Sulla definizione della velocità areolare
Salve, ho dei dubbi sul concetto di velocità areolare, in quanto sul mio libro non ho una definizione precisa.
Supponiamo di avere un punto materiale (es. un pianeta) che si muove lungo una certa curva e consideriamo il vettore posizione che identifica tale punto rispetto all'origine di un sistema di riferimento posto, nel caso del sistema solare, nel sole.
Se il punto si muove, si avra $vec r=vec r(t)$, cioè questo vettore posizione sarà funzione del tempo. Calcoliamo ora questa funzione in $t_0$ e in un generico istante $t$; l'area compresa tra questi due vettori in generale non è calcolabile con metodi elementari ed è una funzione di $t$, cioè $A=A(t)$. A questo punto, come ogni funzione, posso calcolare la derivata di questa funzione in un certo istante di tempo, ottenendo così una quantità detta velocità areolare istantanea oppure posso calcolare la variazione $DeltaA$ che tale funzione di $t$ subisce a seguito dell'incremento di $t$ da $t_0$ a $t_0+h$. Tale $Delta A$ relativo a $t_0$ può essere poi approssimato dalla quantità $A'(t_0)*dt$, cioè dal suo differenziale, con $dt=h$, e $h$ naturalmente non molto grande. Ora la mia domanda è: perchè il differenziale di $A(t)$ è $1/2r*Deltas*sin(a)$?
Quello che non mi torna è questo: il differenziale di una funzione lo posso calcolare se conosco l'espressione analitica della funzione. In questo caso, però, il differenziale è stato calcolato direttamente per via geometrica, senza avere alcuna funzione a disposizione. Chi mi dice che la quantità $1/2r*Deltas*sin(a)$ dedotta per via geometrica sia effettivamente il differenziale di $A(t)$?
Grazie mille.
Supponiamo di avere un punto materiale (es. un pianeta) che si muove lungo una certa curva e consideriamo il vettore posizione che identifica tale punto rispetto all'origine di un sistema di riferimento posto, nel caso del sistema solare, nel sole.
Se il punto si muove, si avra $vec r=vec r(t)$, cioè questo vettore posizione sarà funzione del tempo. Calcoliamo ora questa funzione in $t_0$ e in un generico istante $t$; l'area compresa tra questi due vettori in generale non è calcolabile con metodi elementari ed è una funzione di $t$, cioè $A=A(t)$. A questo punto, come ogni funzione, posso calcolare la derivata di questa funzione in un certo istante di tempo, ottenendo così una quantità detta velocità areolare istantanea oppure posso calcolare la variazione $DeltaA$ che tale funzione di $t$ subisce a seguito dell'incremento di $t$ da $t_0$ a $t_0+h$. Tale $Delta A$ relativo a $t_0$ può essere poi approssimato dalla quantità $A'(t_0)*dt$, cioè dal suo differenziale, con $dt=h$, e $h$ naturalmente non molto grande. Ora la mia domanda è: perchè il differenziale di $A(t)$ è $1/2r*Deltas*sin(a)$?
Quello che non mi torna è questo: il differenziale di una funzione lo posso calcolare se conosco l'espressione analitica della funzione. In questo caso, però, il differenziale è stato calcolato direttamente per via geometrica, senza avere alcuna funzione a disposizione. Chi mi dice che la quantità $1/2r*Deltas*sin(a)$ dedotta per via geometrica sia effettivamente il differenziale di $A(t)$?
Grazie mille.
Risposte
La tua notazione non è affatto chiara. L'area spazzata tra gli angoli $\theta_1$ e $\theta_2$ è $ A = \int _{\theta_1} ^{\theta_2} (\int _{0} ^{\r(\theta)} r dr) d \theta = \int _{\theta_1} ^{\theta_2} \frac{r^2(\theta)}{2} d \theta $ .
Quindi se $A$ è l'area spazzata da un certo $\theta_0 $ fino a $\theta$ si ha $ \frac{dA}{dt} = \frac{dA}{d \theta} \frac{d \theta}{dt} = \frac{r^2 \dot{\theta} }{2}$
Quindi se $A$ è l'area spazzata da un certo $\theta_0 $ fino a $\theta$ si ha $ \frac{dA}{dt} = \frac{dA}{d \theta} \frac{d \theta}{dt} = \frac{r^2 \dot{\theta} }{2}$
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