Superfici equipotenziali e gradiente del potenziale
Ragazzi ho una curiosità!
Il fatto che le superfici equipotenziali sono sempre perpendicolari al campo lo si puo' evincere dalla relazione $ E=-grad V $ ?
Mi spiego meglio... da questa relazione si puo' evincere che il potenziale decresce lungo la direzione e il verso del campo elettrico?
Se fosse così è una logica conseguenza che la superficie equipotenziale non puo' che essere perpendicolare.
Il gradiente é un concetto nuovo quindi scusate se sbaglio!
Vi pongo questa domanda per vedere se ho afferrato o no il concetto di gradiente del potenziale!
Grazie!
Il fatto che le superfici equipotenziali sono sempre perpendicolari al campo lo si puo' evincere dalla relazione $ E=-grad V $ ?
Mi spiego meglio... da questa relazione si puo' evincere che il potenziale decresce lungo la direzione e il verso del campo elettrico?
Se fosse così è una logica conseguenza che la superficie equipotenziale non puo' che essere perpendicolare.
Il gradiente é un concetto nuovo quindi scusate se sbaglio!
Vi pongo questa domanda per vedere se ho afferrato o no il concetto di gradiente del potenziale!
Grazie!
Risposte
Che il campo sia ortogonale alla superficie lo si vede da una semplice considerazione.
Ti suggerisco due ragionamenti, uno più strettamente fisico e uno matematico.
Ragionamento fisico: se esistesse una componente tangenziale del campo, le cariche messe sulla superficie del conduttore si muoverebbero. Ma noi siamo all'equilibrio, ragion per cui deve essere E ortogonale alla superficie.
Potresti obiettare che un campo ortogonale farebbe muovere l'elettrone facendolo uscire dalla superficie. Ma ciò non avviene perchèi per uscire da un conduttore ci vuole un certo lavoro (detto "lavoro di estrazione"). Un conduttore è modellizzato come un oggetto che permette alle cariche di muoversi liberamente all'interno e all'esterno, ma che oppone una certa "resistenza" all'estrazione. D'altronde col teorema di Gauss trovi che il modulo di E infinitamente vicini al conduttore vale $E=\sigma/\epsilon_0$
Più direttamente: c'è un teorema di analisi matematica che dice che il gradiente è ortogonale alla superficie su cui la funzione è costante. Cerca sul libro qualcosa sulle curve di livello (quella che tu chiami superficie equipotenziale è una curva di livello ottenuta intersecando la funzione "Potenziale" con il piano $z=k$.
Ti suggerisco due ragionamenti, uno più strettamente fisico e uno matematico.
Ragionamento fisico: se esistesse una componente tangenziale del campo, le cariche messe sulla superficie del conduttore si muoverebbero. Ma noi siamo all'equilibrio, ragion per cui deve essere E ortogonale alla superficie.
Potresti obiettare che un campo ortogonale farebbe muovere l'elettrone facendolo uscire dalla superficie. Ma ciò non avviene perchèi per uscire da un conduttore ci vuole un certo lavoro (detto "lavoro di estrazione"). Un conduttore è modellizzato come un oggetto che permette alle cariche di muoversi liberamente all'interno e all'esterno, ma che oppone una certa "resistenza" all'estrazione. D'altronde col teorema di Gauss trovi che il modulo di E infinitamente vicini al conduttore vale $E=\sigma/\epsilon_0$
Più direttamente: c'è un teorema di analisi matematica che dice che il gradiente è ortogonale alla superficie su cui la funzione è costante. Cerca sul libro qualcosa sulle curve di livello (quella che tu chiami superficie equipotenziale è una curva di livello ottenuta intersecando la funzione "Potenziale" con il piano $z=k$.
Davvero chiaro, grazie!
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