Tema di esame, Campi elettrici
Ciao a tutti ho grosse difficoltà con il seguente esercizio
Tra le armature di un condensatore piano di forma circolare (raggio R) è applicata la ddp
$V =Vosin(ωt)$. All’interno del condensatore è presente una distribuzione di carica superficiale piana di
densità $σ$. La distribuzione di carica è circolare di raggio R ed è posta a distanza a e b rispettivamente
dalle due armature.
Si determinino (modulo, direzione e verso) all’interno del
condensatore:
a) il campo elettrico E
b) il campo magnetico B
c) la densità di corrente di spostamento Js e di conduzione Jc.
Il campo elettrico generato dalla ddp, avendo direzione verticale e quindi perpendicolare all'interfaccia dovrebbe essere lo stesso sia sopra che sotto la distribuzione di carica quindi $ E=V/(a+b) $.
A questo però va sommato il campo generato dalla carica superficiale di densità $σ$ la quale si sottrae ad E nella parte superiore e si somma nella parte inferiore.
Quindi Sia $ E=V/(a+b) $ , il campo elttrico nella zona $a$ è dato da $E-σ/(ɛ0)$ ($ɛ0$= costante dielettrica nel vuoto)
mentre il campo elttrico nella zona $b$ è dato da $E+σ/(ɛ0)$ .
Non so se sto ragionando nel modo corretto. Potete darmi una mano in vista dell'esame?
Grazie
Tra le armature di un condensatore piano di forma circolare (raggio R) è applicata la ddp
$V =Vosin(ωt)$. All’interno del condensatore è presente una distribuzione di carica superficiale piana di
densità $σ$. La distribuzione di carica è circolare di raggio R ed è posta a distanza a e b rispettivamente
dalle due armature.
Si determinino (modulo, direzione e verso) all’interno del
condensatore:
a) il campo elettrico E
b) il campo magnetico B
c) la densità di corrente di spostamento Js e di conduzione Jc.
Il campo elettrico generato dalla ddp, avendo direzione verticale e quindi perpendicolare all'interfaccia dovrebbe essere lo stesso sia sopra che sotto la distribuzione di carica quindi $ E=V/(a+b) $.
A questo però va sommato il campo generato dalla carica superficiale di densità $σ$ la quale si sottrae ad E nella parte superiore e si somma nella parte inferiore.
Quindi Sia $ E=V/(a+b) $ , il campo elttrico nella zona $a$ è dato da $E-σ/(ɛ0)$ ($ɛ0$= costante dielettrica nel vuoto)
mentre il campo elttrico nella zona $b$ è dato da $E+σ/(ɛ0)$ .
Non so se sto ragionando nel modo corretto. Potete darmi una mano in vista dell'esame?
Grazie
Risposte
Non è $\frac{\sigma}{2 \epsilon_0}$?
Mi sembra un po' strimenzita , e perche ?
Perchè striminzito? Secondo me hai commesso un errore in quello che hai scritto e te l'ho detto. Se poi ho sbagliato io, spero che qualcuno me lo faccia notare. Nessuno ha la verità in tasca. Per le altre domande dell'esercizio, devi tu proporre la tua soluzione, anche solo a livello di idee. Questo non è un dispensario gratuito di esercizi risolti, sarebbe diseducativo.
Comunque, il campo elettrico generato da una lastra piana carica presenta 2 al denominatore. La formula è una conseguenza della legge di Gauss.
Comunque, il campo elettrico generato da una lastra piana carica presenta 2 al denominatore. La formula è una conseguenza della legge di Gauss.
Come ti è stato fatto notare, c'è un errore: inizialmente presupponi che il campo sia lo stesso in tutto il condensatore, poi calcoli due diversi valori sopra e sotto il piano carico, applicando per di più una condizione al contorno sbagliata.
Suppongo possa porre il campo uniforme nelle due zone $a$ e $b$, quindi, considerando la relazione tra campo elettrico e ddp (e supponendo etc. etc.) $E_a a+E_b b = V(t)$, mentre alla lastra carica si pone la condizione $E_b-E_a=\sigma/\epsilon_0$.
I campi elettrici (diretti lungo $x$) sono uniformi nelle singole zone ma variabili nel tempo, quindi lo è anche il loro flusso, e dalla sua relazione con la circuitazione del campo magnetico si può calcolare quest'ultimo, con qualcosa del genere $2\pi r B(r) = \mu_0 \epsilon_0 \pi r^2 \frac{dE}{dt}$ (per considerazioni varie il campo $B$ è tangente, e qui la forma della armature diventa rilevante, mentre non lo era per il calcolo del campo elettrico).
Per quanto riguarda correnti di spostamento e conduzione, si tratta purtroppo di definizioni all'epoca in uso presso le facoltà di ingegneria che da noi non si usavano, e si preferiva parlare di variazione di carica sulle armature. Per quello che ricordo dai discorsi con i colleghi collegiali che frequentavano ingegneria (ah, ricordi di gioventù ...), la corrente di spostamento è proprio il termine equivalente alla variazione di campo elettrico nel vuoto per mantenere la validità della legge di Ampère. Tra le armature non dovrebbe invece verificarsi conduzione di corrente.
Si possono notare un paio di cose:
- i campi elettrici differiscono di un termine costante, quindi il campo magnetico non dovrebbe cambiare nelle due zone tra le armature (mi spingerei d'istinto a dire che l'interposizione della lastra carica non ha effetti sul campo magnetico, ma dovrei controllare meglio questa affermazione)
- fuori dal condensatore l'espressione del campo magnetico non differisce da quella di un filo percorso da corrente, il che giustifica l'introduzione di questo termine di correnti di spostamento: se sostituisci al condensatore un conduttore attraversato da una corrente equivalente a quella di spostamento calcolata, il campo magnetico è il medesimo (in termini più pratici: una pinza amperometrica non ti rivelerebbe la posizione del condensatore).
Comunque sono ragionevolmente convinto che se ti metti con po' di pazienza a cercare su Google trovi tutte le indicazioni necessarie.
Suppongo possa porre il campo uniforme nelle due zone $a$ e $b$, quindi, considerando la relazione tra campo elettrico e ddp (e supponendo etc. etc.) $E_a a+E_b b = V(t)$, mentre alla lastra carica si pone la condizione $E_b-E_a=\sigma/\epsilon_0$.
I campi elettrici (diretti lungo $x$) sono uniformi nelle singole zone ma variabili nel tempo, quindi lo è anche il loro flusso, e dalla sua relazione con la circuitazione del campo magnetico si può calcolare quest'ultimo, con qualcosa del genere $2\pi r B(r) = \mu_0 \epsilon_0 \pi r^2 \frac{dE}{dt}$ (per considerazioni varie il campo $B$ è tangente, e qui la forma della armature diventa rilevante, mentre non lo era per il calcolo del campo elettrico).
Per quanto riguarda correnti di spostamento e conduzione, si tratta purtroppo di definizioni all'epoca in uso presso le facoltà di ingegneria che da noi non si usavano, e si preferiva parlare di variazione di carica sulle armature. Per quello che ricordo dai discorsi con i colleghi collegiali che frequentavano ingegneria (ah, ricordi di gioventù ...), la corrente di spostamento è proprio il termine equivalente alla variazione di campo elettrico nel vuoto per mantenere la validità della legge di Ampère. Tra le armature non dovrebbe invece verificarsi conduzione di corrente.
Si possono notare un paio di cose:
- i campi elettrici differiscono di un termine costante, quindi il campo magnetico non dovrebbe cambiare nelle due zone tra le armature (mi spingerei d'istinto a dire che l'interposizione della lastra carica non ha effetti sul campo magnetico, ma dovrei controllare meglio questa affermazione)
- fuori dal condensatore l'espressione del campo magnetico non differisce da quella di un filo percorso da corrente, il che giustifica l'introduzione di questo termine di correnti di spostamento: se sostituisci al condensatore un conduttore attraversato da una corrente equivalente a quella di spostamento calcolata, il campo magnetico è il medesimo (in termini più pratici: una pinza amperometrica non ti rivelerebbe la posizione del condensatore).
Comunque sono ragionevolmente convinto che se ti metti con po' di pazienza a cercare su Google trovi tutte le indicazioni necessarie.
Grazie arrigo per la tua romanzina ..... bravo ben detto !!
Dunque: Il campo elettrico è dato dal contributo variabile della ddp $V=V0*sin(ɷt)$ e da una componente non variabile data dalla lamina carica.
Il campo nella regione superiore: $ E= V0*sin(ɷt)/(a+b) - σ/(2*ε0) $
nella regione inferiore: $ E= V0*sin(ɷt)/(a+b) + σ/(2*ε0) $
Per la risposta b) :
Posso applicare la quarta equazione di Maxwell:
$ rot B= μ0*(J + ε0*dE/dt) $ con μ0 = permeabilità magnetica nel vuoto, B vettore induzione magnetica, J = vettore densita di corrente di conduzione. Non essendoci cariche in movimento all'interno del condensatore, ho solamente una corrente di spostamento.
Applico il teorema di Stokes
$\int_0^l B*dx$ = $ μ0*( \int int ε0*dE/dt dxdy)$ = $ μ0*( \int int ε0*ɷ *V0*cos (ɷt)/(a+b)dxdy)$
Viene:
$B= μ0* ε0*ɷ *R*V0*cos (ɷt)/(2(a+b))$
Chiaramente solo la parte variabile del campo elettrico genera il campo magnetico.
Per quanto riguarda l'ultimo punto a me pare di aver gia risposto dicendo che all'interno del condensatore vi è solo corrente di spostamento e questa è data da :
$Js = ε0*dE/dt$
Infatti il teorema della circuitazione di Ampere nel caso non stazionario è applicabile unicamente se si aggiunge $ ε0*dE/dt$ .
Dunque: Il campo elettrico è dato dal contributo variabile della ddp $V=V0*sin(ɷt)$ e da una componente non variabile data dalla lamina carica.
Il campo nella regione superiore: $ E= V0*sin(ɷt)/(a+b) - σ/(2*ε0) $
nella regione inferiore: $ E= V0*sin(ɷt)/(a+b) + σ/(2*ε0) $
Per la risposta b) :
Posso applicare la quarta equazione di Maxwell:
$ rot B= μ0*(J + ε0*dE/dt) $ con μ0 = permeabilità magnetica nel vuoto, B vettore induzione magnetica, J = vettore densita di corrente di conduzione. Non essendoci cariche in movimento all'interno del condensatore, ho solamente una corrente di spostamento.
Applico il teorema di Stokes
$\int_0^l B*dx$ = $ μ0*( \int int ε0*dE/dt dxdy)$ = $ μ0*( \int int ε0*ɷ *V0*cos (ɷt)/(a+b)dxdy)$
Viene:
$B= μ0* ε0*ɷ *R*V0*cos (ɷt)/(2(a+b))$
Chiaramente solo la parte variabile del campo elettrico genera il campo magnetico.
Per quanto riguarda l'ultimo punto a me pare di aver gia risposto dicendo che all'interno del condensatore vi è solo corrente di spostamento e questa è data da :
$Js = ε0*dE/dt$
Infatti il teorema della circuitazione di Ampere nel caso non stazionario è applicabile unicamente se si aggiunge $ ε0*dE/dt$ .
Ok, manca solo la corrente di conduzione...
Fai solo attenzione ai valori del campo elettrico (i valori corretti sarebbero $E_a = \frac{V(t)}{a+b} -\frac{b}{a+b} \frac{\sigma}{\epsilon_0}$, $E_b = \frac{V(t)}{a+b} +\frac{a}{a+b} \frac{\sigma}{\epsilon_0}$). Ricorda che se lo integri lungo la coordinata $x$ devi ottenere la ddp $V(t)$. Tuttavia poiché sono considerazioni che incidono solo sul termine costante, non si hanno conseguenze sul calcolo del campo magnetico.
Ciao ma come hai fatto a trovare i due addendi $b/(a+b) * (sigma/epsilon)$ e $a/(a+b) *(sigma/epsilon)$ ?
La condizione sulla ddp scritta in uno dei post precedenti.
Come riferimento, guarda l'esercizio 37 in queste esercitazioni di elettromagnetismo (Università di Pisa).
Come riferimento, guarda l'esercizio 37 in queste esercitazioni di elettromagnetismo (Università di Pisa).
Grazie Cmax per l'aiuto che mi stai dando, ma veramente non riesco a capire. Forse sono stanco ed è tardi
Ho provato a seguire il tuo ragionamento.
Se faccio l'integrale del campo lungo $x$ dovrei trovare il valore $V(t)$
Quindi deve essere $\int_0^(a+b) (E1 + E2 + C) dx = V(t)$ con C= costante
Ma allora deve essere $\int_0^a( E1 +A) dx = (V(t))/(a+b)*a$ con A= costante
$\int_0^a( (V(t))/(a+b) -σ/(2*ε0) +A) dx = (V(t))/(a+b)*a$
$\int_a^(a+b) (E2 +B) dx = (V(t))/(a+b)*b$ con B= costante
$\int_a^(a+b)( (V(t))/(a+b) +σ/(2*ε0) +B) dx = (V(t))/(a+b)*a$
Abbastanza ovviamente viene fuori $A=σ/(2*ε0)$ $B=-σ/(2*ε0)$
E la parte continua del campo sparisce. Ma allora mi viene un dubbio.
Nell' esercizio, vi è una fem esterna che impone una ddp ai capi del condensatore che è puramente periodica e che mi genera un campo elettrico puramente periodico. Se io a quest' ultimo aggiungo una componente statica, e se poi faccio l'integrale su x dell'espressione che ne deriva, non potrò mai ottenere una ddp pari a V(t), puramente periodica......
la quale tra l'altro è responsabile del campo stesso (ossia della sola parte variabile)
Come la risolvo questa?
Ho provato a seguire il tuo ragionamento.
Se faccio l'integrale del campo lungo $x$ dovrei trovare il valore $V(t)$
Quindi deve essere $\int_0^(a+b) (E1 + E2 + C) dx = V(t)$ con C= costante
Ma allora deve essere $\int_0^a( E1 +A) dx = (V(t))/(a+b)*a$ con A= costante
$\int_0^a( (V(t))/(a+b) -σ/(2*ε0) +A) dx = (V(t))/(a+b)*a$
$\int_a^(a+b) (E2 +B) dx = (V(t))/(a+b)*b$ con B= costante
$\int_a^(a+b)( (V(t))/(a+b) +σ/(2*ε0) +B) dx = (V(t))/(a+b)*a$
Abbastanza ovviamente viene fuori $A=σ/(2*ε0)$ $B=-σ/(2*ε0)$
E la parte continua del campo sparisce. Ma allora mi viene un dubbio.
Nell' esercizio, vi è una fem esterna che impone una ddp ai capi del condensatore che è puramente periodica e che mi genera un campo elettrico puramente periodico. Se io a quest' ultimo aggiungo una componente statica, e se poi faccio l'integrale su x dell'espressione che ne deriva, non potrò mai ottenere una ddp pari a V(t), puramente periodica......
la quale tra l'altro è responsabile del campo stesso (ossia della sola parte variabile)
Come la risolvo questa?
Confesso che fatico un po' a seguire tutti i particolari. Per esempio, perché una costante nell'integrazione del campo? Il potenziale è definito a meno di una costante, il campo no.
L'integrale lo scriverei in questo modo, senza introdurre termini che complicano la vita,
$$\int_{0}^{a+b} E(x) dx = V$$
(omettiamo la dipendenza dal tempo, in questi passaggi non è rilevante).
Suddividendolo tra i vari intervalli
$$\int_{0}^{a+b} E(x) dx = \int_{0}^a E(x) dx + \int_{a}^{a+b} E(x) dx = aE_a + bE_b$$
dove $E_a$ e $E_b$ sono i valori del campo negli intervalli $[0,a]$ e $[a,a+b]$ (si è detto prima che il campo è uniforme a tratti).
Considerando inoltre le condizioni alla superficie carica, i valori del campo devono allora soddisfare il sistema
\begin{equation}
\begin{cases}
aE_a + bE_e = V \\ E_b - E_a = \frac{\sigma}{\epsilon_0}
\end{cases}
\end{equation}
L'integrale lo scriverei in questo modo, senza introdurre termini che complicano la vita,
$$\int_{0}^{a+b} E(x) dx = V$$
(omettiamo la dipendenza dal tempo, in questi passaggi non è rilevante).
Suddividendolo tra i vari intervalli
$$\int_{0}^{a+b} E(x) dx = \int_{0}^a E(x) dx + \int_{a}^{a+b} E(x) dx = aE_a + bE_b$$
dove $E_a$ e $E_b$ sono i valori del campo negli intervalli $[0,a]$ e $[a,a+b]$ (si è detto prima che il campo è uniforme a tratti).
Considerando inoltre le condizioni alla superficie carica, i valori del campo devono allora soddisfare il sistema
\begin{equation}
\begin{cases}
aE_a + bE_e = V \\ E_b - E_a = \frac{\sigma}{\epsilon_0}
\end{cases}
\end{equation}
Ok.
Applico il teorema di Gauss alla superfice infinitesima: $ (Eb-Ea) * pi*D^2 = (σ/(2*ε) + σ/(2*ε))* pi*D^2 $
che mi da appunto $ (Eb-Ea) = (σ/ε) $
E questa è la condizione sull'interfaccia interna. L'altra condizione è data dal potenziale.
E' tutto chiaro grazie
Applico il teorema di Gauss alla superfice infinitesima: $ (Eb-Ea) * pi*D^2 = (σ/(2*ε) + σ/(2*ε))* pi*D^2 $
che mi da appunto $ (Eb-Ea) = (σ/ε) $
E questa è la condizione sull'interfaccia interna. L'altra condizione è data dal potenziale.
E' tutto chiaro grazie
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