Svolgimento esercizio fluidi
Un corpo di massa m=1 kg e densità $=0,1 g/(cm_3) $viene immerso a una profondità=4 m in un recipiente riempito d'acqua.
Quanto tempo impiega il corpo a riemergere?
Quant'è il volume sommerso?
Vorrei solo sapere se il mio ragionamento è giusto o no:
Innanzitutto converto la densità in kg/m cubo: $100 (kg)/(m_3)$
Poi calcolo il volume sommerso sapendo che $ (Vs)/V = rho/rho_0 $.
A questo punto faccio l'equilibrio delle forze agenti sul corpo considerando che ha un'accelerazione:
$rho_0Vsg - mg= ma$ e ricavo $a=(rho_0Vsg -mg) /( m)$. Devo usare Vs o V totale del corpo qui?
Infine dalla formula ricavata dalla legge oraria$ a=2x/t $ricavo il tempo (considerando che $x_0=0$ e $v_0=0$).
Grazie in anticipo!
Quanto tempo impiega il corpo a riemergere?
Quant'è il volume sommerso?
Vorrei solo sapere se il mio ragionamento è giusto o no:
Innanzitutto converto la densità in kg/m cubo: $100 (kg)/(m_3)$
Poi calcolo il volume sommerso sapendo che $ (Vs)/V = rho/rho_0 $.
A questo punto faccio l'equilibrio delle forze agenti sul corpo considerando che ha un'accelerazione:
$rho_0Vsg - mg= ma$ e ricavo $a=(rho_0Vsg -mg) /( m)$. Devo usare Vs o V totale del corpo qui?
Infine dalla formula ricavata dalla legge oraria$ a=2x/t $ricavo il tempo (considerando che $x_0=0$ e $v_0=0$).
Grazie in anticipo!
Risposte
Si, per essere preciso, indicata $\rho$ la densita' del corpo, e $\rho_0$ quella del liquido
Il peso del liquido spostato e' allora $\rho_0*V_s*g$
Il corpo e allora sottoposto alla forza peso e alla forza di archimede (asse verticale orientato verso l'alto, per scelta mia).
$\rho_0*V_s*g-mg=ma$
Quindi:
$\rho_0*{m}/{\rho}*g-mg=ma$
da cui $a = {\rho_0}/{\rho}*g-g={(\rho_0-1)g}/{\rho}$
Quindi ci sei (anche l'equazione di t e' OK).
Non capisco la domanda pero'. Devi usare il V sommerso, che coincide, se il corpo e a 4m, con il V del corpo!
Se fosse un galleggiante, (una nave, per esempio), questa si immergerebbe fino quando il volume di acqua spostato eguaglia il peso (il peso di una nave si chiama "dislocamento" proprio per quello).
Il peso del liquido spostato e' allora $\rho_0*V_s*g$
Il corpo e allora sottoposto alla forza peso e alla forza di archimede (asse verticale orientato verso l'alto, per scelta mia).
$\rho_0*V_s*g-mg=ma$
Quindi:
$\rho_0*{m}/{\rho}*g-mg=ma$
da cui $a = {\rho_0}/{\rho}*g-g={(\rho_0-1)g}/{\rho}$
Quindi ci sei (anche l'equazione di t e' OK).
Non capisco la domanda pero'. Devi usare il V sommerso, che coincide, se il corpo e a 4m, con il V del corpo!
Se fosse un galleggiante, (una nave, per esempio), questa si immergerebbe fino quando il volume di acqua spostato eguaglia il peso (il peso di una nave si chiama "dislocamento" proprio per quello).
"FraV":
A questo punto faccio l'equilibrio delle forze agenti sul corpo considerando che ha un'accelerazione:
$rho_0Vsg - mg= ma$ e ricavo $a=(rho_0Vsg -mg) /( m)$. Devo usare Vs o V totale del corpo qui?
Infine dalla formula ricavata dalla legge oraria$ a=2x/t $ricavo il tempo (considerando che $x_0=0$ e $v_0=0$).
Grazie in anticipo!
Ciao FraV
considerando $V_s$ in questa relazione:
$rho_0Vsg - mg= ma$
ti sei riportato nella condizione di equilibrio superficiale che avevi imposto per il calcolo di $V_s$ stesso ossia:
$rho_0Vsg - mg= 0$ infatti $rho_0Vsg - mg= rho V g - mg= mg -mg =0$
Quindi devi considerare tutto il volume $V$ e quindi diventa:
$rho_0 V g - mg= ma$
con cui ricavi $a$. Inoltre la legge oraria è
$x(t) = (a t^2)/2$ da cui i ricavi t
SSSSC
Bye
Allora: io devo calcolare l'accelerazione con cui il corpo sale da una profondità= 4 m alla superficie, da dove emerge parzialmente.
se galleggia significa che la spinta di Archimede è superiore al peso giusto? Quindi se uso V sommerso sarebbe uguale al peso e non si avrebbe il galleggiamento in superficie; tuttavia non ho capito proprio questo:
perchè $rho_0Vsg$ di fatto è uguale a $rho_0Vg$ ! Che è anche quello che ha detto professorkappa, Vs=V a quel livello.
Potreste chiarirmi questo dubbio?
se galleggia significa che la spinta di Archimede è superiore al peso giusto? Quindi se uso V sommerso sarebbe uguale al peso e non si avrebbe il galleggiamento in superficie; tuttavia non ho capito proprio questo:
perchè $rho_0Vsg$ di fatto è uguale a $rho_0Vg$ ! Che è anche quello che ha detto professorkappa, Vs=V a quel livello.
Potreste chiarirmi questo dubbio?
Cercherò di essere ancora più chiaro.
Personalmente, per evitare fraintendimenti, ho tenuto ben distinto il volume sommerso al momento dell'equilibrio al galleggiamento ($V_s$ come l'hai chiamato tu) dal volume totale del corpo cioè $V$.
Quindi per la spinta archimedea il corpo galleggia perchè il peso del volume $V_s$ di liquido spostato è pari al peso dell'intero corpo e infatti $V_s
Quando il corpo è completamente sott'acqua è chiaro che il volume sommerso è pari all'intero volume $V$ ma allora continuiamo a chiamarlo $V$. A questo punto, come ho detto nel mio post precedente, la spinta che il corpo riceve è data da:
$ rho_0 V g - mg= ma $
da cui
$ rho_0 m/rho g - mg= ma rArr a=rho_0 /rho g - g=(rho_0 /rho - 1)g$
con cui puoi ricavarti $t$.
Ovviamente, poi quando il corpo comincia a riemergere il volume sott'acqua diminuirà fino a diventare $V_s$.
Spero che così ti sia ancora più chiaro.
Personalmente, per evitare fraintendimenti, ho tenuto ben distinto il volume sommerso al momento dell'equilibrio al galleggiamento ($V_s$ come l'hai chiamato tu) dal volume totale del corpo cioè $V$.
Quindi per la spinta archimedea il corpo galleggia perchè il peso del volume $V_s$ di liquido spostato è pari al peso dell'intero corpo e infatti $V_s
tuttavia non ho capito proprio questo:
perchè $ρ0Vsg$ di fatto è uguale a $ρ0Vg$ ! Che è anche quello che ha detto professorkappa, $Vs=V$ a quel livello.
Potreste chiarirmi questo dubbio?
Quando il corpo è completamente sott'acqua è chiaro che il volume sommerso è pari all'intero volume $V$ ma allora continuiamo a chiamarlo $V$. A questo punto, come ho detto nel mio post precedente, la spinta che il corpo riceve è data da:
$ rho_0 V g - mg= ma $
da cui
$ rho_0 m/rho g - mg= ma rArr a=rho_0 /rho g - g=(rho_0 /rho - 1)g$
con cui puoi ricavarti $t$.
Ovviamente, poi quando il corpo comincia a riemergere il volume sott'acqua diminuirà fino a diventare $V_s$.
Spero che così ti sia ancora più chiaro.
Ora voglio fare una piccola digressione.
Prendiamo un caso specifico. Se il nostro corpo supponiamo sia un cilindro di base $S$ e di altezza $h = V/S$.
Se viene messo nel liquido abbiamo detto che si immergerà di un volume pari a $V_s$ che corrisponde ad una altezza di equilibrio misurata dalla base del cilindro pari a $h_(eq)=V_s/S$.
A questo punto (mettendoci in condizioni ideali e trascurando la viscosità dell'acqua) se diamo una piccola spinta verso il basso, l'esperienza ci dice che il cilindro comincia ad oscillare fuori e dentro l'acqua attorno alla posizione di equilibrio $h_(eq)$. In pratica si comporta come un oscillatore pseudo-armonico.
In effetti è così anche per la matematica.
Ora poniamo l'origine di un sistema di coordinate sul filo dell'acqua con l'asse $x$ rivolto verso l'alto, in queste condizioni $h_(eq)$ corrisponde a $x=0$. Vediamo cosa succede ora alla nostra equazione per le accelerazioni:
$ rho_0 V g - mg= ma $
che diventa, ragionando attorno alla posizione di equilibrio $x=0$:
$ (d^2 x(t))/(d t^2) = - (rho_0 gS)/m *x(t) $
otteniamo una equazione differenziale 2° ordine come quella dell'oscillatore armonico con $k=rho_0 gS$.
La soluzione generale è:
$x(t) = c_1 cos(sqrt( (rho_0 gS)/m)t)+c_2 sin(sqrt( (rho_0 gS)/m)t)$
dove naturalmente $c_1$ e $c_2$ dipendono dalle condizioni iniziali.
Da cui si vede che il periodo di oscillazione è:
$T = 2 pi sqrt(m/(rho_0gS))$
e quindi le oscillazioni sono tanto più rapide quanto maggiore è la densità del liquido o la superficie del cilindro.
Per ora può bastare.
Bye
Prendiamo un caso specifico. Se il nostro corpo supponiamo sia un cilindro di base $S$ e di altezza $h = V/S$.
Se viene messo nel liquido abbiamo detto che si immergerà di un volume pari a $V_s$ che corrisponde ad una altezza di equilibrio misurata dalla base del cilindro pari a $h_(eq)=V_s/S$.
A questo punto (mettendoci in condizioni ideali e trascurando la viscosità dell'acqua) se diamo una piccola spinta verso il basso, l'esperienza ci dice che il cilindro comincia ad oscillare fuori e dentro l'acqua attorno alla posizione di equilibrio $h_(eq)$. In pratica si comporta come un oscillatore pseudo-armonico.
In effetti è così anche per la matematica.
Ora poniamo l'origine di un sistema di coordinate sul filo dell'acqua con l'asse $x$ rivolto verso l'alto, in queste condizioni $h_(eq)$ corrisponde a $x=0$. Vediamo cosa succede ora alla nostra equazione per le accelerazioni:
$ rho_0 V g - mg= ma $
che diventa, ragionando attorno alla posizione di equilibrio $x=0$:
$ (d^2 x(t))/(d t^2) = - (rho_0 gS)/m *x(t) $
otteniamo una equazione differenziale 2° ordine come quella dell'oscillatore armonico con $k=rho_0 gS$.
La soluzione generale è:
$x(t) = c_1 cos(sqrt( (rho_0 gS)/m)t)+c_2 sin(sqrt( (rho_0 gS)/m)t)$
dove naturalmente $c_1$ e $c_2$ dipendono dalle condizioni iniziali.
Da cui si vede che il periodo di oscillazione è:
$T = 2 pi sqrt(m/(rho_0gS))$
e quindi le oscillazioni sono tanto più rapide quanto maggiore è la densità del liquido o la superficie del cilindro.
Per ora può bastare.
Bye
Ti ringrazio anche per questa dimostrazione matematica: sei stato molto esaustivo e chiaramente sono cose che non avrei mai immaginato 
Comunque, alla fine:
se devo calcolare l'accelerazione che ha il corpo mentre risale nel fluido uso $V=V_s$ (giustamente);
se devo pensare al galleggiamento, so che il corpo è in equilibrio in superficie: ergo le forze si equivalgono, perciò $V_s$ della spinta di Archimede sposta un volume di liquido pari al peso dell'oggetto: $\rho_0gV_s=rho_fgV$.
Comunque, alla fine:
se devo calcolare l'accelerazione che ha il corpo mentre risale nel fluido uso $V=V_s$ (giustamente);
se devo pensare al galleggiamento, so che il corpo è in equilibrio in superficie: ergo le forze si equivalgono, perciò $V_s$ della spinta di Archimede sposta un volume di liquido pari al peso dell'oggetto: $\rho_0gV_s=rho_fgV$.
Perfetto non fa una grinza.
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