Superfici Isoterme

[Dek1]

Salve a tutti...Volevo chiedervi se qualcuno sa dirmi qualcosa sulle superfici isoterme e il loro significato fisico. L'argomento è uscito fuori nel corso di GEOMETRIA in merito alle superfici. In pratica se ho una superficie X(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) e siano dX/du e dX/dv le derivate parziali se la ||dX/du||=||dX/dv|| la parametrizzazione si dice ISOTERMA...perchè?qula'è il suo significato fisico?

p.s: con || || indico la norma.

[*pizzaf40]

Sicuramente il significato fisico è che su una superficie isoterma, la temperatura non cambia...se immagini un corpo sferico con generazione di calore al centro, è immediato immaginare che le superfici isoterme siano sferiche e centrate nel centro della sfera stessa....poi ad ogni raggio corrisponderà un valore di temperatura.

[Cantaro86]

mi spiegheresti per favore la tua notazione per indicare la superficie???

perchè mi ha un po confuso

[Dek1]

Si vabbè sò cosa è una superficie isoterma ma non riesco a capire la correlazione matematica con la definizione di parametrizzazione isoterma....
La notazione è quella di una superficie cartesiana nello spazio...

[Cantaro86]

mmm...
a parte che la notazione non mi sembra molto chiara (forse per colpa mia ) visto che io una superficie in $RR^3$ la scrivo semplicemente come $z=f(x,y)$ mentre li sembra che che tu abbia una funzione vettoriale...

comunque se leggo la condizione che hai scritto posso solamente dire che la variazione della funzione X è uguale in modulo sia in direzione u che in direzione v.
quindi se la X la interpreto come un campo scalare della temperatura posso dire che questa cambia allo stesso modo nelle 2 direzioni u e v...

[*pizzaf40]

E' vero quello ce dice Cantaro...tu hai preso una superficie (non una funzione Temperatura), l'hai derivata rispetto a 2 variabili e hai imposto l'uguaglianza.

Per identificare la superficie isoterma devi prendere la funzione $T(x,y,z)$ e verificare che $(dT)/(dr)=(dT)/(dx)*(dx)/(dr)+(dT)/(dy)*(dy)/(dr)+(dT)/(dz)*(dz)/(dr)=0$ (non so come si faccia il simbolo delle derivate parziali per i primi termini) trovando così la direzione $r$ che identifica (estendendolo a tutto il campo) la superficie isoterma...

[gugo82]

Non so se la nomenclatura parametrizzazione isoterma c'entri qualcosa con la Termodinamica... ma sia ben chiaro che si parla di un concetto di Geometria Differenziale.

Mi pare di ricordare che la definizione esatta sia la seguente:

Siano $Ssubset RR^3$ una superficie regolare e $X$ una sua rappresentazione parametrica locale (ossia $X:U to S, quad (u,v) to X(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ ove $Usubseteq RR^2$ è aperto).
Si dice che r.p.l. $X$ di $S$ è isoterma se e solo se essa gode delle seguenti proprietà:

1) $quad(\partial X)/(\partial u)\circ (\partial X)/(\partial v)=0$ identicamente in $U$ (con $\circ$ indico il prodotto scalare di $RR^3$; insomma $X$ è una parametrizzazione ortogonale);

2) $quad||(\partial X)/(\partial u)||=||(\partial X)/(\partial v)||$ identicamente in $U$.

Per maggiori informazioni consulta un buon libro di Geometria Differenziale (a suo tempo ho usato il DoCarmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice Hall ma al momento non l'ho a portata di mano, quindi non ho potuto verificare la definizione).


@Cantaro86: quella che riporti tu è una definizione stretta stretta di superficie. Pensa che con la definizione che adotti, la sfera ${x in RR^3:quad |x|=1}$ non è una superficie.

[Cantaro86]

si in effetti non avevo pensato al fatto di una rappresentazione di una superficie in forma implicita
solo una domanda:
ma la parametrizzazione della superficie non dovrebbe essere indicata con delle variabili diverse???
(premetto che di geometria differenziale so praticamente poco o niente...)

invece mi sa proprio che non ci sono collegamenti fra questa definizione e una superficie isoterma in fisica... visto che se la superficie mi rappresenta un luogo dello spazio in cui la temperatura rimane costante allora le due derivate devono essere entrambe nulle, mentre le condizioni 1 e 2 dicono solamente che la temperatura varia con la stessa "rapidità" in due direzioni ortogonali...

[*pizzaf40]

Eh sì, è vero...ci siamo fatti buggerare dalla parola chiave, Cantaro

Grazie per l'illuminazione gugo

[gugo82]

"Cantaro86":si in effetti non avevo pensato al fatto di una rappresentazione di una superficie in forma implicita
solo una domanda:
ma la parametrizzazione della superficie non dovrebbe essere indicata con delle variabili diverse???
(premetto che di geometria differenziale so praticamente poco o niente...)

Chiarisco subito la definizione di superficie regolare in Geometria Differenziale:

Sia $S subset RR^3$ un insieme non vuoto.
Si dice ha $S$ è una superficie regolare in $RR^3$ se e solo se per ogni punto $p=(barx, bary, barz) in S$ esistono un intorno aperto $V_p$ di $p$ in $RR^3$, un aperto non vuoto $U_p subseteq RR^2$ ed un'applicazione $X_p:U_pto V_pcap S$ tali che:

1) $quad X_p in C^oo(U;RR^3)$ (ossia, dette $x_p(u,v),y_p(u,v),z_p(u,v)$ le tre componenti di $X_p(u,v)$, deve essere $x_p,y_p,z_p in C^oo(U)$);

2) $quad X$ è un omeomorfismo tra $U_p$ e $V_pcap S$ (cioè $X$ è invertibile con inversa continua);

3) il differenziale $" d"X_p|_q$ (cioè l'applicazione lineare di $RR^2$ in $RR^3$ che ha per matrice associata la matrice jacobiana di $X_p$ rispetto alle variabili $u,v$ calcolate nel punto $q=(baru,barv) in U$) è iniettivo: ciò equivale a richiedere che sia verificata la relazione sul prodotto vettoriale:

$quad (\partial X_p)/(\partial u)(u,v) times (\partial X_p)/(\partial v)(u,v) !=\stackrel{->}{0} quad$ (condizione di regolarità)

per ogni scelta di $(u,v) in U$.

Se $S$ è una superficie regolare in $RR^3$, ogni applicazione $X_p$ verificante le 1, 2, 3) viene detta rappresentazione parametrica, parametrizzazione o carta locale di $S$ intorno al punto $p$; la coppia $(V_pcap S,X_p)$ si chiama intorno coordinato di $p$ in $S$ sull'aperto $U$; le variabili $u,v$ della r.p.l. $X_p$ vengono dette coordinate locali nell'intorno coordinato $(V_pcap S,X_p)$;l'insieme ${(V_pcapS, X_p)}_(p in S)$ viene detto atlante di $S$.

Si prova che se $S$ è una superficie regolare, allora essa si può esprimere come unione di grafici di funzione, cioè come unione di superifici regolari (nel senso dell'Analisi) di equazione $z=f(x,y), y=g(x,z), x=h(y,z)$, con le funzioni $f,g,h$ definite su opportuni aperti di $RR^2$.

Andando avanti si può provare che, fissato un intorno coordinato su una superficie regolare $S$, i due vettori $(\partial X_p)/(\partial u)(u,v), (\partial X_p)/(\partial v)(u,v)$ costituiscono, punto per punto (cioè al variare delle coordinate locali $(u,v) in U_p$), una base dello spazio tangente alla superficie (di cui vi risparmio la definizione rigorosa! ): pertanto tale spazio è un piano che è detto, ovviamente, piano tangente ad $S$ nel punto $X_p(u,v)$ e la coppia di vettori ${(\partial X_p)/(\partial u)(u,v), (\partial X_p)/(\partial v)(u,v)}$ è detta base del piano tangente ad $S$ in $X_p(u,v)$ indotta dalla r.p.l. $X_p$.

Partendo dalla struttura metrica dei piani tangenti (che naturalmente hanno, essendo ognuno di tali piani isomorfo allo spazio vettoriale metrico $RR^2$), si riesce a definire una strutturametrica anche su $S$, in cui si riescono a misurare le lunghezze delle curve tracciate sulla superficie e gli angoli formati da coppie di curve incidenti in un punto proprio come se fossimo in un piano.

Queste due aggiunte le ho fatte per arrivare a dire che:

La metrica di una superficie che ha un atlante fatto di parametrizzazioni isoterme (come definite nel mio post precedente) è conforme a quella del piano euclideo.

Alla buona, ciò significa che gli angoli vengono misurati nello stesso senso (antiorario) sia sul piano $RR^2$ che sulla superficie $S$.