Sulla polarizzazione dei dielettrici
Ho diversi dubbi riguardo la polarizzazione...
Abbiamo un sistema di riferimento $Oxyz$ (spero, nel seguito, di non aver fatto errori di trascrizione...).
Immergendo in un campo elettrico esterno $E$ un dielettrico, questo viene polarizzato generando in esso una densità di carica spaziale di polarizzazione $rho_p$ e una densità di carica superficiale di polarizzazione $sigma_p$ (è corretta già questa affermazione?).
Siano $r_0$ il vettore posizione di un generico punto $A$, e sia $r$ il vettore posizione di un volumetto infinitesimo del dielettrico $d \tau$. Allora il potenziale in $A$ lo scrivo come
\[V_p = \int_{\tau} \frac{\rho_p}{4\pi \epsilon_0|r-r_0|}d\tau + \int_{\Sigma} \frac{\sigma_p}{4\pi \epsilon_0|r-r_0|}d\Sigma\]
Considerando il dielettrico composto da molti $dP=Pd\tau$, ottengo
\[dV_p=\frac{dP \cdot (r_0-r)}{4\pi \epsilon_0|r-r_0|^3}\]
\[V_p= \int_{\tau}\frac{P \cdot (r_0-r)}{4\pi \epsilon_0|r-r_0|^3}d\tau\]
Considero allora questa divergenza
\[\nabla \cdot \frac{P}{|r-r_0|}=\frac{\nabla \cdot P}{|r-r_0|}-(-\frac{r-r_0}{|r-r_0|^3}\cdot P) \]
da cui ottengo
\[\frac{P \cdot (r_0-r)}{|r-r_0|^3}=-\frac{\nabla \cdot P}{|r-r_0|}+\nabla \cdot \frac{P}{|r-r_0|}\]
che, con le dovute costanti, posso sostituire nella seconda espressione del potenziale, ottenendo
\[V_p= \int_{\tau}-\frac{\nabla \cdot P}{4\pi \epsilon_0|r-r_0|}d\tau+ \int_{\tau}\nabla \cdot \frac{P}{4\pi\epsilon_0|r-r_0|}d\tau\]
Notando che \(\int_{\tau}\nabla \cdot \frac{P}{4\pi\epsilon_0|r-r_0|}d\tau\) ricorda una divergenza, posso scrivere, per il teorema della divergenza,
\[\int_{\tau}\nabla \cdot \frac{P}{4\pi\epsilon_0|r-r_0|}d\tau=\int_{\Sigma}\frac{P\cdot n}{4\pi\epsilon_0|r-r_0|}d\Sigma\]
e quindi
\[V_p=\int_{\tau}-\frac{\nabla \cdot P}{4\pi \epsilon_0|r-r_0|}d\tau+\int_{\Sigma}\frac{P\cdot n}{4\pi\epsilon_0|r-r_0|}d\Sigma\]
e, confrontando gli integrali su $tau$ e $Sigma$ ottengo che
\[P\cdot n =\sigma_p\]
\[-\nabla \cdot P=\rho_p\]
È corretto?
Grazie a tutti.
Abbiamo un sistema di riferimento $Oxyz$ (spero, nel seguito, di non aver fatto errori di trascrizione...).
Immergendo in un campo elettrico esterno $E$ un dielettrico, questo viene polarizzato generando in esso una densità di carica spaziale di polarizzazione $rho_p$ e una densità di carica superficiale di polarizzazione $sigma_p$ (è corretta già questa affermazione?).
Siano $r_0$ il vettore posizione di un generico punto $A$, e sia $r$ il vettore posizione di un volumetto infinitesimo del dielettrico $d \tau$. Allora il potenziale in $A$ lo scrivo come
\[V_p = \int_{\tau} \frac{\rho_p}{4\pi \epsilon_0|r-r_0|}d\tau + \int_{\Sigma} \frac{\sigma_p}{4\pi \epsilon_0|r-r_0|}d\Sigma\]
Considerando il dielettrico composto da molti $dP=Pd\tau$, ottengo
\[dV_p=\frac{dP \cdot (r_0-r)}{4\pi \epsilon_0|r-r_0|^3}\]
\[V_p= \int_{\tau}\frac{P \cdot (r_0-r)}{4\pi \epsilon_0|r-r_0|^3}d\tau\]
Considero allora questa divergenza
\[\nabla \cdot \frac{P}{|r-r_0|}=\frac{\nabla \cdot P}{|r-r_0|}-(-\frac{r-r_0}{|r-r_0|^3}\cdot P) \]
da cui ottengo
\[\frac{P \cdot (r_0-r)}{|r-r_0|^3}=-\frac{\nabla \cdot P}{|r-r_0|}+\nabla \cdot \frac{P}{|r-r_0|}\]
che, con le dovute costanti, posso sostituire nella seconda espressione del potenziale, ottenendo
\[V_p= \int_{\tau}-\frac{\nabla \cdot P}{4\pi \epsilon_0|r-r_0|}d\tau+ \int_{\tau}\nabla \cdot \frac{P}{4\pi\epsilon_0|r-r_0|}d\tau\]
Notando che \(\int_{\tau}\nabla \cdot \frac{P}{4\pi\epsilon_0|r-r_0|}d\tau\) ricorda una divergenza, posso scrivere, per il teorema della divergenza,
\[\int_{\tau}\nabla \cdot \frac{P}{4\pi\epsilon_0|r-r_0|}d\tau=\int_{\Sigma}\frac{P\cdot n}{4\pi\epsilon_0|r-r_0|}d\Sigma\]
e quindi
\[V_p=\int_{\tau}-\frac{\nabla \cdot P}{4\pi \epsilon_0|r-r_0|}d\tau+\int_{\Sigma}\frac{P\cdot n}{4\pi\epsilon_0|r-r_0|}d\Sigma\]
e, confrontando gli integrali su $tau$ e $Sigma$ ottengo che
\[P\cdot n =\sigma_p\]
\[-\nabla \cdot P=\rho_p\]
È corretto?
Grazie a tutti.
Risposte
Ho dato un occhio veloce, mi sembra che sia ok!
Dovresti esplicitare in qualche modo in base a quali coordinate stai operando con gli operatori $\nabla$. In questo caso stai applicandoli sui vettori $r_0$ no?
Questo non mi è chiaro... Cosa intendi con $P$? e con $dP$? Immagino tu intenda $\vec{p} = \vec{P}d\tau$
No?
Se i tuoi "diversi dubbi" sono solo questi beato te
Saluti
Dovresti esplicitare in qualche modo in base a quali coordinate stai operando con gli operatori $\nabla$. In questo caso stai applicandoli sui vettori $r_0$ no?
"giuliofis":
Considerando il dielettrico composto da molti $dP=Pd\tau$...
Questo non mi è chiaro... Cosa intendi con $P$? e con $dP$? Immagino tu intenda $\vec{p} = \vec{P}d\tau$
No?
"giuliofis":
Ho diversi dubbi riguardo la polarizzazione...
Se i tuoi "diversi dubbi" sono solo questi beato te
Saluti
"Emar":
Ho dato un occhio veloce, mi sembra che sia ok!
Dovresti esplicitare in qualche modo in base a quali coordinate stai operando con gli operatori $\nabla$. In questo caso stai applicandoli sui vettori $r_0$ no?
No, direi su $r$...
"Emar":
Questo non mi è chiaro... Cosa intendi con $P$? e con $dP$? Immagino tu intenda $\vec{p} = \vec{P}d\tau$
Mmmmh... Ora ho messo in valigia i libri e gli appunti, domani controllo! Comunque, il "senso" è quello...
"Emar":
[quote="giuliofis"]Ho diversi dubbi riguardo la polarizzazione...
Se i tuoi "diversi dubbi" sono solo questi beato te
[/quote]
Su questo argomento.
Per esempio: Meccanica Analitica c'ho rinunciato a capirla.
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