Sulla diffusione di Rayleigh

[Gost91]

Salve a tutti, sto studiando le nozioni basilari di optoelettronica e mi trovo in difficoltà sull'argomento iniziale riguardante la legge di Raylegh.
Purtroppo le lezioni del corso sono state tenute "alla meno peggio" con dei lucidi molto approssimativi, di cui nessuno di noi seguenti è in possesso.
Non ci è stata data neanche un bibliografia per andare a ricercare gli argomenti trattati. In sostanza mi ritrovo ad affrontare una materia nuova senza alcun riferimento da seguire e con degli appunti pessimi.
Mi scuso quindi in anticipo per gli sfondoni che quasi sicuramente scriverò.

Dunque, vengo al punto. Ho provato a risistemare gli appunti, però come risultato trovo un paio di contraddizioni da risolvere. Provo a esporre quanto ho capito fin ora.


Legge di Rayleigh

Quando un'onda elettromagnetica incide su di un corpo questa subisce una attenuazione che obbedisce alla legge di Lambert-Beer-Bouguer
\[I(x)=I_0 \exp(-\alpha x)\]
dove

[*:15rh9aeb]\(I(x)\) indica l'intensità dell'onda (in radiometria misurata in \(\text{W} \text{sr}^{-1}\)) ad una data distanza \(x\) dall'interfaccia tra il mezzo di propagazione e il corpo;[/*:m:15rh9aeb]
[*:15rh9aeb]\(I_0\) è l'intensità dell'onda all'interfaccia;[/*:m:15rh9aeb]
[*:15rh9aeb]\(\alpha\) è il coefficiente di attenuazione associato al corpo investito dall'onda.[/*:m:15rh9aeb][/list:u:15rh9aeb]
il coefficiente di attenuazione è dato da
\[\alpha=\alpha_A+\alpha_D\]
dove


[*:15rh9aeb]\(\alpha_A\) è il coefficiente di assorbimento, proporzionale a \(\nu^2\) (con \(\nu\) frequenza dell'onda incidente), che tiene conto della porzione di in energia elettromagnetica dell'onda convertita in calore;[/*:m:15rh9aeb]
[*:15rh9aeb]\(\alpha_D\) è il coefficiente di diffusione (o di scattering), proporzionale a \(\nu^4\).[/*:m:15rh9aeb][/list:u:15rh9aeb]
la dipendenza di \(\alpha_D\) dalla potenza quarta della frequenza dell'onda è la legge di diffusione di Rayleigh.


Diffusione

Detta \(\lambda\) la lunghezza dell'onda incidente e \(D\) il diametro delle particelle che costituiscono il corpo investito dalla radiazione si ha che


[*:15rh9aeb]se \(\lambda \ll D\) allora il fenomeno dominante è l'assorbimento (e riflessione) dell'onda;[/*:m:15rh9aeb]
[*:15rh9aeb]se \(\lambda \approx D\) allora il fenomeno dominante è la diffusione dell'onda;[/*:m:15rh9aeb]
[*:15rh9aeb]se \(\lambda \gg D\) allora il corpo risulta trasparente all'onda.[/*:m:15rh9aeb][/list:u:15rh9aeb]

[fcd="figura 1"][FIDOCAD]
FJC B 0.5
LI 63 45 65 45 0
LI 95 85 95 87 0
LI 153 85 153 87 0
TY 59 42 4 3 0 0 0 Verdana 1
TY 91 88 4 3 0 0 0 Verdana 10
TY 150 88 4 3 0 0 0 Verdana 10
TY 97 86 2 2 0 0 0 Verdana -4
TY 156 86 2 2 0 0 0 Verdana -1
TY 177 87 4 3 0 0 0 Verdana D/λ=Dν/c
TY 44 18 4 3 0 0 0 Verdana α/αmax
TY 191 32 4 3 0 0 0 Verdana ν
RP 153 30 183 85 12
RP 65 30 95 85 12
RP 95 30 153 85 13
LI 55 35 190 35 14
FCJ 2 0 3 1 0 0
LI 54 30 189 30 14
FCJ 1 0 3 1 0 0
TY 50 26 4 3 0 0 14 Verdana λ
LI 153 45 175 45 15
TY 71 67 2 2 45 2 15 Verdana trasparenza
LI 65 95 65 25 15
FCJ 2 0 3 1 0 0
LI 55 85 190 85 15
FCJ 2 0 3 1 0 0
BE 153 45 110 49 136 82 95 85 15
TY 77 36 4 3 0 2 15 Verdana LF
TY 112 64 2 2 45 2 15 Verdana diffusione
TY 110 37 2 2 0 2 15 Verdana zona di Rayleigh
TY 158 66 2 2 45 2 15 Verdana assorbimento
TY 165 36 4 3 0 2 15 Verdana HF[/fcd]

Qua c'è la prima contraddizione, in quanto in base a quanto detto riguardo il coefficiente di attenuazione si ha che in alta frequenza conta la diffusione mentre in bassa frequenza conta l'assorbimento.
Il problema si risolverebbe se fosse vero che il coefficiente di assorbimento dipende dalla frequenza secondo una potenza di esponente maggiore di quattro.


Banda ottica di un fotorivelatore

L'energia radiante associata ad un'onda elettromagnetica, misurata in \(\text{J}\), costituita da \(N\) "fasci" [è il termine giusto?] di fotoni di frequenza distinta , è data da
\[Q= h \sum_{i=1}^N n_i \nu_i \]
dove


[*:15rh9aeb]\(h\) è la costante di Plank;[/*:m:15rh9aeb]
[*:15rh9aeb]\(n_i\) è il numero di fotoni che costituisco il fascio luminoso di frequenza \(\nu_i\).[/*:m:15rh9aeb][/list:u:15rh9aeb]

in particolare, quando l'onda è costituita da un unico fotone la precedente relazione si riduce alla seguente
\[Q=h\nu\]
Conseguentemente il flusso (o potenza) radiante dell'onda, in \(\text{W}\), è dato da
\[\Phi=\frac{\text{d}Q}{\text{d}t}\]

Quando un fotorivelatore (connesso opportunamente in un circuito elettrico) è investito da una radiazione questo può rispondere generando una corrente elettrica continua. L'intensità \(I_\text{out}\) di tale corrente, in \(\text{A}\), quando il fotorivelatore è investito da un'onda monocromatica, è descritta dall'equazione base dei fotoconduttori
\[\tag{1} I_\text{out}=q \eta P_\lambda \frac{\mu V }{h c L^2} \lambda\]
dove


[*:15rh9aeb]\(q\) è la carica dell'elettrone;[/*:m:15rh9aeb]
[*:15rh9aeb]\(\eta\) tiene conto del rendimento del fotorivelatore [è l'efficienza quantica?], nel senso che quantifica il fatto che solo una parte dei fotoni assorbiti generano carica elettrica (i restanti vengono trasformati in calore);[/*:m:15rh9aeb]
[*:15rh9aeb]\(P_\lambda=\Phi|_{\nu=c/\lambda}\) è la potenza dell'onda monocromatica;[/*:m:15rh9aeb]
[*:15rh9aeb]\(\mu\) è la mobilità degli elettroni;[/*:m:15rh9aeb]
[*:15rh9aeb]\(V\) è la tensione a cui è sottoposto il fotorivelatore;[/*:m:15rh9aeb]
[*:15rh9aeb]\(c\) è la velocità della luce;[/*:m:15rh9aeb]
[*:15rh9aeb]\(L=\mu E t_r\) è una lunghezza legata al campo elettrico \(E\) interno al fotorivelatore e il tempo di attraversamento \(t_r\) [cosa indica il pedice?] impiegato dai portatori di carica per attraversare il fotorivelatore.[/*:m:15rh9aeb][/list:u:15rh9aeb]

La \((1)\) è valida fintanto che la potenza ottica incidente è sufficiente per generare portatori di carica liberi nel fotorivelatore. Più precisamente, detta \(E_G\) l'energy gap associata al materiale costituente il fotorivelatore, l'equazione \((1)\) è valida se risulta verificata la condizione
\[h\nu \geq E_G\]
da cui si deduce che il fotorivelatore è in grado di risolvere radiazioni di lunghezza d'onda
\[\tag{2} \lambda \leq \frac{h c}{E_G}\]

Si conclude quindi che la caratteristica corrente/lunghezza d'onda di un fotorivelatore, che descrive la sua banda ottica, è la seguente

[fcd="Figura 2"][FIDOCAD]
FJC B 0.5
LI 95 85 95 87 0
LI 153 85 153 87 0
TY 93 87 4 3 0 0 0 Verdana λ
TY 190 87 4 3 0 0 0 Verdana λ
TY 55 21 4 3 0 0 0 Verdana I
LI 153 45 95 85 0
TY 57 24 2 2 0 0 0 Verdana out
TY 96 90 2 2 0 0 0 Verdana min
TY 151 87 4 3 0 0 0 Verdana λ
TY 154 90 2 2 0 0 0 Verdana max
LI 153 45 153 85 15
LI 55 85 190 85 15
FCJ 2 0 3 1 0 0
LI 65 95 65 25 15
FCJ 2 0 3 1 0 0[/fcd]

L'andamento lineare è dovuto dalla \((1)\), la soglia superiore dalla \((2)\) mentre la soglia inferiore dalla legge di Rayleigh.

Ancora il discorso non torna. Secondo il ragionamento riguardante la diffusione arrivo a concludere nuovamente che (in accordo alla \((2)\)) esiste una soglia superiore, dovuta ancora al fatto che al di sopra di una certa \(\lambda_\text{max}\) un qualsiasi fotorivelatore non riesce ad assorbire potenza dalla radiazione incidente.
Niente giustifica l'esistenza di una soglia inferiore \(\lambda_\text{min}\).

Probabilmente mi sto perdendo in un bicchier d'acqua.

[Fail0]

QUOTONE quelle 3 lezioni sono incomprensibili