Tempo di salita e caduta con attrito
Salve,
chiedo aiuto per impostare il seguente problemino.: confrontare. calcolandolo, il tempo di salita e di caduta di un corpo lanciato verticalemente con velocità v, tenendo conto della resisteza dell'aria.
Per il tempo di salità penso di aver calcolato correttamente avendo $t_s=(m/b)ln((bv_0/m)+1)$ per il tempo di caduta occorre sapere quanto vale H, l'altezza massima, dopodichè supponendo per la discesa velocità costante pari alla velicità limite si arriva alla risposta al problema, come fare per calcolare H?
chiedo aiuto per impostare il seguente problemino.: confrontare. calcolandolo, il tempo di salita e di caduta di un corpo lanciato verticalemente con velocità v, tenendo conto della resisteza dell'aria.
Per il tempo di salità penso di aver calcolato correttamente avendo $t_s=(m/b)ln((bv_0/m)+1)$ per il tempo di caduta occorre sapere quanto vale H, l'altezza massima, dopodichè supponendo per la discesa velocità costante pari alla velicità limite si arriva alla risposta al problema, come fare per calcolare H?
Risposte
"zorrok":
Per il tempo di salità penso di aver calcolato correttamente avendo $t_s=(m/b)ln((bv_0/m)+1)$
Questo come l'hai ottenuto?
EDIT: cos' è $b$? Com'è che non dipende da $g$?
"zorrok":
supponendo per la discesa velocità costante pari alla velocità limite
Mi sembra un po' strano supporre la velocità costante, visto che dovrà pur partire da velocità zero...
Immagino che si sia considerato un attrito proporzionale alla velocità e che b sia il coefficiente di proporzionalità (ovvero $vec F_a=-b vecv$)
La soluzione dell'equazione del moto (con $v(0) = v_0$) è abbastanza corretta, ma come notato da mgrau, manca "g", ovvero la soluzione dovrebbe essere se non ho sbagliato i conti:
$t_s = m/b ln(1+ (bv_0)/(mg))$
A questo punto integrando l'espressione di v(t) puoi trovare H
$H = int_0^(t_s) v(t)dt$
e una volta determinato H puoi risolvere il problema inverso ovvero determinare v'(t') in discesa risolvendo l'equazione del moto con la condizione v'(0) = 0 e tenendo conto che stavolta la forza gravitazionale e forza di attrito hanno verso opposto tra loro.
Quindi nota la v'(t') puoi integrare e trovare l'altezza nel tempo con la condizione iniziale che per t'=0 l'altezza valga H.
Imponendo che l'altezza valga di nuovo zero, troverai il tempo $t_d$ di discesa.
La soluzione dell'equazione del moto (con $v(0) = v_0$) è abbastanza corretta, ma come notato da mgrau, manca "g", ovvero la soluzione dovrebbe essere se non ho sbagliato i conti:
$t_s = m/b ln(1+ (bv_0)/(mg))$
A questo punto integrando l'espressione di v(t) puoi trovare H
$H = int_0^(t_s) v(t)dt$
e una volta determinato H puoi risolvere il problema inverso ovvero determinare v'(t') in discesa risolvendo l'equazione del moto con la condizione v'(0) = 0 e tenendo conto che stavolta la forza gravitazionale e forza di attrito hanno verso opposto tra loro.
Quindi nota la v'(t') puoi integrare e trovare l'altezza nel tempo con la condizione iniziale che per t'=0 l'altezza valga H.
Imponendo che l'altezza valga di nuovo zero, troverai il tempo $t_d$ di discesa.
Non per fare il bastian contrario, ma cosa autorizza a supporre una resistenza di tipo viscoso anzichè turbolento?
"mgrau":
Non per fare il bastian contrario, ma cosa autorizza a supporre una resistenza di tipo viscoso anzichè turbolento?
E' un'assunzione valida per basse velocità e corpi di dimensioni ridotte (basso numero di Reynolds). Altrimenti vale la legge quadratica con la velocità.
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/airfri.html
"ingres":
E' un'assunzione valida per basse velocità e corpi di dimensioni ridotte (basso numero di Reynolds). Altrimenti vale la legge quadratica con la velocità.
Ok. Lo sapevamo. Ma per l'appunto il testo non parla nè di velocità nè di dimensioni. Per questo dico che non abbiamo motivo di scegliere un regime piuttosto che l'altro.
Grazie della discussione, ovviamente nella formula del tempo di salita ho semplicemente fatto un errore di battitura dimenticando la "g". Ingres ha tracciato la stada, peccato che si arriva ad un integrale non solubile analiticamente ma solo per via numerica, morale: anche un semplice problemino diventa intrattabile analiticamente appena usciamo dalla bolla dorata del modello semplificato privo di attrito. Figuriamoci se lo complichiamo ancora un po' pensando ad una forza di attrito proporzionale al quadrato della velocità e magari anche tenendo conto della fase trasitoria iniziale del moto di discesa prima che il corpo raggiunga la velocità limite!
Non sarei così pessimista 
Qualcosa si può calcolare in modo esatto. Ad es.,sempre sperando di non aver fatto qualche sbaglio nei conti:
$H=(mv_0)/b-(m^2g)/b^2 ln(1+(bv_0)/(mg))$
Poi ho fatto qualche calcolo con dei numeri tipici e credo che effettivamente nella maggior parte dei casi si ricada nel caso di moto turbolento piuttosto che laminare.
Ma anche in questo caso non è scontato che si possa risolvere solo numericamente.
Per la velocità si ottiene un'equazione differenziale a variabili separabili, per cui si può trovare una soluzione analitica.
Qualcosa si può calcolare in modo esatto. Ad es.,sempre sperando di non aver fatto qualche sbaglio nei conti:
$H=(mv_0)/b-(m^2g)/b^2 ln(1+(bv_0)/(mg))$
Poi ho fatto qualche calcolo con dei numeri tipici e credo che effettivamente nella maggior parte dei casi si ricada nel caso di moto turbolento piuttosto che laminare.
Ma anche in questo caso non è scontato che si possa risolvere solo numericamente.
Per la velocità si ottiene un'equazione differenziale a variabili separabili, per cui si può trovare una soluzione analitica.
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