Tempo a contatto con una molla
Un corpo puntiforme di massa m = 0.5 kg scivola su un piano orizzontale liscio con velocità $v_0 = 2 m/s$ e urta l’estremità libera di molla) di costante elastica k e lunghezza di riposo $x_0 = 20 cm$, disposta orizzontalmente con l’asse parallelo alla direzione del moto del corpo e avente l’altra estremità fissata a una parete verticale fissa.
Il corpo comprime la molla, fino al valore $(x_0)/2$, e viene poi rilanciato nella direzione opposta a quella di arrivo contro la molla.
Calcolare:
a) la costante elastica della molla;
b) la velocità con cui il corpo si stacca dalla molla; (il corpo abbandona la molla quando questa ha
riacquistato la sua lunghezza di riposo);
c) quanto tempo il corpo resta a contatto con la molla
d) la massima accelerazione subita dal corpo e il punto in cui ciò avviene.
SOL.:
a)
Per il teorema dell'energia cinetica: $W_(tot)=DeltaE_k$
Per cui, ponendo l'energia potenziale della molla nulla quando essa non è compressa, si ha che l'energia potenziale elastica $E_(pel) = -1/2kDeltax^2$ è uguale alla differenza di energia cinetica $-1/2mv_o^2$
Per cui $1/2k(x_o/2)^2 = 1/2mv_0^2$ da cui $k=4m((v_0)/(x_0))^2 = 200 N/m.$
b)
Utilizzo la conservazione dell'energia meccanica: considero l'energia meccanica inziale quando è compressa e $v=0$: $E_(m,i)=1/2kDeltax^2 $.
Quella finale quando abbandona la molla dopo aver raggiunto la lunghezza di riposo: $E_(m,f)=1/2mv_b^2$
da cui ricavo: $v_b=sqrt(k/m)*Deltax=2 m/s$.
c)
Qui ho un dubbio: posso considerare il tempo di aggancio come la somma tra il tempo per comprimersi più il tempo per tornare alla lunghezza di riposo ?
Sulla massa m:$ma=-kDeltax$ da cui $a=-k/m Deltax = -40m/s^2$
per comprimersi:
$x(t) = v_0t +1/2at^2$
$v(t) = v_0 + at$
impoendo $v(t)=0$ trovo $t_f=0.05s$
per tornare alla lunghezza di riposo:
$x(t)=x_0/2 + 1/2at^2$
pongo $x(t) = 0$ da cui $t=0.07s$
il tempo totale di aggancio è $t_(Tot) =0.12s $
d)
anche qui mi trovo in difficoltà: l'accelerazione penso sia massima nel momento successivo all'inversione del moto, a causa della forza elastica... ma analiticamente non so come procedere.
Grazie a chiunque mi dia qualche spunto
Il corpo comprime la molla, fino al valore $(x_0)/2$, e viene poi rilanciato nella direzione opposta a quella di arrivo contro la molla.
Calcolare:
a) la costante elastica della molla;
b) la velocità con cui il corpo si stacca dalla molla; (il corpo abbandona la molla quando questa ha
riacquistato la sua lunghezza di riposo);
c) quanto tempo il corpo resta a contatto con la molla
d) la massima accelerazione subita dal corpo e il punto in cui ciò avviene.
SOL.:
a)
Per il teorema dell'energia cinetica: $W_(tot)=DeltaE_k$
Per cui, ponendo l'energia potenziale della molla nulla quando essa non è compressa, si ha che l'energia potenziale elastica $E_(pel) = -1/2kDeltax^2$ è uguale alla differenza di energia cinetica $-1/2mv_o^2$
Per cui $1/2k(x_o/2)^2 = 1/2mv_0^2$ da cui $k=4m((v_0)/(x_0))^2 = 200 N/m.$
b)
Utilizzo la conservazione dell'energia meccanica: considero l'energia meccanica inziale quando è compressa e $v=0$: $E_(m,i)=1/2kDeltax^2 $.
Quella finale quando abbandona la molla dopo aver raggiunto la lunghezza di riposo: $E_(m,f)=1/2mv_b^2$
da cui ricavo: $v_b=sqrt(k/m)*Deltax=2 m/s$.
c)
Qui ho un dubbio: posso considerare il tempo di aggancio come la somma tra il tempo per comprimersi più il tempo per tornare alla lunghezza di riposo ?
Sulla massa m:$ma=-kDeltax$ da cui $a=-k/m Deltax = -40m/s^2$
per comprimersi:
$x(t) = v_0t +1/2at^2$
$v(t) = v_0 + at$
impoendo $v(t)=0$ trovo $t_f=0.05s$
per tornare alla lunghezza di riposo:
$x(t)=x_0/2 + 1/2at^2$
pongo $x(t) = 0$ da cui $t=0.07s$
il tempo totale di aggancio è $t_(Tot) =0.12s $
d)
anche qui mi trovo in difficoltà: l'accelerazione penso sia massima nel momento successivo all'inversione del moto, a causa della forza elastica... ma analiticamente non so come procedere.
Grazie a chiunque mi dia qualche spunto
Risposte
Per i punti a) e b) sono d'accordo.
d) Da $F=ma=-K \Delta x$, dove $\Delta x$ è l'accorciamento della molla (che varia da 0 a 0,10m) si vede che $a$ è massima quando è massimo $\Delta x$.
c) $a$, per quanto detto prima, non è costante, ma varia da $0$ a $-40 m/s^2$. Seguendo però una legge di dipendenza lineare, penso che tu possa usare, nella legge del moto per ricavare $t$, il suo valore medio.
d) Da $F=ma=-K \Delta x$, dove $\Delta x$ è l'accorciamento della molla (che varia da 0 a 0,10m) si vede che $a$ è massima quando è massimo $\Delta x$.
c) $a$, per quanto detto prima, non è costante, ma varia da $0$ a $-40 m/s^2$. Seguendo però una legge di dipendenza lineare, penso che tu possa usare, nella legge del moto per ricavare $t$, il suo valore medio.
Chiaro 
Quindi secondo te su come ho proceduto in c) è corretto ?
Quindi secondo te su come ho proceduto in c) è corretto ?
Come impostazione direi di si, ma non puoi usare come $a$ il suo valore massimo.
Puoi verificare che sostituendo il valore di $t_f$ nella equazione di $x(t)$ non trovi il valore di $x_0/2$ che è quello dovuto.
Per il "ritorno" vale la stessa cosa. A parte che il valore del tempo è identico, a te viene diverso perché il corpo lo fai partire da $0,1m$, diverso da quello dell'andata.
$ x(t) = v_0t +1/2at^2 $
$ v(t) = v_0 + at $
impoendo $ v(t)=0 $ trovo $ t_f=0.05s $
Puoi verificare che sostituendo il valore di $t_f$ nella equazione di $x(t)$ non trovi il valore di $x_0/2$ che è quello dovuto.
Per il "ritorno" vale la stessa cosa. A parte che il valore del tempo è identico, a te viene diverso perché il corpo lo fai partire da $0,1m$, diverso da quello dell'andata.
Quindi potrei imporre $x(t_f)=Deltax=(x_o)/2$, trovare il tempo con cui si comprime, e il tempo con cui resta a contatto è $2t_f$?
si
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo