Sviluppo in serie di Taylor al primo ordine

[enzo doc]

Salve a tutti, vorrei il vostro aiuto su un dubbio che mi porto da diverso tempo. In pratica diverse volte, in diversi contesti, per ottenere delle leggi che descrivessero un determinato fenomeno in via generale, il professore ha effettuato un bilancio di un determinato tipo (energetico, dinamico a secondo del contesto) su un elemento infinitesimo di materia di volume dV.
Ora per avere un'espressione del valore della grandezza in esame lungo una faccia del cubo infinitesimo, ha trovato tale valore con lo sviluppo in serie di taylor al primo ordine, con valore iniziale quello che la grandezza in esame assume sulla faccia opposta a quella presa in considerazione. Fin qui tutto chiaro, quello che vorrei capire è se il fatto di fermarci al primo ordine è una approssimazione, o stesso il fatto che stiamo lavorando su grandezze a distanze infinitesime rendono tale sviluppo esatto.

[Sk_Anonymous]

"totoredoc":……..Fin qui tutto chiaro, quello che vorrei capire è se il fatto di fermarci al primo ordine è una approssimazione, o stesso il fatto che stiamo lavorando su grandezze a distanze infinitesime rendono tale sviluppo esatto.

Ciao Totoredoc . È una approssimazione, che tanto più si avvicina alla realtà quanto più "infinitesima" è appunto la distanza tra le facce del cubetto elementare; tipico è il caso, per esempio, del cubetto elementare che, come tu dici, si presenta in tante circostanze della fisica applicata : la variazione di pressione in un fluido, gli sforzi, ecc. ecc.
È come quando sostituisci un archetto di curva col segmentino tangente: approssimazione al primo ordine, in modo da rendere il problema trattabile in maniera lineare. Altrimenti si andrebbe incontro a complicazioni notevoli, se per esempio volessi andare al secondo ordine. MA talvolta ci si arriva pure.

Di più non so dirti. Forse qualche matematico potrà darti spiegazioni migliori delle mie. Ciao.

[Faussone]

"totoredoc":Salve a tutti, vorrei il vostro aiuto su un dubbio [....].
Fin qui tutto chiaro, quello che vorrei capire è se il fatto di fermarci al primo ordine è una approssimazione, o stesso il fatto che stiamo lavorando su grandezze a distanze infinitesime rendono tale sviluppo esatto.

Ciao,
ho il sospetto che tu non abbia tanto chiaro il concetto di limite e di infinitesimo di ordine superiore.
Quello che si fa in questi casi è scrivere delle equazioni valide per un elemento di dimensioni finite, e poi, visto che le equazioni scritte debbono valere per qualunque dimensione dell'elemento considerato, fare il limite che tende a zero delle dimensioni di detto elemento.
Facendo quello, tipicamente, alcune quantità diventano nulle rispetto ad altre (sono infinitesimi di ordine superiore) e altre possono essere scritte in termini di derivate. Quello che si ottiene alla fine è un'equazione (spessissimo, ma non sempre, un'equazione differenziale) che coinvolge le quantità in gioco.
Tale equazione è un'equazione esatta non un'approssimazione (come lo è l'equazione che coinvolge le quantità finite quando si usa l'espansione di Taylor), per lo stesso motivo per cui esistono le derivate o il teorema fondamentale del calcolo integrale, se vuoi.