Tempo minimo
per andare da A a B nel tempo minimo la cosa migliore da fare è andare a velocità costante in assenza di forze. tutte le velocità
costanti sono buone? se percorro 1km ad 1km/h impiego 1h per andare da A a B ma se vado con un moto con a=2m/s^2 i primi 500 m e con a=-2m/s^2 i secondi 500m impiego 44,90 s circa in cotraddizione con il principio del tempo minimo. Dove è lo sbaglio nel mio ragionamento?
costanti sono buone? se percorro 1km ad 1km/h impiego 1h per andare da A a B ma se vado con un moto con a=2m/s^2 i primi 500 m e con a=-2m/s^2 i secondi 500m impiego 44,90 s circa in cotraddizione con il principio del tempo minimo. Dove è lo sbaglio nel mio ragionamento?
Risposte
"Simone JEDI":
per andare da A a B nel tempo minimo la cosa migliore da fare è andare a velocità costante in assenza di forze. tutte le velocità costanti sono buone?
È la prima affermazione, che non regge. Ma, ammesso che tu volessi limitarti a considerare solo velocità costanti , e moto su un piano orizzontale, certo che tutte le velocità sono buone ! (rimaniamo in meccanica classica, non sforiamo nella relatività , per favore) . Infatti :
$ s=vt \rightarrow t=s/v$
perciò , più grande è la velocita, costante per ipotesi, più piccolo è il tempo .
Ma perchè per andare da A a B la cosa migliore da fare , per impiegare il tempo minimo, sarebbe andare a velocità costante ?
Nell'esempio che fai tu , ci vuole $1h = 3600s$ per coprire $1000 m$ di distanza .
E se io immagino di viaggiare con moto uniformemente accelerato , con accelerazione costante $a = 1m/s^2$ ? Si ha :
$v=at \rightarrow t=v/a $ . Quindi la velocità è variabile da $0$ a un valore massimo .
$s=1/2at^2$
sostituendo $t=v/a$ si ottiene : $ s = 1/2v^2/a \rightarrow v = sqrt(2as) $
la velocità finale max si ha per $s=1000m$ , per cui risulta : $v=44.72m/s $ , da cui si ricava il tempo : $t = v/a = 44.72 s $ , che sono ben inferiori ai 1000s a velocità costante di 1 km/h .
Ma se decido di viaggiare a velocità costante di $180 (km)/h = 50m/s$ , impiegherò $20 s$ a coprire $1000m$
Mah non è più semplice dire che, a parità di velocità, il tempo minimo per andare da A a B si ottiene spostandosi di moto rettilineo, cioé lungo la retta che congiunge i due punti?
"milzar":
Mah non è più semplice dire che, a parità di velocità, il tempo minimo per andare da A a B si ottiene spostandosi di moto rettilineo, cioé lungo la retta che congiunge i due punti?
È più semplice, ma non è ciò che è stato chiesto. Shackle ha fatto notare che non è vero che il tempo minimo si ha a velocità costante (anche perché non è che voglia dire molto).
"milzar":
Mah non è più semplice dire che, a parità di velocità, il tempo minimo per andare da A a B si ottiene spostandosi di moto rettilineo, cioé lungo la retta che congiunge i due punti?
Oltre a quanto giustamente osservato da singularity , considera questo . Ci sono due punti $A$ e $B$ , in un campo gravitazionale, uniforme per ipotesi . Supponiamo che $A$ sia più in alto di $B$ .
Non siamo nel caso di "forze assenti" , come dice Simone .
Una particella materiale $m$ , lasciata libera in $A$, si sposta da $A$ a $B$ , per effetto della sola gravità.
Qual è il cammino più breve , in termini di spazio ? E qual è il cammino più breve, in termini di tempo ?
Prima di addentrarci in ragionamenti sarebbe meglio che Simone fosse un po' più chiaro...
Non è più semplice dire che, nelle condizioni del problema, assenza di forze, non c'è un tempo minimo (in meccanica classica) ma solo un estremo inferiore (zero)?
E' proprio la premessa che non capisco.
Io penso che per andare da A a B nel tempo minimo "la cosa migliore da fare" è andare al massimo della velocità possibile (300.000 km/sec) seguendo una traiettoria rettilinea...
"Simone JEDI":
per andare da A a B nel tempo minimo la cosa migliore da fare è andare a velocità costante in assenza di forze.
Io penso che per andare da A a B nel tempo minimo "la cosa migliore da fare" è andare al massimo della velocità possibile (300.000 km/sec) seguendo una traiettoria rettilinea...
"mgrau":
Non è più semplice dire che, nelle condizioni del problema, assenza di forze, non c'è un tempo minimo (in meccanica classica) ma solo un estremo inferiore (zero)?
Andare da A a B in un tempo tendente a zero , significa che la velocità deve tendere a $+infty$ , visto che $AB \ne 0 $.
Il quesito è semplicemente sbagliato.
Milza, abbiamo detto di lasciare fuori la relatività e quindi la velocità della luce, aggiungo. Non ti accorgi che ora , dicendo che la velocità della luce è la massima possibile, stai completamente smentendo i tuoi princìpi , espressi più volte in numerose tue trattazioni , dove hai affermato che $c$ non è affatto la massima velocità possibile ?
A che gioco vuoi giocare ?
Io ti ho posto un quesito ben preciso, che si risolve nell'ambito della meccanica classica. Non battere altre vie. Ripeto il quesito :
Ci sono due punti A e B , in un campo gravitazionale, uniforme per ipotesi . Supponiamo che A sia più in alto di B .
Non siamo nel caso di "forze assenti" , come dice Simone .
Una particella materiale m , lasciata libera in A, si sposta da A a B , per effetto della sola gravità.
Qual è il cammino più breve , in termini di spazio ? E qual è il cammino più breve, in termini di tempo ?
Shackle io non ho mai detto che la velocità della luce è superabile, ma ho detto solo che non è indipendente dalla velocità dell'osservatore e da quella della sorgente, che sono due cose concettualmente diverse.
Dire che in natura non si possa viaggiare a più di 300.000 km/sec non è contraddetto dal ritenere applicabile anche alla luce la regola della composizione delle velocità, perché, quand'anche si sommi la velocità della luce con quella dell'osservatore che le viaggi incontro, resta sempre fermo che la luce, rispetto allo spazio che attraversa, si muoverà sempre a 300.000 km/sec.
E' un po' come la questione della forza centrifuga e centripeta. Inizialmente ti diedi torto, poi ho capito che avevi ragione quando dicevi che la forza centrifuga non esiste, perché, guardando il fenomeno dal punto di vista privilegiato dell'osservatore esterno, si capisce che l'unica forza che agisce su chi fa una curva in auto è centripeta, non centrifuga.
Non capisco, dunque, per quale motivo tu abbia delle difficoltà a fare questo tipo di ragionamento anche con la velocità della luce, e considerare in tal modo, quale osservatore privilegiato, quello che guarda il fenomeno dall'esterno, solidalmente con lo spazio fisso, e conseguentemente affermare che la realtà è come la vede costui (300.000 km/sec), non come la vede chi viaggia incontro alla luce ($c + v$), il quale avrà solo l'illusione che la luce si muova a più di 300.000 km/sec, analogamente alla vicenda della forza centripeta/centrifuga, dove l'autista ha solo l'illusione di essere sottoposto a forza centrifuga.
Detto questo, alla tua domanda rispondo che, in ambito di meccanica classica, con spazio piatto, l'unica traiettoria possibile è quella diretta verso il centro dell'attrattore sottostante ad A e B. Non ci sono altre strade possibili, e la velocità è quella imposta dalla formula $g=(GM)/R^2$.
Dire che in natura non si possa viaggiare a più di 300.000 km/sec non è contraddetto dal ritenere applicabile anche alla luce la regola della composizione delle velocità, perché, quand'anche si sommi la velocità della luce con quella dell'osservatore che le viaggi incontro, resta sempre fermo che la luce, rispetto allo spazio che attraversa, si muoverà sempre a 300.000 km/sec.
E' un po' come la questione della forza centrifuga e centripeta. Inizialmente ti diedi torto, poi ho capito che avevi ragione quando dicevi che la forza centrifuga non esiste, perché, guardando il fenomeno dal punto di vista privilegiato dell'osservatore esterno, si capisce che l'unica forza che agisce su chi fa una curva in auto è centripeta, non centrifuga.
Non capisco, dunque, per quale motivo tu abbia delle difficoltà a fare questo tipo di ragionamento anche con la velocità della luce, e considerare in tal modo, quale osservatore privilegiato, quello che guarda il fenomeno dall'esterno, solidalmente con lo spazio fisso, e conseguentemente affermare che la realtà è come la vede costui (300.000 km/sec), non come la vede chi viaggia incontro alla luce ($c + v$), il quale avrà solo l'illusione che la luce si muova a più di 300.000 km/sec, analogamente alla vicenda della forza centripeta/centrifuga, dove l'autista ha solo l'illusione di essere sottoposto a forza centrifuga.
Detto questo, alla tua domanda rispondo che, in ambito di meccanica classica, con spazio piatto, l'unica traiettoria possibile è quella diretta verso il centro dell'attrattore sottostante ad A e B. Non ci sono altre strade possibili, e la velocità è quella imposta dalla formula $g=(GM)/R^2$.
Lascio da parte le tue divagazioni pseudo-relativistiche , non è questo il thread giusto per parlarne.
In quanto al mio quesito , sarebbe troppo banale posizionare A e B sulla stessa verticale ! Visto che non si è capito , perchè non l'ho chiarito bene all'inizio, ripropongo il quesito , stavolta con l'aggiunta di disegno . A e B distano orizzontalmente di $d$ , e sono posti ad altezza diversa rispetto al suolo . Ecco il disegno :
ed ecco il quesito corretto :
In quanto al mio quesito , sarebbe troppo banale posizionare A e B sulla stessa verticale ! Visto che non si è capito , perchè non l'ho chiarito bene all'inizio, ripropongo il quesito , stavolta con l'aggiunta di disegno . A e B distano orizzontalmente di $d$ , e sono posti ad altezza diversa rispetto al suolo . Ecco il disegno :
ed ecco il quesito corretto :
Ci sono due punti A e B , in un campo gravitazionale, uniforme per ipotesi . Supponiamo che A sia più in alto di B . A dista orizzontalmente $d$ da B .
Una particella materiale m , lasciata libera in A, si deve spostare da A a B .
Qual è il cammino più breve , in termini di spazio ? E qual è il cammino più breve, in termini di tempo ?
Sinceramente non capisco il quesito. Mgrau rispondi tu?
Ma come ? Non capisci il quesito ? Allora te lo spiego in maniera più elementare.
Per andare da A a B , posso seguire infinite vie. Quale di queste , è quella in cui percorro meno spazio ?
E quale di queste, è quella in cui impiego meno tempo ?
Attenzione , c'è la gravità di mezzo.
Per andare da A a B , posso seguire infinite vie. Quale di queste , è quella in cui percorro meno spazio ?
E quale di queste, è quella in cui impiego meno tempo ?
Attenzione , c'è la gravità di mezzo.
"Shackle":
Ma come ? Non capisci il quesito ? Allora te lo spiego in maniera più elementare.
Per andare da A a B , posso seguire infinite vie. Quale di queste , è quella in cui percorro meno spazio ?
E quale di queste, è quella in cui impiego meno tempo ?
E' ovvio che la risposta è la linea retta, ma non capisco cosa c'entra il campo gravitazionale. Se lasci la particella m in un capo gravitazionale cade a terra, non va certo verso B.
Non è affatto ovvio che è la linea retta, nel caso della traiettoria in cui voglio il tempo minore .
Faccio andare $m$ da $A$ a $B$ su un piano inclinato liscio , e non cade a terra, nel caso in cui voglio la minor distanza . E nel caso in cui voglio il minor tempo ? Che tipo di guida liscia devo mettere , tra $A$ e $B$ ?
Faccio andare $m$ da $A$ a $B$ su un piano inclinato liscio , e non cade a terra, nel caso in cui voglio la minor distanza . E nel caso in cui voglio il minor tempo ? Che tipo di guida liscia devo mettere , tra $A$ e $B$ ?
Curva verso il basso, cioè come una U, ma meno curva. Ma non capisco dove vuoi arrivare.
Costruisco un triangolo equilatero AB = BF = AF = 5cm
Piazzo un pendolo in F con filo di lunghezza 5 cm, ci attacco m vicino; lascio andare m e, con la sola forza di gravità, lo faccio arrivare in B nel minor tempo possibile.
Costruisco un triangolo equilatero AB = BF = AF = 5cm
Piazzo un pendolo in F con filo di lunghezza 5 cm, ci attacco m vicino; lascio andare m e, con la sola forza di gravità, lo faccio arrivare in B nel minor tempo possibile.
Voglio che tu mi dica qual è la traiettoria , tra A e B , lungo la quale si impiega minor tempo .
Vabbe' , lo dico io , perchè si deve chiudere questo thread . La curva a cui corrisponde il minore tempo di percorrenza da A a B non è il segmento di retta . E non è neanche la curva descritta dal pendolo.
La brachistocrona è un arco di cicloide con la concavità verso l'alto . Il problema risale a Bernouilli , e prima ancora a Galileo . La sua soluzione , come nel link allegato , non è per nulla semplice . È un esempio di calcolo delle variazioni .
Questo per dire che l'intuito a volte inganna, e cose all'apparenza facili sono difficili. Perciò , cerchiamo di non rendere difficile quello che invece è facile , come nel problema posto da Simone ! Meglio documentarsi , prima.
Vabbe' , lo dico io , perchè si deve chiudere questo thread . La curva a cui corrisponde il minore tempo di percorrenza da A a B non è il segmento di retta . E non è neanche la curva descritta dal pendolo.
La brachistocrona è un arco di cicloide con la concavità verso l'alto . Il problema risale a Bernouilli , e prima ancora a Galileo . La sua soluzione , come nel link allegato , non è per nulla semplice . È un esempio di calcolo delle variazioni .
Questo per dire che l'intuito a volte inganna, e cose all'apparenza facili sono difficili. Perciò , cerchiamo di non rendere difficile quello che invece è facile , come nel problema posto da Simone ! Meglio documentarsi , prima.
Ma comunque non capisco cosa c'entra il campo gravitazionale con il quesito posto da Simone, che parlava di assenza di forze, tutt'altra cosa.
In ogni caso la soluzione da me proposta (arco di cerchio) é identica a quella proposta da Galileo e, come si legge nel pdf da te postato, varia molto poco dalla soluzione corretta. Infatti $(Tmin)/(Tcirc)= 0,96$ (questa, per me che non sono un esperto, è una bella soddisfazione...).
In ogni caso la soluzione da me proposta (arco di cerchio) é identica a quella proposta da Galileo e, come si legge nel pdf da te postato, varia molto poco dalla soluzione corretta. Infatti $(Tmin)/(Tcirc)= 0,96$ (questa, per me che non sono un esperto, è una bella soddisfazione...).
Vuoi sentirti dire che hai sbagliato come Galileo ? Te lo dico : hai sbagliato come Galileo. Se questo ti rende contento...
C'è una differenza concettuale enorme, tra trovare la soluzione esatta di un problema e trovarne una approssimata.
Ma tu pensi di essere come i gatti, che cadono sempre sulle loro zampe...
C'è una differenza concettuale enorme, tra trovare la soluzione esatta di un problema e trovarne una approssimata.
Ma tu pensi di essere come i gatti, che cadono sempre sulle loro zampe...
Sinceramente mi pare che tu, più che rispondere a Simone, abbia voluto dimostrare che io non conoscevo la soluzione ad un quesito che non c'entra nulla con la questione iniziale (comportamento poco corretto in verità).
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