Temperatura potenziale
Una particella di aria ha una temperatura di - 51°C a livello di 250 hPa (quota). Qual è la temperatura potenziale? Quale temperatura la particella avrebbe se fosse portata all'interna di una cabina di un aereo e compressa adiabaticamente alla pressione della cabina che è 850 hPa?
Sapendo che per la temperatura potenziale $ vartheta =T (P_o/P)^k $
dove T è la tmperatura in kelvin
P_o è la pressione di riferimento (100 hPa)
k è la costante (0,29)
Per la prima parte ho applicato la formula
$ vartheta =T (P_o/P)^k = 222*(1000/250)^(0,29)=331 K$
Ho applicato la formula giusta visto il problema? Per la seconda parte faccio lo stesso calcolo?
Grazie a tutti
Sapendo che per la temperatura potenziale $ vartheta =T (P_o/P)^k $
dove T è la tmperatura in kelvin
P_o è la pressione di riferimento (100 hPa)
k è la costante (0,29)
Per la prima parte ho applicato la formula
$ vartheta =T (P_o/P)^k = 222*(1000/250)^(0,29)=331 K$
Ho applicato la formula giusta visto il problema? Per la seconda parte faccio lo stesso calcolo?
Grazie a tutti
Risposte
Hai pressione e temperatura iniziale.
Ricavi il volume iniziale $v_0$ da pv=RT
Durante la compressionie adiabatica da $p_0$ a $p_1$. il volume decresce cresce soddisfando la relazione
\( pv^k=p_0v_0^k \)
Quindi sai a che volume si trovera' la particella quando si trova a $p_1$.
Note $p_1$ e $v_1$ a fine compressione, la temperatura soddisfera' $p_1$$v_1$=$RT_1$
Ricavi il volume iniziale $v_0$ da pv=RT
Durante la compressionie adiabatica da $p_0$ a $p_1$. il volume decresce cresce soddisfando la relazione
\( pv^k=p_0v_0^k \)
Quindi sai a che volume si trovera' la particella quando si trova a $p_1$.
Note $p_1$ e $v_1$ a fine compressione, la temperatura soddisfera' $p_1$$v_1$=$RT_1$
Ciao ti ringrazio per la risposta...scusa ma per ricavare $v_0$ non dovremmo usare pv=nRT? cioè non servirebbe anche n?
Comunque ho eseguito i calcoli e siccome abbiamo pressione e temperatura iniziale come mi ha suggerito, per $v_0$
$v_0=(R*T_0)/p_0=(0,0821*222)/250=0,072$
Durante la compressione si passa da $p_0$ a $p_1$ (850 hPa) e il volume (che indico $v_1$) decresce secondo la relazione
\( p_1v_1^k=p_0v_0^k \)
K è la mia stessa k o un altra?
Io ho fatto il calcolo:
$v_1^k=(p_0v_0^k)/p_1=(250*0,072^(0,29))/850=0,137^(0,29)=6,14*10^-3$
Note $p_1$ e $v_1$ la temperatura della particella ($T_1$) nella cabina soddisferà $p_1$$v_1$=$RT_1$
per cui
$T_1=(p_1*v_1)/R= (850*6,14*10^-3)/(0,0821)=63,57$
$T_1$=63,57 K = -209,43°C
Ho interpretato bene quello che volevi dirmi? Ad una pressione maggiore è plausibile avere una temperatura + bassa di quella iniziale?
Comunque ho eseguito i calcoli e siccome abbiamo pressione e temperatura iniziale come mi ha suggerito, per $v_0$
$v_0=(R*T_0)/p_0=(0,0821*222)/250=0,072$
Durante la compressione si passa da $p_0$ a $p_1$ (850 hPa) e il volume (che indico $v_1$) decresce secondo la relazione
\( p_1v_1^k=p_0v_0^k \)
K è la mia stessa k o un altra?
Io ho fatto il calcolo:
$v_1^k=(p_0v_0^k)/p_1=(250*0,072^(0,29))/850=0,137^(0,29)=6,14*10^-3$
Note $p_1$ e $v_1$ la temperatura della particella ($T_1$) nella cabina soddisferà $p_1$$v_1$=$RT_1$
per cui
$T_1=(p_1*v_1)/R= (850*6,14*10^-3)/(0,0821)=63,57$
$T_1$=63,57 K = -209,43°C
Ho interpretato bene quello che volevi dirmi? Ad una pressione maggiore è plausibile avere una temperatura + bassa di quella iniziale?
C'e' un po' di confusione sui simboli.
.
Intanto ho appena notato che la temperatura potenziale da te calcolata e' sbagliata.
Se il fluido e' 222K a 250hPA, quando lo porti alla p di riferimento di 100hPa (c'e' chi usa questo valore, cioe' un bar, c'e' chi usa 101.3hPa, cioe' un'atmosfera, ma cambia poco), la temperatura (che altro non e' che la temperatura potenziale, siccome il fluido espande senza scambiare calore deve diminuire. Tu invece trovi un incremento.
Mi pare che hai invertito il rapporto delle pressioni.
Secondo, normalmente k e' il coefficeinte adiabatico, cioe' quello che viene inserito nella trasformazione adiabatico
\( pv^k=p_0v_0^k \)
per l'aria, $k$=1.4 circa
Questo ha ingenerato la confusione, poche' nel tuo caso, riguardando bene, dato che k=0.29, il tuo k deve essere \( \frac{R}{c_p} \)
Quando ha R/$c_p$, non occorre fare grandi calcoli.
Basta riapplicare la stessa formula della temperatura potenziale per ottenere la risposta per avere la temperatura a 850hPa
Spero di essere stato chiaro
per quanto riguarda pV=nrT, mi devi scusare, perche' mi sono dimenticato l'apice sulla R
Se usi PV=nRT, allora R e' la costante dei gas perfetti. V e' il volume occupato dalle n moli di gas.
La notazione che ho usato io e' pv=R'T (nota v e' minuscola).
v e' il volume specifico, cioe il volume occupato dall'unita' di massa del gas, cioe' l'inverso della densita').
In questo caso, che ti slega dal conoscere n, la R' si trova dalla costante del gas R (8.316J/molK) dividendo per il peso molecolare del gas (per l'aria 1.29kg/m3, mi pare, quindi R'=6.45 (dimmi tu le unita di misura)!
Ciao
PK
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Intanto ho appena notato che la temperatura potenziale da te calcolata e' sbagliata.
Se il fluido e' 222K a 250hPA, quando lo porti alla p di riferimento di 100hPa (c'e' chi usa questo valore, cioe' un bar, c'e' chi usa 101.3hPa, cioe' un'atmosfera, ma cambia poco), la temperatura (che altro non e' che la temperatura potenziale, siccome il fluido espande senza scambiare calore deve diminuire. Tu invece trovi un incremento.
Mi pare che hai invertito il rapporto delle pressioni.
Secondo, normalmente k e' il coefficeinte adiabatico, cioe' quello che viene inserito nella trasformazione adiabatico
\( pv^k=p_0v_0^k \)
per l'aria, $k$=1.4 circa
Questo ha ingenerato la confusione, poche' nel tuo caso, riguardando bene, dato che k=0.29, il tuo k deve essere \( \frac{R}{c_p} \)
Quando ha R/$c_p$, non occorre fare grandi calcoli.
Basta riapplicare la stessa formula della temperatura potenziale per ottenere la risposta per avere la temperatura a 850hPa
Spero di essere stato chiaro
per quanto riguarda pV=nrT, mi devi scusare, perche' mi sono dimenticato l'apice sulla R
Se usi PV=nRT, allora R e' la costante dei gas perfetti. V e' il volume occupato dalle n moli di gas.
La notazione che ho usato io e' pv=R'T (nota v e' minuscola).
v e' il volume specifico, cioe il volume occupato dall'unita' di massa del gas, cioe' l'inverso della densita').
In questo caso, che ti slega dal conoscere n, la R' si trova dalla costante del gas R (8.316J/molK) dividendo per il peso molecolare del gas (per l'aria 1.29kg/m3, mi pare, quindi R'=6.45 (dimmi tu le unita di misura)!
Ciao
PK
ciao, PK
in realtà la prof. ci ha dato per la temperatura potenziale, come pressione di riferimento 1000hPa e mi da conferma anche questo pdf: http://www.ing.unitn.it/~zardi/download ... i_aria.pdf ...l ho scritto male nei dati ma l ho scritto bene nei calcoli...però se mi dici che la temperatura potenziale dovrebbe essere piu bassa qualcosa non quadra, che può essere? Mi hai detto che k si ottiene da R/Cp Cp cosa indica e da dove deriva?...Quindi anche per la seconda parte del problema posso usare la formula che ho utilizzato per la prima parte?
Grazie mille mi sei molto d aiuto
in realtà la prof. ci ha dato per la temperatura potenziale, come pressione di riferimento 1000hPa e mi da conferma anche questo pdf: http://www.ing.unitn.it/~zardi/download ... i_aria.pdf ...l ho scritto male nei dati ma l ho scritto bene nei calcoli...però se mi dici che la temperatura potenziale dovrebbe essere piu bassa qualcosa non quadra, che può essere? Mi hai detto che k si ottiene da R/Cp Cp cosa indica e da dove deriva?...Quindi anche per la seconda parte del problema posso usare la formula che ho utilizzato per la prima parte?
Grazie mille mi sei molto d aiuto
"ryncophorus":
ciao, PK
in realtà la prof. ci ha dato per la temperatura potenziale, come pressione di riferimento 1000hPa e mi da conferma anche questo pdf: http://www.ing.unitn.it/~zardi/download ... i_aria.pdf ...l ho scritto male nei dati ma l ho scritto bene nei calcoli...però se mi dici che la temperatura potenziale dovrebbe essere piu bassa qualcosa non quadra, che può essere? Mi hai detto che k si ottiene da R/Cp Cp cosa indica e da dove deriva?...Quindi anche per la seconda parte del problema posso usare la formula che ho utilizzato per la prima parte?
Grazie mille mi sei molto d aiuto
Si, e' scappato un 0.
Alcuni usano 100,000Pa (come fai tu), altri usano 101,300Pa. Come ti ho detto, la differenza di 1.3% si riflette poco nei calcoli.
La temperatura potenziale e' definita come la temperatura che avrebbe la particella se fosse portata adiabaticamente dalle condizioni di pressione e temperatura iniziale alla pressione di riferimento.
Quindi: se la tua pressione e' maggiore della pressione di riferimento, vuol dire che stai espandendo il fluido. Quindi si deve raffreddare. Nel tuo caso, lo porti da una pressione di 250hPA a 1000hPa quindi lo stai comprimendo e dunque si scalda a 332K (l'errore nasce dallo 0 mancante che si e' trascinato nei calcoli).
la formula per trovare la Temperatura finale date pressione iniziale e finale e' la stessa che hai usato, quindi vale per la seconda parte del problema.
$C_p$ e' il calore specifico a pressione costante. Rappresenta la quantita di calore da fornire all'unita di massa di gas necessaria a innalzare la temperatura di un grado durante una trasformazione a pressione costante.
$C_v$, analogamente e' il calore specifico a volume costante. Rappresenta la quantita di calore da fornire all'unita di massa di gas necessaria a innalzare la temperatura di un grado durante una trasformazione a volume costante.
Si dimostra che $C_p$-$C_v$= R (la dimostrazione e' lunga e non la faccio qui, anche perche non so quanto mi seguiresti).
In ogni caso, $C_p>C_v$.
Pero' occhio perche come ti ho detto, in termodinamica, normalmente k o \( \gamma \) sono le lettere usate l'esponente adiabatico cioe per la trasformazione adiabatica che si scrive \( pv^k=p_0v_0^k \) con $p_0, v_0$ pressione e volumi iniziali.
Quella che ti fornisce il testo e' il rapporto R/Cp che e' ben diversa. E' un altro modo di calcolare le condizioni finali di un'adiabatica date pressione e temperatura iniziale.
Se studi le trasformazioni capisci tutto....
Ti ringrazio molto chiaro e gentile...spero che se avrò bisogno di altre info ci sarai
Siamo tutti qua, a disposizione.
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