Sull'operatore densità di un insieme (statistico) di sistemi

[hank_scorpio]

Salve, vi prego di darmi una mano perché il mio professore si rifiuta e non so a chi altro rivolgermi. Si tratta di meccanica quantistica per informatici, ma alla fine è poco più che algebra lineare. Vado dritto al punto. Sia dato un insieme di $n$ sistemi, ciascuno nel proprio stato (puro) $|\psi_i\rangle$, e sia:$$\Sigma_A:=\sum_{i=1}^n A_i\otimes\bigotimes_{j\neq i}I_j$$Dove ogni $A_i$ è un'osservabile del sistema $i$-esimo e $I_i$ indica il relativo operatore identità. S'intende che ogni $A_i$ sia nella posizione corretta nella sequenza di prodotti tensoriali. Detto $\langle O\rangle$ il valore atteso della misura di un'osservabile $O$, questo è ciò che il professore ha scritto senza troppe giustificazioni, e che sto cercando di espandere in passaggi logici più elementari:$$\begin{align}\langle\Sigma_A\rangle&=\text{Tr}(\Sigma_A\rho)\tag{1}\\&=\text{Tr}(\sum_i A_i|\psi_i\rangle\langle\psi_i|)\tag{2}\\&=\text{Tr}(\sum_i A_i\sum_{j,k}c_{ij}c_{ik}^\ast|v_j\rangle\langle v_k|)\tag{3}\\&=n\ \text{Tr}(\Sigma_A\sum_{j,k}\gamma_{jk}|v_j\rangle\langle v_k|)\tag{4}\end{align}$$Dove $\text{Tr}$ è l'operazione di estrazione della traccia; riguardo le altre entità che compaiono nelle formule, forse è il caso che le introduca a tempo debito. Di seguito è il mio tentativo:


[size=150]1.[/size] Qui $\rho$ indica l'operatore densità dell'insieme dei sistemi. L'unica definizione di $\langle O\rangle$ che abbiamo mai dato proviene da quello che ci è stato presentato come uno dei postulati della MQ, i.e:$$\langle O\rangle\stackrel{\text{def}}{=}\sum_i\lambda_iP(i)$$Dove $\lambda_i$ è l'$i$-esimo autovalore di $O$ e $P(i)$ è la probabilità che il risultato della misura sia $\lambda_i$; perciò è anche l'unico possibile punto di partenza per dimostrare $(1)$. Ora, data una collezione di quelli che Nielsen & Chuang chiamano operatori di misura ${M_i}$, ciascuno associato a un possibile risultato $\lambda_i$, abbiamo "dimostrato" che \(\displaystyle P(i)=\text{Tr}(M_i^\dagger M_i\rho)\). Quindi, [hl]assumendo di poter decomporre $\Sigma_A$ in una tale collezione[/hl], per linearità della traccia:$$\begin{split}\langle\Sigma_A\rangle&=\sum_i\lambda_iP(i)\\&=\sum_i\lambda_i\text{Tr}(M_i^\dagger M_i\rho)\\&=\text{Tr}(\big[\sum_i\lambda_iM_i^\dagger M_i\big]\rho)\end{split}$$Dove adesso $\lambda_i$, $P(i)$ sono riferiti a $\Sigma_A$. Adesso, mi sembra che l'ultima sommatoria assomigli molto a una sorta di decomposizione spettrale di $\Sigma_A$, il che porterebbe direttamente alla parte destra di $(1)$, ma di nuovo, non sono sicuro di come funzionerebbe una tale decomposizione, ove possibile.

Un altro tentativo è come segue. Poiché ogni sistema è nel suo stato puro $|\psi_i\rangle$, dalla definizione di operatore densità, questo è semplicemente \(\displaystyle\rho=|\psi_1\cdots\psi_n\rangle\langle\psi_1\cdots\psi_n|\). Siano quindi $|\phi_i\rangle$ gli autostati di $O$. [hl]Assumendo che \(\displaystyle P(i)=|\langle\phi_i|\psi_1\cdots\psi_n\rangle|^2\)[/hl], per proprietà di ciclicità della traccia:$$\begin{split}\langle\Sigma_A\rangle={}&\sum_i\lambda_iP(i)\\={}&\sum_i\lambda_i|\langle\phi_i|\psi_1\cdots\psi_n\rangle|^2\\={}&\sum_i\lambda_i\langle\phi_i|\psi_1\cdots\psi_n\rangle\langle\psi_1\cdots\psi_n|\phi_i\rangle\\={}&\sum_i\langle\phi_i|\ |\psi_1\cdots\psi_n\rangle\langle\psi_1\cdots\psi_n|\ \lambda_i|\phi_i\rangle\\={}&\sum_i\langle\phi_i|\ \rho\ \Sigma_A|\phi_i\rangle\\\stackrel{\text{def}}{=}{}&\text{Tr}(\rho\Sigma_A)\\={}&\text{Tr}(\Sigma_A\rho)\end{split}$$
[size=150]2.[/size] Per quanto detto al punto precedente, sappiamo che \(\displaystyle\rho=|\psi_1\cdots\psi_n\rangle\langle\psi_1\cdots\psi_n|\), quindi in teoria, per semplice sostituzione di $\Sigma_A$ e $\rho$:$$\text{Tr}(\Sigma_A\rho)=\text{Tr}(\sum_{i=1}^n|\psi_1\cdots A_i\psi_i\cdots\psi_n\rangle\langle\psi_1\cdots\psi_n|)\tag{$\ast$}$$Ora, la mia idea era che esistesse una relazione fra \(\displaystyle\text{Tr}(|\psi_1\cdots A_i\psi_i\cdots\psi_n\rangle\langle\psi_1\cdots\psi_n|)\) e \(\displaystyle\text{Tr}(A_i|\psi_i\rangle\langle\psi_i|)\), ma a quanto pare non si tratta di questo. A detta del professore, la parte destra di $(2)$ è solo una riscrittura compatta della parte destra di \(\displaystyle(\ast)\) che si focalizza sui singoli sistemi su cui ogni $A_i$ agisce, senza specificare che su tutti gli altri sistemi agisce una semplice identità. Se non che al punto successivo, sembra che si vada a manipolare i $|\psi_i\rangle$ e $\langle\psi_i|$ come se fossero effettivamente gli stati dei singoli sistemi, piuttosto che una scrittura compatta di qualcosa di più complesso (v. seguito).


[size=150]3.[/size] Qui i $|v_j\rangle$ sono una base ortonormale e i $c_{ij}$ sono tali che:$$|\psi_i\rangle=\sum_j c_{ij}|v_j\rangle$$Se vi chiedete perché i $|v_j\rangle$ non hanno il doppio pedice, me lo chiedo anch'io, ma suppongo che sia fatta l'implicita [hl]assunzione che i sistemi siano virtualmente identici[/hl]. La parte destra di $(3)$ è ottenuta per semplice sostituzione.


[size=150]4.[/size] Qui:$$\gamma_{jk}:=\big[\sum_i c_{ij}c_{jk}^\ast\big]/n$$Qui non ho idea di come procedere, tranne che forse la catena di uguaglianze dei punti precedenti è seguita al contrario, in qualche modo, non saprei.


[size=150]TL;DR:[/size] Sto cercando di sviluppare/dimostrare la catena di uguaglianze $(1)$-$(4)$. I punti da 1 a 4 sono i miei tentativi. Se avete resistito fin qui, vi ringrazio molto!

[hank_scorpio]

Riguardo il secondo tentativo al punto 1: in teoria, per come abbiamo presentato i postulati della MQ, il fatto che \(\displaystyle P(i)=|\langle\phi_i|\psi_1\cdots\psi_n\rangle|^2\) viene direttamente da un altro di tali postulati, quindi sempre in teoria, questo tentativo è corretto.

[hank_scorpio]

Riguardo il punto 2: partendo dal presupposto che sia un'effettiva uguaglianza e non una semplice riscrittura, forse si può dimostrare come segue. Posti $|\phi_i\rangle$ una base ortonormale qualsiasi: $$\begin{split}\text{Tr}(|\psi_1\cdots A_i\psi_i\cdots\psi_n\rangle\langle\psi_1\cdots\psi_n|)&\stackrel{\text{def}}{=}\sum_j\langle\phi_j|\psi_1\cdots A_i\psi_i\cdots\psi_n\rangle\langle\psi_1\cdots\psi_n|\phi_j\rangle\\&=\sum_j\langle\psi_1\cdots\psi_n|\phi_j\rangle\langle\phi_j|\psi_1\cdots A_i\psi_i\cdots\psi_n\rangle\\&=\langle\psi_1\cdots\psi_n|\underbrace{\sum_j{|\phi_j\rangle\langle\phi_j|}}_I|\psi_1\cdots A_i\psi_i\cdots\psi_n\rangle\\&=\langle\psi_1\cdots\psi_n|\psi_1\cdots A_i\psi_i\cdots\psi_n\rangle\\&\stackrel{\text{def}}{=}\underbrace{\prod_{j\neq i}\langle\psi_j|\psi_j\rangle}_1\langle\psi_i|A_i\psi_i\rangle\\&=\langle\psi_i|A_i\psi_i\rangle\end{split}$$A questo punto in teoria si può ripercorrere la sequenza al contrario, a ottenere \(\displaystyle\text{Tr}(A_i|\psi_i\rangle\langle\psi_i|)\).