Tempo e lunghezze in relatività ristretta?
La lunghezza propria di un oggetto è la lunghezza dell'oggetto nel sistema di riferimento inerziale in cui l'oggetto è in quiete.
Il tempo proprio tra due eventi è il tempo tra due eventi in un sistema di riferimento inerziale dove i due eventi accadono nello stesso posto.
Ora, dati due sistemi di riferimento inerziale $ K $ e $ K' $, con $ K' $ in moto con velocità $ v $ rispetto a $ K $, per un dato oggetto e per due eventi correlati a questo oggetto, si ha la lunghezza propria in $ K $ e il tempo proprio in $ K' $ (o viceversa) ma non si ha mai che sia il tempo che la lunghezza propri siano ENTRAMBI in $ K $ o in $ K' $.
Perlomeno in nessun esempio che mi viene in mente. E' così? Per quale motivo?
Il tempo proprio tra due eventi è il tempo tra due eventi in un sistema di riferimento inerziale dove i due eventi accadono nello stesso posto.
Ora, dati due sistemi di riferimento inerziale $ K $ e $ K' $, con $ K' $ in moto con velocità $ v $ rispetto a $ K $, per un dato oggetto e per due eventi correlati a questo oggetto, si ha la lunghezza propria in $ K $ e il tempo proprio in $ K' $ (o viceversa) ma non si ha mai che sia il tempo che la lunghezza propri siano ENTRAMBI in $ K $ o in $ K' $.
Perlomeno in nessun esempio che mi viene in mente. E' così? Per quale motivo?
Risposte
Ciao Fab.
No, non è così.
Dati un riferimento $K(x,t)$ di "quiete" , e un riferimento $K'(x',t')$ in moto relativo rispetto a $K$ , tra il tempo di $K$ e il tempo di $K'$ sussiste la relazione (per eventi che hanno luogo nello stesso punto-evento dello ST ) :
$\Deltat = \gamma\Deltat' = \gamma\Delta\tau$
dove $\gamma>1$ è il fattore di Lorentz. Quindi $\Delta\tau<\Deltat$ .
Un oggetto a riposo in $K'$ , di lunghezza propria ( misurata cioè in $K'$ ) uguale a $L$ , viene misurato da $K$ "contratto" , cioè la lunghezza misurata da $K$ risulta essere $L_c = L/\gamma$ .
Qui c'è un approfondimento :
viewtopic.php?f=19&t=126035
esiste una quantità invariante che ha lo stesso valore nei due riferimenti, il quadri-intervallo :
$\Deltas^2 = (c\Deltat)^2 - \Deltax^2 = (c\Deltat')^2 - \Deltax'^2 $
Ho messo vari post della serie " RR for dummies" , se vuoi da' un'occhiata.
No, non è così.
Dati un riferimento $K(x,t)$ di "quiete" , e un riferimento $K'(x',t')$ in moto relativo rispetto a $K$ , tra il tempo di $K$ e il tempo di $K'$ sussiste la relazione (per eventi che hanno luogo nello stesso punto-evento dello ST ) :
$\Deltat = \gamma\Deltat' = \gamma\Delta\tau$
dove $\gamma>1$ è il fattore di Lorentz. Quindi $\Delta\tau<\Deltat$ .
Un oggetto a riposo in $K'$ , di lunghezza propria ( misurata cioè in $K'$ ) uguale a $L$ , viene misurato da $K$ "contratto" , cioè la lunghezza misurata da $K$ risulta essere $L_c = L/\gamma$ .
Qui c'è un approfondimento :
viewtopic.php?f=19&t=126035
esiste una quantità invariante che ha lo stesso valore nei due riferimenti, il quadri-intervallo :
$\Deltas^2 = (c\Deltat)^2 - \Deltax^2 = (c\Deltat')^2 - \Deltax'^2 $
Ho messo vari post della serie " RR for dummies" , se vuoi da' un'occhiata.
In attesa che rispondi qualcuno più esperto (edit: ha già risposto):
Questo è in generale sbagliato. Inoltre bisogna specificare la velocità dell'oggetto rispetto ai due sistemi di riferimento, altrimenti non puoi concludere nulla.
Comunque:
prendiamo un oggetto come una sbarra metallica radioattiva. Abbiamo anche un contatore gaiger e sappiamo quanti decadimenti avvengono in un minuto e quindi possiamo calcolare il tempo medio tra un decadimento e l'altro. Tale sbarra si muove ad una certa velocità rispetto a $K$ e ed è ferma rispetto a $K'$.
Nel sistema di riferimento $K$ vediamo la sbarra restringersi e anche il tempo medio tra un decadimento e l'altro sarà dilatato. Nel sistema $K'$ dove la sbarra è ferma possiamo invece misurare la lunghezza propria (la lunghezza misurata nel sistema di riposo dell'asta) e misuriamo un tempo medio di decadimento (con un orologio fermo in $K'$) che è il tempo proprio, ovvero l'intervallo di tempo misurato nel sistema di riposo dell'orologio $K'$ (non $K$, li infatti servono due orologi, perché gli eventi accadono in punti diversi dello spazio).
"Fab527":
Ora, dati due sistemi di riferimento inerziale $K$ e $K'$, con $K'$ in moto con velocità $v$ rispetto a $K$, per un dato oggetto e per due eventi correlati a questo oggetto, si ha la lunghezza propria in $K$ e il tempo proprio in $K'$ (o viceversa) ma non si ha mai che sia il tempo che la lunghezza propri siano ENTRAMBI in $K$ o in $K'$.
Questo è in generale sbagliato. Inoltre bisogna specificare la velocità dell'oggetto rispetto ai due sistemi di riferimento, altrimenti non puoi concludere nulla.
Comunque:
prendiamo un oggetto come una sbarra metallica radioattiva. Abbiamo anche un contatore gaiger e sappiamo quanti decadimenti avvengono in un minuto e quindi possiamo calcolare il tempo medio tra un decadimento e l'altro. Tale sbarra si muove ad una certa velocità rispetto a $K$ e ed è ferma rispetto a $K'$.
Nel sistema di riferimento $K$ vediamo la sbarra restringersi e anche il tempo medio tra un decadimento e l'altro sarà dilatato. Nel sistema $K'$ dove la sbarra è ferma possiamo invece misurare la lunghezza propria (la lunghezza misurata nel sistema di riposo dell'asta) e misuriamo un tempo medio di decadimento (con un orologio fermo in $K'$) che è il tempo proprio, ovvero l'intervallo di tempo misurato nel sistema di riposo dell'orologio $K'$ (non $K$, li infatti servono due orologi, perché gli eventi accadono in punti diversi dello spazio).
Aggiungo anche la mia interpretazione:)
Dipende dalle definizioni. Mettiamoci nella situazione più semplice.
Due eventi in $K$ siano $(t_1,x_1)$ e $(t_2,x_2)$.
Definiamo lunghezza propria (non nulla) la lunghezza $\Delta x$ se:
$\Delta t=0, \Delta x \ne 0$ oppure $\Delta t \ne 0, \Delta x \ne 0$.
Definiamo tempo proprio (non nullo) l'intervallo $\Delta t$ se:
$\Delta t \ne 0, \Delta x =0$.
Si vede bene che, se queste due definizioni sono valide, non possono coesistere.
Dipende dalle definizioni. Mettiamoci nella situazione più semplice.
Due eventi in $K$ siano $(t_1,x_1)$ e $(t_2,x_2)$.
Definiamo lunghezza propria (non nulla) la lunghezza $\Delta x$ se:
$\Delta t=0, \Delta x \ne 0$ oppure $\Delta t \ne 0, \Delta x \ne 0$.
Definiamo tempo proprio (non nullo) l'intervallo $\Delta t$ se:
$\Delta t \ne 0, \Delta x =0$.
Si vede bene che, se queste due definizioni sono valide, non possono coesistere.
@navigatore
link molto interessante; vorrei chiederti un paio di cose riguardo alla rappresentazione grafica che hai inserito nella prima risposta. Se le linee di universo sono traiettorie nello spaziotempo, le strisce di universo rappresentano le traiettorie nello spaziotempo di tutti i punti dell'astronave? E poi perchè nella figura di sinistra l'inclinazione della linea di universo della stazione è $ arctg v $?
@spremiagrumi
grazie, esempio perfetto. Non ti seguo su questo però
In che modo la velocità dell'oggetto influenza queste definizioni? Intendi che si deve specificare se l'oggetto si muove o meno con velocità $ c $?
link molto interessante; vorrei chiederti un paio di cose riguardo alla rappresentazione grafica che hai inserito nella prima risposta. Se le linee di universo sono traiettorie nello spaziotempo, le strisce di universo rappresentano le traiettorie nello spaziotempo di tutti i punti dell'astronave? E poi perchè nella figura di sinistra l'inclinazione della linea di universo della stazione è $ arctg v $?
@spremiagrumi
grazie, esempio perfetto. Non ti seguo su questo però
Inoltre bisogna specificare la velocità dell'oggetto rispetto ai due sistemi di riferimento, altrimenti non puoi concludere nulla.
In che modo la velocità dell'oggetto influenza queste definizioni? Intendi che si deve specificare se l'oggetto si muove o meno con velocità $ c $?
"Fab527":
@navigatore
…….. Se le linee di universo sono traiettorie nello spaziotempo, le strisce di universo rappresentano le traiettorie nello spaziotempo di tutti i punti dell'astronave?
Si, la striscia (o tubo) di universo rappresenta, sul diagramma $(ct,x)$ , l'insieme di tutte la linee di universo di tutti i punti della astronave. LA realtà pseudo-euclidea del mondo a 4 dimensioni è questa : esistono le linee e i tubi di universo, ma noi dividiamo questa realtà in spazio e tempo , e diciamo che gli oggetti modificano la propria posizione spaziale nel tempo. In questi due disegni avevo rappresentato un treno che si muove rispetto a un osservatore in banchina; un disegno si riferisce al punto di vista dell' OI a terra , l'altro a quello dell'OI sul treno : la situazione è la stessa, ma vista da due osservatori diversi :
E poi perchè nella figura di sinistra l'inclinazione della linea di universo della stazione è $ arctg v $?
In un diagramma di Minkowski, la linea di universo di un $(OI)' $ che ha una data velocità $v$ rispetto ad un altro $OI$, è l'asse $t'$ di $(OI)'$ , che è inclinata di un certo angolo rispetto all'asse $t$ di $ OI $ : la tangente trigonometrica dell'angolo è data da $ (\Deltax)/(\Deltat) = v = tg\phi$ . Non formalizzarti sul fatto che ho detto $t$ anziché $ct$ , spesso la $c$ si sottintende, e si pone uguale ad $1$. Forse avrei dovuto essere più esatto e dire $arctg(-v)$ , è questo il motivo della tua domanda?
@spremiagrumi
grazie, esempio perfetto. Non ti seguo su questo però
[quote] Inoltre bisogna specificare la velocità dell'oggetto rispetto ai due sistemi di riferimento, altrimenti non puoi concludere nulla.
In che modo la velocità dell'oggetto influenza queste definizioni? Intendi che si deve specificare se l'oggetto si muove o meno con velocità $ c $?[/quote]
Ti rispondo per il nostro amico Spre' . LA velocità è essenziale in queste trasformazioni lineari tra riferimenti inerziali, essa interviene sia nel fattore di Lorentz sia nelle equazioni di trasformazione. La velocità è responsabile della "desincronizzazione degli orologi in moto" rispetto a quelli di quiete.
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