Detto altrimenti, per avere accelerazione angolare della puleggia, è necessario che ci sia un momento esterno, dato dalla differenza delle due tensioni per il raggio. E questo è quanto.
Come vedi, la "massa trascurabile del filo = tensione uguale nei due tratti" non compare, è una baggianata. Dimenticala.
Ci si riferisce in questo caso all'asse di rotazione fisso della puleggia per calcolare momento angolare e momento delle forze esterne. Scritta in forma scalare, proiettando i vettori su tale asse, si ha dunque:
$M_e = (dL)/(dt)$
Calcoliamo i vari termini : $M_e = m_1*g*r - m_2*g*r = (m_1 - m_2)gr$
$L = I*dot\theta + m_1*v*r + m_2*v*r$
Dove : $I = 1/2Mr^2$ è il momento di inerzia assiale della puleggia, e la velocità delle masse ha lo stesso modulo perchè il filo è inestensibile. Derivando rispetto al tempo, si ha :
$(dL)/(dt) = I* ddot\theta + (m_1 + m_2)*a*r = I*a/r + (m_1 + m_2)*a*r = (I/r^2 + m_1 + m_2) *a*r $
L'accelerazione lineare del filo e delle masse collegate è legata all'accelerazione angolare della puleggia dalla condizione : $ddot\theta = a/r$.
Uguagliando si ha :
$(m_1 - m_2)gr = (I/r^2 + m_1 + m_2) *a*r $
da cui si ricava il valore dell'accelerazione, di modulo uguale per le due masse :
$a = (m_1 - m_2)/(I/r^2 + m_1 + m_2) * g $
Non c'è bisogno di altro. Da notare che, per la massa non trascurabile della puleggia, al denominatore si aggiunge la quantità : $I/r^2 = 1/2M$ , cioè metà della massa della puleggia.
Per le tensioni nei due tratti , si ha :
$m_1g - T_1 = m_1*a$ , da cui : $ T_1 = m_1g*(2m_2 + 1/2M)/(m_1 + m_2 +1/2M)$
$T_2 - m_2g = m_2*a$ , da cui : $ T_2 = m_2g*(2m_1 + 1/2M)/(m_1 + m_2 +1/2M)$
Confrontando le tensioni, si vede che la prima è maggiore della seconda :
$T_1 - T_2 = 1/2M*(m_1 - m_2)/(m_1 + m_2 +1/2M) *g $
È ovvio che , se consideriamo "solo la puleggia" , la sua accelerazione angolare e quindi la variazione del "suo momento angolare" è data dal momento delle "forze esterne alla puleggia" : $(T_1 - T_2)*r = I*ddot\theta$ .
Detto altrimenti, per avere accelerazione angolare della puleggia, è necessario che ci sia un momento esterno, dato dalla differenza delle due tensioni per il raggio. E questo è quanto.
Come vedi, la "massa trascurabile del filo = tensione uguale nei due tratti" non compare, è una baggianata. Dimenticala.
Allora la prima parte dell'esercizio ovvero considerare la macchina come un'unico sistema di punti materiali e non come più corpi rigidi mi piace, infatti troppe volte si risolvono questi esercizi in modo meccanico: separo il sistema etc etc.. in questo modo invece si aiuta lo studente a vedere il problema da un'altro punto di vista (utilizzando strade che comunque conosce).
Per quanto riguarda la solita "tensione uguale" legata alla massa trascurabile del filo, è una definizione che nei libri dovrebbero rivedere, perchè te la mettono in genere nei primi capitoli quando studi la dinamica del punto e la scrivono come se fosse un dogma, nessuno che tra parentesi scriva attenzione in questi casi etc etc..
Per quanto riguarda la solita "tensione uguale" legata alla massa trascurabile del filo, è una definizione che nei libri dovrebbero rivedere, perchè te la mettono in genere nei primi capitoli quando studi la dinamica del punto e la scrivono come se fosse un dogma, nessuno che tra parentesi scriva attenzione in questi casi etc etc..
Come hai visto nell'analisi dettagliata che ho scritto, la storiella "massa del filo trascurabile = tensione uguale nei due rami" assolutamente non compare, sia quando è trascurabile la massa della puleggia (macchina di Atwood) sia quando non lo è, e quindi la tensione è diversa ma per altro motivo: l'accelerazione angolare che deve essere impartita alla puleggia per variarne il momento angolare. Se la tensione fosse uguale nei due rami, non si potrebbe scrivere, per la puleggia : $M_m - M_r = (dL_p)/(dt)$
{ Momento motore - momento resistente agenti sulla puleggia = variazione del momento angolare della puleggia }
Nessun libro serio di Meccanica Razionale porta la storiella. Per scrivere quello che hai letto, ho consultato il testo di Esercizi di Meccanica Razionale di Dario Graffi, già professore emerito di MR nell'Università di Bologna. Il che è garanzia di esattezza.
Se poi si vuole mettere in campo anche la massa del filo, che consideri sempre perfettamente inestensibile e flessibile, c'è semplicemente un termine "massa del filo" che si aggiunge: cambierà il valore dell'accelerazione, chiaro. Ma il problema non l'ho visto trattato cosí da nessuna parte.
{ Momento motore - momento resistente agenti sulla puleggia = variazione del momento angolare della puleggia }
Nessun libro serio di Meccanica Razionale porta la storiella. Per scrivere quello che hai letto, ho consultato il testo di Esercizi di Meccanica Razionale di Dario Graffi, già professore emerito di MR nell'Università di Bologna. Il che è garanzia di esattezza.
Se poi si vuole mettere in campo anche la massa del filo, che consideri sempre perfettamente inestensibile e flessibile, c'è semplicemente un termine "massa del filo" che si aggiunge: cambierà il valore dell'accelerazione, chiaro. Ma il problema non l'ho visto trattato cosí da nessuna parte.
D'accordo pienamente! 
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