Tempo caratteristico solenoide toroidale
Ciao a tutti 
Stavo facendo il seguente problema di fisica 2:
"Si avvolge del filo conduttore avente un certo diametro su un nucleo toroidale, di dimensioni assegnate. L'avvolgimento così costruito è caratterizzato da una induttanza e una resistenza, quindi ha un suo tempo caratteristico $ tau $ . Quale tipo di relazione esiste fra $ tau $ e la lunghezza h del filo utilizzato?" (ho anche la soluzione, deve essere $ tau $ proporzionale a h)
Allora, io ho che $ tau =L/R$ quindi mi calcolo L e R.
$R= (rho h)/(pir^2) $ dove r è il raggio del filo conduttore. A questo punto $rho, pi$ e r non dipendono da h, quindi ho che la resistenza è proporzionale a h.
Poi per L ho trovato la formula per il solenoide toroidale, che è $ L=(muN^2r^2)/D $ con r raggio dell'avvolgimento (ma raggio dell'avvolgimento sarebbe il raggio delle spire che si formano?) e D diametro del toroide. Quindi adesso dovrei vedere se in L c'è qualcosa che dipende dalla lunghezza del filo h. Per quanto riguarda il numero di spire N, per un solenoide normale è dato da $ (l)/(2r) $ , cioè la lunghezza del solenoide diviso il diametro, per il toroide non ho trovato una specifica formula quindi devo usare la stessa considerando $ l=piD $ ? Se così fosse otterrei $L=(mupi^2D)/4$. Quindi avrei che $(mupi^2)/4$ è ovviamente qualcosa di costante, però su D non saprei cosa dire... qualcuno potrebbe aiutarmi?
Stavo facendo il seguente problema di fisica 2:
"Si avvolge del filo conduttore avente un certo diametro su un nucleo toroidale, di dimensioni assegnate. L'avvolgimento così costruito è caratterizzato da una induttanza e una resistenza, quindi ha un suo tempo caratteristico $ tau $ . Quale tipo di relazione esiste fra $ tau $ e la lunghezza h del filo utilizzato?" (ho anche la soluzione, deve essere $ tau $ proporzionale a h)
Allora, io ho che $ tau =L/R$ quindi mi calcolo L e R.
$R= (rho h)/(pir^2) $ dove r è il raggio del filo conduttore. A questo punto $rho, pi$ e r non dipendono da h, quindi ho che la resistenza è proporzionale a h.
Poi per L ho trovato la formula per il solenoide toroidale, che è $ L=(muN^2r^2)/D $ con r raggio dell'avvolgimento (ma raggio dell'avvolgimento sarebbe il raggio delle spire che si formano?) e D diametro del toroide. Quindi adesso dovrei vedere se in L c'è qualcosa che dipende dalla lunghezza del filo h. Per quanto riguarda il numero di spire N, per un solenoide normale è dato da $ (l)/(2r) $ , cioè la lunghezza del solenoide diviso il diametro, per il toroide non ho trovato una specifica formula quindi devo usare la stessa considerando $ l=piD $ ? Se così fosse otterrei $L=(mupi^2D)/4$. Quindi avrei che $(mupi^2)/4$ è ovviamente qualcosa di costante, però su D non saprei cosa dire... qualcuno potrebbe aiutarmi?
Risposte
Senza fare tanti conti: una volta stabilito che $tau = L/R$; $N$, numero di spire al metro, e quindi anche $L$, fissate le dimensioni del toro e il diametro del filo, è proporzionale alla lunghezza del filo. Idem la resistenza: fissato il diametro del filo, $R$ è proporzionale alla lunghezza.
Okay grazie mille! 
Ciao! Ho un problema simile a quello sopra, in cui avvolgo un filo di rame (la cui massa totale è assegnata) su un nucleo toroidale di dimensioni assegnate. Stavolta devo vedere che relazione esiste tra $tau$ e il diametro d del filo utilizzato...
Allora, cominciamo con la resistenza, $R=(rho l)/(pi r^2)$. r è il raggio del filo, il diametro è 2r e quindi R sarà proporzionale a $d^-2$. Ma per quanto riguarda $l$ che è la lunghezza del filo, ho pensato che anche questa dipenderà dal diametro del filo, in quanto la massa del filo è assegnata, perciò se il filo è più grande sarà meno lungo. Quindi $l$ lo potrei esprimere come $m/(dpir^2)$ con m massa e d densità. Perciò avrei che R alla fine è proporzionale a $d^-4$.
Ora l'induttanza è $L=(mu N^2 r^2)/D$ con r raggio dell'avvolgimento e D diametro del toroide (questi quindi non dipendono dal diametro del filo che utilizzo), N è dato da $h/(2r)$ con h lunghezza del solenoide (in questo caso la misura della circonferenza del toroide), ma r non ho capito se sia il raggio dell'avvolgimento oppure il raggio del filo, perché nel primo caso N non dipenderebbe dal diametro del filo mentre nel secondo caso si... Però ragionandoci penso che N debba dipendere dal diametro del filo, perché come ho detto sopra dato che la massa del filo è assegnata se il filo è più grande sarà più corto e farà meno spire...
Per favore avrei bisogno di qualche delucidazione
grazie in anticipo!!
Ho un problema simile a quello sopra, in cui avvolgo un filo di rame (la cui massa totale è assegnata) su un nucleo toroidale di dimensioni assegnate. Stavolta devo vedere che relazione esiste tra $tau$ e il diametro d del filo utilizzato...Allora, cominciamo con la resistenza, $R=(rho l)/(pi r^2)$. r è il raggio del filo, il diametro è 2r e quindi R sarà proporzionale a $d^-2$. Ma per quanto riguarda $l$ che è la lunghezza del filo, ho pensato che anche questa dipenderà dal diametro del filo, in quanto la massa del filo è assegnata, perciò se il filo è più grande sarà meno lungo. Quindi $l$ lo potrei esprimere come $m/(dpir^2)$ con m massa e d densità. Perciò avrei che R alla fine è proporzionale a $d^-4$.
Ora l'induttanza è $L=(mu N^2 r^2)/D$ con r raggio dell'avvolgimento e D diametro del toroide (questi quindi non dipendono dal diametro del filo che utilizzo), N è dato da $h/(2r)$ con h lunghezza del solenoide (in questo caso la misura della circonferenza del toroide), ma r non ho capito se sia il raggio dell'avvolgimento oppure il raggio del filo, perché nel primo caso N non dipenderebbe dal diametro del filo mentre nel secondo caso si... Però ragionandoci penso che N debba dipendere dal diametro del filo, perché come ho detto sopra dato che la massa del filo è assegnata se il filo è più grande sarà più corto e farà meno spire...
Per favore avrei bisogno di qualche delucidazione
grazie in anticipo!!
L'induttanza è proporzionale all'area della spira (non del toroide) e al quadrato del numero delle spire, $L \propto pir^2*N^2$.
Quindi alla fine $L \propto r^2N^2$. La lunghezza di una spira è $2pir$, e la lunghezza totale del filo è $L_f \propto rN$. Quindi $L \propto L_f^2$.
Ma $L_f \propto d^-2$, quindi $L \propto d^-4$.
Concludiamo che resistenza e induttanza variano insieme, così il rapporto non dipende dal diametro del filo.
Quindi alla fine $L \propto r^2N^2$. La lunghezza di una spira è $2pir$, e la lunghezza totale del filo è $L_f \propto rN$. Quindi $L \propto L_f^2$.
Ma $L_f \propto d^-2$, quindi $L \propto d^-4$.
Concludiamo che resistenza e induttanza variano insieme, così il rapporto non dipende dal diametro del filo.
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