Tavola di legno che galleggia - spinta di archimede
il testo dell'esercizio è questo:
Una tavola di legno (densita’ $ρ = 900(Kg)/m^3$) omogenea, di area $S = 1m^2$ e spessore H = 10cm, e’ parzialmente immersa nell’acqua di un lago calmo, con la superficie S parallela alla superficie dell’acqua. Nel seguito si indichi con Z lo spessore della tavola che emerge dall’acqua e si trascuri l’attrito viscoso dell’acqua.
in una domanda si chiede di determinare la funzione Z(t) se al tempo t=0 la tavola viene lasciata libera da ferma da Z = 0. io ho quindi impostato la prima equazione cardinale della meccanica ($F=ma$), ho risolto l'equazione differenziale e non ho trovato problemi..
il punto successivo chiede di calcolare il valore minimo di Z che viene raggiunto se la tavola viene lasciata da ferma in Z = H.
io allora ho pensato di impostare lo stesso problema di cauchy di prima cambiando solamente uno dei dati iniziali (Z(0)=H anzichè Z(0)=0). il risultato non mi torna però uguale a quello del libro ma non credo di aver fatto errori di calcolo..
qualcuno mi sa dare una spiegazione?
grazie.
Una tavola di legno (densita’ $ρ = 900(Kg)/m^3$) omogenea, di area $S = 1m^2$ e spessore H = 10cm, e’ parzialmente immersa nell’acqua di un lago calmo, con la superficie S parallela alla superficie dell’acqua. Nel seguito si indichi con Z lo spessore della tavola che emerge dall’acqua e si trascuri l’attrito viscoso dell’acqua.
in una domanda si chiede di determinare la funzione Z(t) se al tempo t=0 la tavola viene lasciata libera da ferma da Z = 0. io ho quindi impostato la prima equazione cardinale della meccanica ($F=ma$), ho risolto l'equazione differenziale e non ho trovato problemi..
il punto successivo chiede di calcolare il valore minimo di Z che viene raggiunto se la tavola viene lasciata da ferma in Z = H.
io allora ho pensato di impostare lo stesso problema di cauchy di prima cambiando solamente uno dei dati iniziali (Z(0)=H anzichè Z(0)=0). il risultato non mi torna però uguale a quello del libro ma non credo di aver fatto errori di calcolo..
qualcuno mi sa dare una spiegazione?
grazie.
Risposte
Quello che hai scritto è corretto, per capire se e dove sbagli occorre che scrivi un po' più in dettaglio quello che hai fatto.
allora, le forze che agiscono sulla tavola sono la forza di gravità e la spinta di archimede:
$ sum F =-Mg+ρ_(a)S(H-Z)=Ma$ dove $ρ_a$ è la densità dell'acqua.
l'equzione di cauchy sarà quindi: $ ddot{Z} +ρ_(a)/ρ_(l)g/HZ=g/ρ_(l)(ρ_(a)-ρ_(l))$
ponendo $ω=sqrt(ρ_(a)g/(ρ_(l)H))$ abbiamo $Z=Acosωt+Bsenωt+H(1-ρ_l/ρ_a)$ con condizioni iniziali $Z(0)=H$ e $ dot(Z)(0)=0 $
quindi otteniamo $Z(t)=ρ_l/ρ_aHcosωt+H(1-ρ_l/ρ_a)$
ora io ho posto $ dot(Z)(t)=0$ per trovare il punto più basso in cui si troverà la tavola, quello cioè in cui la velocità sarà di nuovo nulla e ho trovato $t=pi/ω$.
adesso calcolo $Z(pi/ω)=H(1-2ρ_l/ρ_a)=-8 cm$ mentre il risultato è -40 cm..
what's wrong with me??
$ sum F =-Mg+ρ_(a)S(H-Z)=Ma$ dove $ρ_a$ è la densità dell'acqua.
l'equzione di cauchy sarà quindi: $ ddot{Z} +ρ_(a)/ρ_(l)g/HZ=g/ρ_(l)(ρ_(a)-ρ_(l))$
ponendo $ω=sqrt(ρ_(a)g/(ρ_(l)H))$ abbiamo $Z=Acosωt+Bsenωt+H(1-ρ_l/ρ_a)$ con condizioni iniziali $Z(0)=H$ e $ dot(Z)(0)=0 $
quindi otteniamo $Z(t)=ρ_l/ρ_aHcosωt+H(1-ρ_l/ρ_a)$
ora io ho posto $ dot(Z)(t)=0$ per trovare il punto più basso in cui si troverà la tavola, quello cioè in cui la velocità sarà di nuovo nulla e ho trovato $t=pi/ω$.
adesso calcolo $Z(pi/ω)=H(1-2ρ_l/ρ_a)=-8 cm$ mentre il risultato è -40 cm..
what's wrong with me??
E' giusto il risultato del libro.
L'equazione risolutiva che hai scritto è corretta, ma poi devi fare attenzione a come fai i conti e soprattutto a quello che succede.
Se infatti la tavola di legno si immerge di più di $H$, cioè si immerge tutta allora l'equazione differenziale che scrivi non vale più perché la spinta di Archimede non è più funzione di $z$ ma diventa costante.
Ti conviene quindi, note le condizioni iniziali (cioè quando Z=H), trovare quanto vale la velocità della tavola quando è tutta immersa (cioè quando Z=0) se tale velocità non è nulla allora la tavola si continuerà a immergere finché la spinta verso l'alto non è sufficiente ad arrestarla.
Un modo alternativo più veloce per risolvere il secondo punto è vedere tutto il sistema come una molla di costante elastica pari a $k=rho_a S g$ e trovare quindi l'energia cinetica quando è tutta immersa. Se tale energia cinetica è maggiore di zero (come è) allora occorre eguagliarla al lavoro che la spinta netta delle forze sulla tavola deve compiere nel tratto in cui si continua a immergere :
$m_L*g*H-1/2 k H^2=(rho_a-rho_L)*S*H*g*x$
da cui trovi x.
C'è da osservare che trascurare le forze viscose ma soprattutto le forze dissipative dovute allo spostamento dell'acqua non è un'approssimazione correttissima (nel bilancio energetico infatti si trascura l'energia cinetica che acquista l'acqua spostata dalla tavoletta) per questo il numero che viene non sembra realistico e non corrisponde molto all'esperienza.
L'equazione risolutiva che hai scritto è corretta, ma poi devi fare attenzione a come fai i conti e soprattutto a quello che succede.
Se infatti la tavola di legno si immerge di più di $H$, cioè si immerge tutta allora l'equazione differenziale che scrivi non vale più perché la spinta di Archimede non è più funzione di $z$ ma diventa costante.
Ti conviene quindi, note le condizioni iniziali (cioè quando Z=H), trovare quanto vale la velocità della tavola quando è tutta immersa (cioè quando Z=0) se tale velocità non è nulla allora la tavola si continuerà a immergere finché la spinta verso l'alto non è sufficiente ad arrestarla.
Un modo alternativo più veloce per risolvere il secondo punto è vedere tutto il sistema come una molla di costante elastica pari a $k=rho_a S g$ e trovare quindi l'energia cinetica quando è tutta immersa. Se tale energia cinetica è maggiore di zero (come è) allora occorre eguagliarla al lavoro che la spinta netta delle forze sulla tavola deve compiere nel tratto in cui si continua a immergere :
$m_L*g*H-1/2 k H^2=(rho_a-rho_L)*S*H*g*x$
da cui trovi x.
C'è da osservare che trascurare le forze viscose ma soprattutto le forze dissipative dovute allo spostamento dell'acqua non è un'approssimazione correttissima (nel bilancio energetico infatti si trascura l'energia cinetica che acquista l'acqua spostata dalla tavoletta) per questo il numero che viene non sembra realistico e non corrisponde molto all'esperienza.
ok Faussone. ti ringrazio tantissimo sia per questo che per l'altro problema che ho postato perchè me li hai chiariti alla grande!!
posto la risoluzione dell'esercizio (per la quale mi sono anche "ispirato" alla soluzione del libro che prima non capivo) qualora chi legge il post sia interessato e anche perchè "repetita iuvant" a me..
allora per prima cosa cerco il valore dell'energia cinetica nel punto Z=0 impostando $K=U(H)-U(0)=-int_(0)^(H) F_ZdZ=-int_(0)^(H)(-Mg+ρ_ASHg-ρ_aSZg)dZ=SH^2g(ρ_L-ρ_A/2) $. ricordo che $M=SHρ_L$.
l'energia cinetica è $>0$ quindi cerco il valore di $Z_f$ per cui è eguagliata
$K=SH^2g(ρ_L-ρ_A/2)=MgZ_f-ρ_AHSgZ_f$ da cui ottengo
$Z_f=H((ρ_L-ρ_A/2)/(ρ_L-ρ_A))=-40 cm$
P.S. molto carina l'idea di considerare il sistema come una molla di costante elastica nota ma non l'ho presa in considerazione perchè è una cosa che in un esame non mi ricorderei di certo!
posto la risoluzione dell'esercizio (per la quale mi sono anche "ispirato" alla soluzione del libro che prima non capivo) qualora chi legge il post sia interessato e anche perchè "repetita iuvant" a me..
allora per prima cosa cerco il valore dell'energia cinetica nel punto Z=0 impostando $K=U(H)-U(0)=-int_(0)^(H) F_ZdZ=-int_(0)^(H)(-Mg+ρ_ASHg-ρ_aSZg)dZ=SH^2g(ρ_L-ρ_A/2) $. ricordo che $M=SHρ_L$.
l'energia cinetica è $>0$ quindi cerco il valore di $Z_f$ per cui è eguagliata
"Faussone":
al lavoro che la spinta netta delle forze sulla tavola deve compiere nel tratto in cui si continua a immergere
$K=SH^2g(ρ_L-ρ_A/2)=MgZ_f-ρ_AHSgZ_f$ da cui ottengo
$Z_f=H((ρ_L-ρ_A/2)/(ρ_L-ρ_A))=-40 cm$
P.S. molto carina l'idea di considerare il sistema come una molla di costante elastica nota ma non l'ho presa in considerazione perchè è una cosa che in un esame non mi ricorderei di certo!
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