Sulle simmetrie in M.Q.
Buonasera, mi piacerebbe disturbare qualche volenteroso fisico riguardo un secondo dubbio che mi porto dietro dallo studio della teoria base del primo corso del mio ateneo.
Siccome ho trovato risposte molto di aiuto vorrei provare con questo secondo argomento (ci penso da qualche settimana ma l'ho accantonato in attesa di qualche idea)
So che una simmetria in MQ è legata al concetto di misura, infatti mi pare di capire che si abbia una realizzazione di una simmetria quando la probabilità di transizione in una misura rimane invariata.
Il tutto è un po' legato al thm di wigner che dice:
1) La probabilità di transizione |<ϕ'|ψ'>|²=|<ϕ|ψ>|² è invariante per una trasformazione soo e soltanto nei casi in cui dato |ψ'>=U|ψ> è
- U trasformazione unitaria e lineare
- U trasformazione antiunitaria e antilineare
2) Mi è stato poi mostrato che in generale dato un operatore A e una trasformazione U si dice che A è invariante per trasformazione se $U^+AU=A$ che si traduce nella implicazione sul generatore della trasformazione U (chiamiamolo F): $U^+AU=A => [F,H]=0$ e quindi=cost.
Dopo queste cose dette il professore inizia a chiamare simmetrie tutte le quantità che commutano con H, o meglio, tutte le commutazioni di H con F che generano U.
Il punto su cui mi incarto però è che di fatto non capisco il legame riguardo i due punti sopra:
-> Se ho una simmetria, dunque mettiamo U lineare e unitaria per cui si conserva la probabilità, cosa mi garantisce poi che (=>) ho H invariante per trasformazioni, ossia che vale: $U^+AU=A$?
->Parimenti dato $U^+AU=A$ perché => U è lineare e unitaria che conserva la probbailità di transizione?
Vengono trattate un po' come sinonimi il fatto è che a me è stata definita simmetria la conservazione della probabilità sotto la trasformazione U (detta in brutta maniera), poi invece si usa per simmetria la definizione di [F,H]=0 con F generatore di U. Ma dovrei dimostrare un legame: $U^+AU=A <=> [F,H]=0$
Vorrei cercare di capire come sia stata spiegata ad altri se avessero voglia di intervenire o anche solo linkare una lettura a riguardo utile. Purtroppo questa parte è stata fatta un po' male quindi trovo delle lacune che vorrei riorganizzare rispetto a quanto detto, se qualcuno avesse voglia di metterci mano.
Siccome ho trovato risposte molto di aiuto vorrei provare con questo secondo argomento (ci penso da qualche settimana ma l'ho accantonato in attesa di qualche idea)
So che una simmetria in MQ è legata al concetto di misura, infatti mi pare di capire che si abbia una realizzazione di una simmetria quando la probabilità di transizione in una misura rimane invariata.
Il tutto è un po' legato al thm di wigner che dice:
1) La probabilità di transizione |<ϕ'|ψ'>|²=|<ϕ|ψ>|² è invariante per una trasformazione soo e soltanto nei casi in cui dato |ψ'>=U|ψ> è
- U trasformazione unitaria e lineare
- U trasformazione antiunitaria e antilineare
2) Mi è stato poi mostrato che in generale dato un operatore A e una trasformazione U si dice che A è invariante per trasformazione se $U^+AU=A$ che si traduce nella implicazione sul generatore della trasformazione U (chiamiamolo F): $U^+AU=A => [F,H]=0$ e quindi
Dopo queste cose dette il professore inizia a chiamare simmetrie tutte le quantità che commutano con H, o meglio, tutte le commutazioni di H con F che generano U.
Il punto su cui mi incarto però è che di fatto non capisco il legame riguardo i due punti sopra:
-> Se ho una simmetria, dunque mettiamo U lineare e unitaria per cui si conserva la probabilità, cosa mi garantisce poi che (=>) ho H invariante per trasformazioni, ossia che vale: $U^+AU=A$?
->Parimenti dato $U^+AU=A$ perché => U è lineare e unitaria che conserva la probbailità di transizione?
Vengono trattate un po' come sinonimi il fatto è che a me è stata definita simmetria la conservazione della probabilità sotto la trasformazione U (detta in brutta maniera), poi invece si usa per simmetria la definizione di [F,H]=0 con F generatore di U. Ma dovrei dimostrare un legame: $U^+AU=A <=> [F,H]=0$
Vorrei cercare di capire come sia stata spiegata ad altri se avessero voglia di intervenire o anche solo linkare una lettura a riguardo utile. Purtroppo questa parte è stata fatta un po' male quindi trovo delle lacune che vorrei riorganizzare rispetto a quanto detto, se qualcuno avesse voglia di metterci mano.
Risposte
-- Edit msg sopra --
Mi sembra di essere, in tutto e per tutto, d'accordo con le tue considerazioni. Credo che il nocciolo della questione sia ben distinguere la trasformazione di simmetria (l'operatore unitario che eg implementa la traslazione) dal fatto che questa trasformazione di simmetria sia effettivamente una invarianza del sistema. La trasformazione di simmetria è una invarianza del sistema soltanto se i suoi generatori commutano con l'hamiltoniana.
A complicazione, molto spesso la parola "simmetria" è usata solo per descrivere la trasformazione anche quando il sistema non è invariante sotto la trasformazione stessa.
Un esempio terra-a-terra: dato un oscillatore armonico quantistico, posso considerare sempre l'oscillatore armonico traslato attraverso una trasformazione di simmetria (la traslazione). Questa simmetria è una invarianza del sistema? Ovviamente no, essendo la dinamica ben diversa nel sistema traslato.
In poche parole, quando dici che una trasformazione di simmetria è una invarianza del sistema stai dicendo che l'hamiltoniana è invariante sotto la generica trasformazione per cui \(U^\dagger H U = H\) e di conseguenza - considerando generiche trasformazioni infinitesime - che \(\left[T_i,H\right] = 0 \) dove \(T_i\) sono i generatori della trasformazione.
A complicazione, molto spesso la parola "simmetria" è usata solo per descrivere la trasformazione anche quando il sistema non è invariante sotto la trasformazione stessa.
Un esempio terra-a-terra: dato un oscillatore armonico quantistico, posso considerare sempre l'oscillatore armonico traslato attraverso una trasformazione di simmetria (la traslazione). Questa simmetria è una invarianza del sistema? Ovviamente no, essendo la dinamica ben diversa nel sistema traslato.
In poche parole, quando dici che una trasformazione di simmetria è una invarianza del sistema stai dicendo che l'hamiltoniana è invariante sotto la generica trasformazione per cui \(U^\dagger H U = H\) e di conseguenza - considerando generiche trasformazioni infinitesime - che \(\left[T_i,H\right] = 0 \) dove \(T_i\) sono i generatori della trasformazione.
[UP 
]
Ti ringrazio molto per esserti preso la briga di avermi dato ascolto
Mi pare quindi di capire che, a conti fatti, non ci sia una implicazione: Trasformazione di simmetria => invarianza del sistema.
Associavo al concetto di simmetria una relativa invarianza, un po' come nella classica:
[1] Indipendenza da origine riferimento (che è la mia simmetria) [2]correlata alla traslazione spaziale (mia invarianza) [3]che correla a sua volta alla quantità di moto totale (quantità conservata).
Invece mi pare di capire leggendoti che non vale qualcosa del genere in MQ, bensì ci sia solo un diretto legame tra invarianza (descritta dalla commutazione c on H) e quantità conservata relativa.
Ma non sempre quando c'è una trasformazione di simmetria si correla una invarianza.
L'unica cosa che non capisco è però questo: ogni simmetria mi garantisce con wigner una conservazione della probabilità (in modo spicciolo), e quindi dato che la fisica si basa su questo pensavo mi garantisse una invarianza di ciò che "vedo". Insomma, pensavo fosse questo a garantirmi una invarianza di fatto.
]Ti ringrazio molto per esserti preso la briga di avermi dato ascolto
Mi pare quindi di capire che, a conti fatti, non ci sia una implicazione: Trasformazione di simmetria => invarianza del sistema.
Associavo al concetto di simmetria una relativa invarianza, un po' come nella classica:
[1] Indipendenza da origine riferimento (che è la mia simmetria) [2]correlata alla traslazione spaziale (mia invarianza) [3]che correla a sua volta alla quantità di moto totale (quantità conservata).
Invece mi pare di capire leggendoti che non vale qualcosa del genere in MQ, bensì ci sia solo un diretto legame tra invarianza (descritta dalla commutazione c on H) e quantità conservata relativa.
Ma non sempre quando c'è una trasformazione di simmetria si correla una invarianza.
L'unica cosa che non capisco è però questo: ogni simmetria mi garantisce con wigner una conservazione della probabilità (in modo spicciolo), e quindi dato che la fisica si basa su questo pensavo mi garantisse una invarianza di ciò che "vedo". Insomma, pensavo fosse questo a garantirmi una invarianza di fatto.
Ciao, perdonami la latitanza.
Non ho molto altro da aggiungere, se non conferme a quanto hai già compreso e discusso nei posts sopra.
Tipicamente in meccanica classica quando si dice che una trasformazione è una simmetria si intende che la lagrangiana (o l'azione, o le equ del moto) è invariante sotto la trasformazione per cui si conserva la corrispondente carica di Noether (equivalentemente, in formalismo Hamiltoniano, che la parentesi di poisson della carica di noether con la H è nulla da cui discende la conservazione della quantità).
Questo fa il paio con il concetto di invarianza lato QM in perfetta analogia, al netto della piccola differenza con cui viene utilizzato il concetto di "simmetria".
La questione è che, come dicevo, in meccanica quantistica si parla di "trasformazione di simmetria" anche quando il sistema non è invariante sotto la trasformazione. Il teorema di Wigner dice che queste trasformazioni di simmetria, connettendo descrizioni equivalenti del sistema fisico, devono essere rappresentate da operatori unitari [nota]trascuriamo per un attimo la simmetria discreta di time-reversal, che è rappresentata da operatore antiunitario[/nota]: ad esempio l'operatore di traslazione deve essere implementato come un operatore unitario che agisce sullo spazio degli stati fisici, ma questo non implica che la traslazione sia una invarianza del sistema.
Correttissimo quanto dici.
come dicevo sopra, in mecc classica quando dici simmetria intendi (spesso) in realtà invarianza. Quando dici che hai simmetria rotazionale, intendi che la lagrangiana è invariante sotto rotazioni che implica conservazione del momento angolare. Nota la perfetta analogia con la QM, dove l'invarianza sotto rotazioni implica che il commutatore tra Hamiltoniana e (ogni componente del) Momento angolare è nullo.
Ma ovviamente, anche in caso classico, esistono situazioni in cui puoi definire delle trasformazioni delle variabili dinamiche sotto la cui azione la dinamica non è invariante (eg il caro e vecchio oscillatore armonico, in cui la dinamica non è invariante sotto traslazioni), cosa che è perfettamente analoga al caso quantistico in cui puoi definire la trasformazione (il th di Wigner impone che sia unitaria) sotto la cui azione l'Hamiltoniana non è invariante.
Il nocciolo della questione è sempre ben distinguere la trasformazione di simmetria (intesa come trasformazione delle variabili dinamiche, o degli stati fisici del sistema in QM) dalla invarianza della dinamica sotto quella trasformazione (che può esserci, ma può anche non esserci).
Wigner garantisce che una operazione di simmetria, per conservare le probabilità, deve essere implementata come un operatore unitario. Ma un conto è una simmetria che si basa sull'equivalenza delle probabilità osservate in due sistemi diversi (Wigner), mentre un altro conto è che sotto l'azione della simmetria (che Wigner garantisce essere un operatore unitario) la dinamica del sistema è invariante.
Affinché sia vero il secondo caso, entra in gioco il concetto di invarianza delle equazioni del moto e, di conseguenza, l'invarianza della Hamiltoniana sotto l'azione della trasformazione unitaria, cosa che Wigner da solo non garantisce.
Ovviamente, se dovesse esserci qualcosa che non ti torna, scrivi pure e vediamo che si può fare
Non ho molto altro da aggiungere, se non conferme a quanto hai già compreso e discusso nei posts sopra.
Tipicamente in meccanica classica quando si dice che una trasformazione è una simmetria si intende che la lagrangiana (o l'azione, o le equ del moto) è invariante sotto la trasformazione per cui si conserva la corrispondente carica di Noether (equivalentemente, in formalismo Hamiltoniano, che la parentesi di poisson della carica di noether con la H è nulla da cui discende la conservazione della quantità).
Questo fa il paio con il concetto di invarianza lato QM in perfetta analogia, al netto della piccola differenza con cui viene utilizzato il concetto di "simmetria".
La questione è che, come dicevo, in meccanica quantistica si parla di "trasformazione di simmetria" anche quando il sistema non è invariante sotto la trasformazione. Il teorema di Wigner dice che queste trasformazioni di simmetria, connettendo descrizioni equivalenti del sistema fisico, devono essere rappresentate da operatori unitari [nota]trascuriamo per un attimo la simmetria discreta di time-reversal, che è rappresentata da operatore antiunitario[/nota]: ad esempio l'operatore di traslazione deve essere implementato come un operatore unitario che agisce sullo spazio degli stati fisici, ma questo non implica che la traslazione sia una invarianza del sistema.
Mi pare quindi di capire che, a conti fatti, non ci sia una implicazione: Trasformazione di simmetria => invarianza del sistema.
Correttissimo quanto dici.
Associavo al concetto di simmetria una relativa invarianza, un po' come nella classica
come dicevo sopra, in mecc classica quando dici simmetria intendi (spesso) in realtà invarianza. Quando dici che hai simmetria rotazionale, intendi che la lagrangiana è invariante sotto rotazioni che implica conservazione del momento angolare. Nota la perfetta analogia con la QM, dove l'invarianza sotto rotazioni implica che il commutatore tra Hamiltoniana e (ogni componente del) Momento angolare è nullo.
Ma ovviamente, anche in caso classico, esistono situazioni in cui puoi definire delle trasformazioni delle variabili dinamiche sotto la cui azione la dinamica non è invariante (eg il caro e vecchio oscillatore armonico, in cui la dinamica non è invariante sotto traslazioni), cosa che è perfettamente analoga al caso quantistico in cui puoi definire la trasformazione (il th di Wigner impone che sia unitaria) sotto la cui azione l'Hamiltoniana non è invariante.
Il nocciolo della questione è sempre ben distinguere la trasformazione di simmetria (intesa come trasformazione delle variabili dinamiche, o degli stati fisici del sistema in QM) dalla invarianza della dinamica sotto quella trasformazione (che può esserci, ma può anche non esserci).
L'unica cosa che non capisco è però questo: ogni simmetria mi garantisce con wigner una conservazione della probabilità (in modo spicciolo), e quindi dato che la fisica si basa su questo pensavo mi garantisse una invarianza di ciò che "vedo". Insomma, pensavo fosse questo a garantirmi una invarianza di fatto.
Wigner garantisce che una operazione di simmetria, per conservare le probabilità, deve essere implementata come un operatore unitario. Ma un conto è una simmetria che si basa sull'equivalenza delle probabilità osservate in due sistemi diversi (Wigner), mentre un altro conto è che sotto l'azione della simmetria (che Wigner garantisce essere un operatore unitario) la dinamica del sistema è invariante.
Affinché sia vero il secondo caso, entra in gioco il concetto di invarianza delle equazioni del moto e, di conseguenza, l'invarianza della Hamiltoniana sotto l'azione della trasformazione unitaria, cosa che Wigner da solo non garantisce.
Ovviamente, se dovesse esserci qualcosa che non ti torna, scrivi pure e vediamo che si può fare
Molto chiaro, volevo solo esser sicuro di aver capito appieno, direi di si! E ti ringrazio 
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