Sulla media pesata di misure
Se si ha un set di misure di una stessa grandezza fisica, è possibile definire la seguente media pesata:
[tex]\bar x = \frac{ \Sigma w_i x_i}{\Sigma w_i}[/tex]
dove solitamente i pesi sono
[tex]w_i = \frac{1}{\sigma_i^2}[/tex]
essendo $\sigma_i$ le barre d'errore associate alle singole misure.
La barra d'errore associata alla media pesata, ottenuta con le formule standard di propagazione degli errori risulta essere:
[tex]\sigma = \frac{1}{\sqrt{ \Sigma w_i}}[/tex]
La media pesata cosí ha senso solo se le misure sono compatibili tra loro, nell'ipotesi che siano gaussianamente distribuite attorno al valore vero della grandezza misurata. Dovrebbe esistere una variante che tiene conto dello scatter delle misure (dei valori medi) nel calcolo della barra d'errore finale, che in qualche modo tiene conto di un'eventuale variabilità intrinseca della grandezza misurata. Sapete indicarmi dove posso trovare una discussione in merito a questa formula? (ovviamente immagino che possano esserci varianti basate su ipotesi diverse)
[tex]\bar x = \frac{ \Sigma w_i x_i}{\Sigma w_i}[/tex]
dove solitamente i pesi sono
[tex]w_i = \frac{1}{\sigma_i^2}[/tex]
essendo $\sigma_i$ le barre d'errore associate alle singole misure.
La barra d'errore associata alla media pesata, ottenuta con le formule standard di propagazione degli errori risulta essere:
[tex]\sigma = \frac{1}{\sqrt{ \Sigma w_i}}[/tex]
La media pesata cosí ha senso solo se le misure sono compatibili tra loro, nell'ipotesi che siano gaussianamente distribuite attorno al valore vero della grandezza misurata. Dovrebbe esistere una variante che tiene conto dello scatter delle misure (dei valori medi) nel calcolo della barra d'errore finale, che in qualche modo tiene conto di un'eventuale variabilità intrinseca della grandezza misurata. Sapete indicarmi dove posso trovare una discussione in merito a questa formula? (ovviamente immagino che possano esserci varianti basate su ipotesi diverse)
Risposte
Aggiungo io stesso la risposta, visto che ne ho trovata una soddisfacente su internet.
La barra d'errore può essere corretta in base alla dispersione delle misure ottenute, sostanzialmente moltiplicando per la radice quadrata del chi quadrato:
[tex]\sigma = \bar \sigma \times \sqrt{\chi^2} = \sqrt{\frac{1}{ \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{\sigma_i^2}}} \times \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} \frac{(x_i - \bar x)^2}{\sigma_i^2}}[/tex]
Mi pare di capire che in questo modo si forza il chi quadrato ad essere 1. Non so quanto questo procedimento sia piacevole, tuttavia può quanto meno essere usato per capire se le nostre barre d'errore sono fortemente sottostimate o sovrastimate.
La barra d'errore può essere corretta in base alla dispersione delle misure ottenute, sostanzialmente moltiplicando per la radice quadrata del chi quadrato:
[tex]\sigma = \bar \sigma \times \sqrt{\chi^2} = \sqrt{\frac{1}{ \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{\sigma_i^2}}} \times \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} \frac{(x_i - \bar x)^2}{\sigma_i^2}}[/tex]
Mi pare di capire che in questo modo si forza il chi quadrato ad essere 1. Non so quanto questo procedimento sia piacevole, tuttavia può quanto meno essere usato per capire se le nostre barre d'errore sono fortemente sottostimate o sovrastimate.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo