Tavole di Clebsch-Gordan meccanica quantistica
Sto facendo un esercizio in cui ho due particelle con spin $\frac{1}{2}$ , non identiche. Nello stato iniziale a $t=0$ la particella 1 si trova in $j_1=\frac{1}{2}$ e $j_{1z}=\frac{1}{2}$ mentre la particella 2 si trova in $j_2=\frac{3}{2}$ e $j_{2z}=-\frac{1}{2}$
Senza dilungarmi troppo, l'esercizio chiede di calcolare lo stato al tempo $t>0$ sapenfo che il sistema è descritto da:
$H=\frac{J^2}{2I}+\alphaJ_z$
Guardando le soluzioni che il prof ha messo online non riesco a capire come fa a ricavare i coefficienti di Clebsch-Gordan che mi danno sempre qualche problema. Allego foto.
Non dovrebbero essere entrambi positivi? Da dove esce quel meno? Chiedo umilmente aiuto.
Senza dilungarmi troppo, l'esercizio chiede di calcolare lo stato al tempo $t>0$ sapenfo che il sistema è descritto da:
$H=\frac{J^2}{2I}+\alphaJ_z$
Guardando le soluzioni che il prof ha messo online non riesco a capire come fa a ricavare i coefficienti di Clebsch-Gordan che mi danno sempre qualche problema. Allego foto.
Non dovrebbero essere entrambi positivi? Da dove esce quel meno? Chiedo umilmente aiuto.
Risposte
Sì, sai penso tu abbia ragione. Guardando le tabelle sono entrambi positivi in quella configurazione. Non ho guardato a fondo l'esercizio ma direi che si è confuso il professore, ha guardato la riga subito sotto che porta il meno.
Ti ringrazio per la risposta!
Guardando le tavole ho che:
sono entrambi positivi ma ho $|1,0>$ e $|0,0>$ come J e Jz mentre nelle soluzioni del prof c'è $|2,0>$ e $|1,0>$
può essere questo il motivo?
Potrebbe essere una domanda stupida dovuta a qualche mia carenza riguardo le tavole di Clebsch-Gordan e la loro lettura
Guardando le tavole ho che:
sono entrambi positivi ma ho $|1,0>$ e $|0,0>$ come J e Jz mentre nelle soluzioni del prof c'è $|2,0>$ e $|1,0>$
può essere questo il motivo?
Potrebbe essere una domanda stupida dovuta a qualche mia carenza riguardo le tavole di Clebsch-Gordan e la loro lettura
"cosssa":
... ho due particelle con spin $1/2$ ...
Non si comprende se entrambe le particelle hanno spin $1/2$ o una delle due ha spin $3/2$.
Non è quella la tabella da leggere ma 3/2x1/2, che comunque per quella composizione porta i valori positivi. È $j_1 $e $j_2 $da comporre, non gli spin in quanto tali.
Posto l'intero testo dell'esercizio in modo che non ci siano incomprensioni
Se le particelle sono entrambe da $\frac{1}{2}$ posso comunque guardare quella da 3/2x1/2?
I coefficienti di CG sono riferiti a momenti angolari generici, purché rappresentino un cambio di base valido. Possono esserci due spin o due momenti angolari totali o un momento angolare orbitale e uno di spin... In questo caso stiamo parlando di momento totale, lo dice espressamente anche nel testo che hai riportato.
Grazie mille davvero, ora ho capito!
Ritornando al meno nelle soluzione del prof, deve quindi essere un errore.
Ritornando al meno nelle soluzione del prof, deve quindi essere un errore.
Eh no diamine sbagliavo a leggere perché la tabella è 3/2x1/2 non il contrario ed è 3/2 ad avere proiezione z -1/2 quindi devi leggere lariga sotto a quella che hai letto. Già, fail. Quindi ha ragione il professore, mi ha ingannato il fatto che abbia ordinato i momenti al contrario rispetto allo standard delle tabelle 
Non so se mi sono spiegato, è difficile senza poter indicare la tabella. In genere si ordina mettendo prima il valore maggiore e poi il minore in modo da non dover leggere al contrario i valori delle proiezioni sulle tabelle, ma ovviamente non cambia nulla concettualmente.
Non so se mi sono spiegato, è difficile senza poter indicare la tabella. In genere si ordina mettendo prima il valore maggiore e poi il minore in modo da non dover leggere al contrario i valori delle proiezioni sulle tabelle, ma ovviamente non cambia nulla concettualmente.
Ok allora vediamo se ci sono:
dato che la tabella è 3/2x1/2 e io ho che la particella 2 sta in $j_2=\frac{3}{2}$ e la 1 sta in $j_1=\frac{1}{2}$ devo leggere la tabella come $j_{2z}=-\frac{1}{2}$ e $j_{1z}=\frac{1}{2}$ e non prima $j_{1z}$ e poi $j_{2z}$ , in questo modo la riga che visualizzo è la seconda ed è quella in cui è presente il meno
P.s. dopo giorni riesco a capire davvero come leggere le tavole, grazie dell'aiuto e del tuo tempo!
dato che la tabella è 3/2x1/2 e io ho che la particella 2 sta in $j_2=\frac{3}{2}$ e la 1 sta in $j_1=\frac{1}{2}$ devo leggere la tabella come $j_{2z}=-\frac{1}{2}$ e $j_{1z}=\frac{1}{2}$ e non prima $j_{1z}$ e poi $j_{2z}$ , in questo modo la riga che visualizzo è la seconda ed è quella in cui è presente il meno
P.s. dopo giorni riesco a capire davvero come leggere le tavole, grazie dell'aiuto e del tuo tempo!
Sì diciamo che ambiguità non ce n'è perché i numeri che vedi sopra le tabelle, ad esempio $3/2 \times 1/2$ sono $j_1 \times j_2 $ . Di conseguenza, hai gli $m_1$ ed $m_2$ associati. È solo da fare attenzione a mantenere la coerenza nella connessione tra i relativi j ed m.
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