Sulla definizione di direzione spaziale in Relativita'
ciao a tutti,
ho un dubbio di base su alcun aspetti della Relativita'.
Sappiamo che un giroscopio libero (cioe' non soggetto ad alcuna forza esterna) mantiene il suo asse di rotazione fisso in una direzione dello spazio.
Consideriamo ora un evento A ed un insieme di giroscopi che passano per A tutti con differente velocita' relativa ma con il proprio asse orientato nella stessa comune direzione nello spazio.
Tale 'classe di equivalenza di giroscopi' di fatto definisce una direzione spaziale.
Dal punto di vista dello spaziotempo l'asse di ciascuno di essi e' rappresentato da una linea retta che 'congiunge' tutti gli eventi simultanei nel particolare sistema di riferimento inerziale in cui il particolare giroscopio e' in quiete. In tale sistema di riferimento ad ogni tempo $t$ l'asse del giroscopio in quiete e' rappresentato da una diversa retta parallela.
Ora quindi, a ciascun asse del set di giroscopi passanti per A, corrisponde nello spaziotempo un 'worldtube' ovvero ad un fissato $t$ in uno dei sistemi di riferimento inerziali ad ognuno di essi corrisponde una diversa direzione di tipo spazio (spacelike).
Vi torna ? grazie.
ho un dubbio di base su alcun aspetti della Relativita'.
Sappiamo che un giroscopio libero (cioe' non soggetto ad alcuna forza esterna) mantiene il suo asse di rotazione fisso in una direzione dello spazio.
Consideriamo ora un evento A ed un insieme di giroscopi che passano per A tutti con differente velocita' relativa ma con il proprio asse orientato nella stessa comune direzione nello spazio.
Tale 'classe di equivalenza di giroscopi' di fatto definisce una direzione spaziale.
Dal punto di vista dello spaziotempo l'asse di ciascuno di essi e' rappresentato da una linea retta che 'congiunge' tutti gli eventi simultanei nel particolare sistema di riferimento inerziale in cui il particolare giroscopio e' in quiete. In tale sistema di riferimento ad ogni tempo $t$ l'asse del giroscopio in quiete e' rappresentato da una diversa retta parallela.
Ora quindi, a ciascun asse del set di giroscopi passanti per A, corrisponde nello spaziotempo un 'worldtube' ovvero ad un fissato $t$ in uno dei sistemi di riferimento inerziali ad ognuno di essi corrisponde una diversa direzione di tipo spazio (spacelike).
Vi torna ? grazie.
Risposte
Ho visto che ti hanno già ben risposto su PF.
Ma comunque vorrei precisare qualcosa, scusami se te l’hanno già detto.
Qui stai parlando di spazio euclideo, per intenderci lo spazio 3d che fa da scenario alla meccanica newtoniana.
Qui c’è già qualcosa di più , parli di “evento” A , quindi oltre alla posizione spaziale stai considerando anche il tempo; e c’é gia l’idea dello spaziotempo piatto della RR, che puoi rappresentare sul piano di Minkowski, perché parli di velocità relativa, riducendo la dimensioni spaziali ad una sola.
Riferito a chi, questo piano di Minkowski ? Evidentemente ad un OI , che consideri in quiete, e per esempio può avere come asse $x$ l’asse di uno dei giroscopi che , rotazione a parte, è considerabile in quiete rispetto ad OI. Il tempo $t$ è quello segnato dall’orologio di OI .
Detto ciò, un giroscopio che passa con una certa velocità relativa per l’origine delle coordinate di $O(x,t)$ avrà coordinate spaziotemporali $(x’, t’ ) $ che ben sai scrivere mediante le TL . Gli assi $(x’,t’) $ li puoi rappresentare sul piano di Minkowski di OI . L’asse $x’$ non coincide, sul piano di Minkowski, con l’asse $x$ : stiamo parlando di RR , lo ST è quadridimensionale ( ma ridotto a due sole dimensioni sul piano di M.) e la geometria non è euclidea ma iperbolica.
Tien presente che l’asse $x’$ è retta di contemporaneità per l oss. in. $(x’,t’)$ , non è semplicemente l’asse di rotazione del giroscopio. Quindi secondo me gli assi spaziali dei giroscopi possono ben avere tutti la stessa direzione ( nello spazio euclideo 3d ) , ma differenti assi di contemporaneità $x’ , x’’ , ....$ in base alla velocità relativa.
Ma comunque vorrei precisare qualcosa, scusami se te l’hanno già detto.
Sappiamo che un giroscopio libero (cioe' non soggetto ad alcuna forza esterna) mantiene il suo asse di rotazione fisso in una direzione dello spazio.
Qui stai parlando di spazio euclideo, per intenderci lo spazio 3d che fa da scenario alla meccanica newtoniana.
Consideriamo ora un evento A ed un insieme di giroscopi che passano per A tutti con differente velocita' relativa ma con il proprio asse orientato nella stessa comune direzione nello spazio.
Qui c’è già qualcosa di più , parli di “evento” A , quindi oltre alla posizione spaziale stai considerando anche il tempo; e c’é gia l’idea dello spaziotempo piatto della RR, che puoi rappresentare sul piano di Minkowski, perché parli di velocità relativa, riducendo la dimensioni spaziali ad una sola.
Riferito a chi, questo piano di Minkowski ? Evidentemente ad un OI , che consideri in quiete, e per esempio può avere come asse $x$ l’asse di uno dei giroscopi che , rotazione a parte, è considerabile in quiete rispetto ad OI. Il tempo $t$ è quello segnato dall’orologio di OI .
Detto ciò, un giroscopio che passa con una certa velocità relativa per l’origine delle coordinate di $O(x,t)$ avrà coordinate spaziotemporali $(x’, t’ ) $ che ben sai scrivere mediante le TL . Gli assi $(x’,t’) $ li puoi rappresentare sul piano di Minkowski di OI . L’asse $x’$ non coincide, sul piano di Minkowski, con l’asse $x$ : stiamo parlando di RR , lo ST è quadridimensionale ( ma ridotto a due sole dimensioni sul piano di M.) e la geometria non è euclidea ma iperbolica.
Tien presente che l’asse $x’$ è retta di contemporaneità per l oss. in. $(x’,t’)$ , non è semplicemente l’asse di rotazione del giroscopio. Quindi secondo me gli assi spaziali dei giroscopi possono ben avere tutti la stessa direzione ( nello spazio euclideo 3d ) , ma differenti assi di contemporaneità $x’ , x’’ , ....$ in base alla velocità relativa.
"Shackle":
Quindi secondo me gli assi spaziali dei giroscopi possono ben avere tutti la stessa direzione ( nello spazio euclideo 3d ) , ma differenti assi di contemporaneità $x’ , x’’ , ....$ in base alla velocità relativa.
Si corretto. In pratica basta intersecare la striscia di congruenza che rappresenta i punti sull'asse di ciascun giroscopio con i piani di simultaineta' di ciascun osservatore inerziale.
La mia difficoltà e' capire come l'asse di un giroscopio sia in grado di definire un 4-vettore nello spaziotempo.
La mia difficoltà e' capire come l'asse di un giroscopio sia in grado di definire un 4-vettore nello spaziotempo.
La linea di universo descritta dal giroscopio nello ST piatto della RR è una geodetica di tipo tempo, giusto? Ed essendo lo spazio piatto, la geodetica è una retta. Il 4-vettore velocità è per definizione tangente alla linea di universo , e la norma è c , come vedi facilmente da :
$barU = \gamma (c, vecv) \rarr barU*barU = .....= c^2$
cose che sai benissimo !
Ma l'asse di un giroscopio potrà al massimo essere diretto come il vettore $vecv$. Se aggiungi il tempo, formi la 4-velocità $barU$ detta sopra . Forse questo vuol dire ? La 4-velocità può essere definita per qualsiasi punto materiale in moto a velocità relativistica rispetto a un dato OI, quindi non capisco.
Come da ultima risposta su PF, ritengo che in effetti una fissata direzione spaziale (ovvero la direzione dell'asse del giroscopio) individua nello spaziotempo un 2-piano (un piano nello spaziotempo 4D).
La 4-velocita' del giroscopio individua un 4-vettore di tipo tempo (timelike) in quel 2-piano.
Tutti i 4-vettori di tipo spazio (spacelike) in quel 2-piano individuano il set di eventi che in pratica rappresenta nello spaziotempo la fissata direzione spaziale.
Torna ?
La 4-velocita' del giroscopio individua un 4-vettore di tipo tempo (timelike) in quel 2-piano.
Tutti i 4-vettori di tipo spazio (spacelike) in quel 2-piano individuano il set di eventi che in pratica rappresenta nello spaziotempo la fissata direzione spaziale.
Torna ?
Ho visto che hai continuato di là, e sono d’accordo sulle ultime spiegazioni. Ma quelli fanno anche qualche confusione, a volte. C’é un delle precedenti risposte di PD che mi pare sia “misleading” [nota]a meno che io non abbia capito male, ma ho smesso da tempo di chiedere su PF[/nota], proprio a proposito del fatto che un asse spaziale come quello del giroscopio non può individuare da solo un Piano nello ST piatto della RR , perché non individua una 4-velocità se non metti in gioco anche la componente temporale. Cioe ci vuole un altro asse che è quello temporale , allora sí che nelle 4 dimensioni ST hai un piano $(x,t)$.
"Shackle":
C’é un delle precedenti risposte di PD che mi pare sia “misleading”, proprio a proposito del fatto che un asse spaziale come quello del giroscopio non può individuare da solo un Piano nello ST piatto della RR
Al contrario: io ho capito che l'asse spaziale del giroscopio 'seleziona' un piano nello spaziotempo.
In quel piano il subset degli eventi 'spacelike separated' dall'evento A rappresenta di fatto l'asse spaziale del giroscopio.
[...]
Al contrario: io ho capito che l'asse spaziale del giroscopio 'seleziona' un piano nello spaziotempo.
In quel piano il subset degli eventi 'spacelike separated' dall'evento A rappresenta di fatto l'asse spaziale del giroscopio.
Scusami, ma per "asse spaziale" del giroscopio stiamo indicando la stessa cosa ? Cioè l’asse di rotazione, per essere più chiari ?
Il disegno che hai messo in #17 è giusto, l’asse di rotazione è la freccia blu , se il giroscopio è "fermo” nel riferimento $(x.t)$. Guardati bene l’ultimo post #35 di PD , in particolare questo pezzo :
Strictly speaking, the arrows in the blue region represent the class of axes of such gyroscopes. The gyroscopes themselves have a 4-velocity as well as an axis so the axis itself does not completely represent the gyroscope.
Nel riferimento in cui il giroscopio (rotante) è in quiete, cioe non trasla, la 4-velocità è ortogonale all’asse $x$ perché giace sull’asse $t$ , come hai rappresentato in #30 . Ha solo la componente temporale, quindi quello che dice è giusto.
PS : forse per rispetto degli altri lettori dovresti mettere almeno il primo diagramma, altrimenti nessuno ci capisce.
"Shackle":
Scusami, ma per "asse spaziale" del giroscopio stiamo indicando la stessa cosa ? Cioè l’asse di rotazione, per essere più chiari ?
Il disegno che hai messo in #17 è giusto, l’asse di rotazione è la freccia blu , se il giroscopio è "fermo” nel riferimento $(x.t)$.
Nel riferimento in cui il giroscopio (rotante) è in quiete, cioe non trasla, la 4-velocità è ortogonale all’asse $x$ perché giace sull’asse $t$ , come hai rappresentato in #30 . Ha solo la componente temporale, quindi quello che dice è giusto.
PS : forse per rispetto degli altri lettori dovresti mettere almeno il primo diagramma, altrimenti nessuno ci capisce.
Si, ecco il diagramma a cui mi riferivo
Si, per asse del giroscopio intendo proprio il suo asse di rotazione.
Forse non riesco a rappresentare il mio dubbio: lasciatemi usare allora termini non formali.
In un riferimento il cui il giroscopio e' in quiete di fatto esso si sposta nella direzione del tempo infatti il vettore tangente alla sua worldline in ciascun punto e' proprio la 4-velocità.
Cosa dire della direzione spaziale puntata dall'asse del giroscopio in certo evento A ? Ecco, secondo me gli eventi spazialmente allineati sull'asse del giroscopio simultanei nel riferimento di quiete del giroscopio sono proprio quelli a definire il 4-vettore indicato con $x$ nel diagramma.
E' questo secondo me il nocciolo della questione....
Esattamente, il vettore rosso è la 4-velocità del giroscopio che assumi fermo in A, il cui asse spaziale di conseguenza è parallelo all’asse $x$.
Ora metti sul diagramma una coppia di assi $(x’, t’)$ relativa a un giroscopio in moto con velocità $vecv$ rispetto al precedente : sai bene come fare. La 4-velocità, essendo lo spazio piatto per ipotesi (siamo in RR e il moto non è accelerato), giace sull’asse $t’$ , che è ortogonale, nel senso di Minkowski, all’asse $x’$ , retta di contemporaneità nel riferimento con apice.
Per chiarezza, l’asse di rotazione del giroscopio in moto è parallelo a quello di A. La norma della 4-velocità è invariante.
Ora metti sul diagramma una coppia di assi $(x’, t’)$ relativa a un giroscopio in moto con velocità $vecv$ rispetto al precedente : sai bene come fare. La 4-velocità, essendo lo spazio piatto per ipotesi (siamo in RR e il moto non è accelerato), giace sull’asse $t’$ , che è ortogonale, nel senso di Minkowski, all’asse $x’$ , retta di contemporaneità nel riferimento con apice.
Per chiarezza, l’asse di rotazione del giroscopio in moto è parallelo a quello di A. La norma della 4-velocità è invariante.
"Shackle":
Per chiarezza, l’asse di rotazione del giroscopio in moto è parallelo a quello di A. La norma della 4-velocità è invariante.
Cosa intendi esattamente? L'asse di rotazione spaziale del giroscopio in moto parallelo rispetto a quello che e' in quiete nel riferimento "fisso" $x,t$ ?
Tutto ovviamente in senso stretto riferito all'evento A in quanto tecnicamente il diagramma nel post precedente si applica allo spazio tangente nell'evento A.
In ogni caso il discorso 'informale' che facevo nel post precedente per spiegare perche' ad un asse spaziale nello spazio 3D corrisponde un asse nello spaziotempo 4D e' corretto ? Grazie.
. Cosa intendi esattamente? L'asse di rotazione spaziale del giroscopio in moto parallelo rispetto a quello che e' in quiete nel riferimento "fisso" x,t ?.
Si proprio così.
L’evento A è assunto come origine del diagramma di Minkowski del giroscopio in quiete; sul diagramma ogni altro giroscopio in moto con velocità $vecv$ ha assi $(x’, t’)$ , che formano angoli $arctgv$ coi precedenti, come sai.
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