Sul concetto di simmetria

[yessa1]

Studiando, o meglio seguendo le lezioni di meccanica analitica, mi è sorto un dubbio. Dico seguendo le lezioni perché il processo di studio è un po' più lento essendo io ottuso .

C'è tuttavia una cosa che mi sfugge un poco: ho abbastanza chiaro che data una simmetria per Noether avremo una quantità conservata. Però non ho ben compreso se al contrario ogni quantità conservata abbia a monte una simmetria: possiamo dire se sussista un se e solo se.

Sicuramente non per la meccanica lagrangiana, direi, perché ad esempio so che flussi di trasformazioni sul fibrato cotangente (ossia nel caso della meccanica hamiltoniana, correggetemi se sbaglio ) che generano simmetrie non sono simmetrie sul caso lagrangiano (spazio tangente), mentre il viceversa è sempre vero.

Però, se non tutte le quantità conservate (integrali primi) corrispondono a simmetrie nella meccanica lagrangiana, almeno nella meccanica hamiltoniana questo è vero? O è vero in casi ancora più generali (se esistono casi ancora più generici della teoria hamiltoniana?)

Sono un po' confuso, spero qualcuno abbia voglia di aiutarmi


In ogni caso grazie mille.

[tottomagoog]

Una simmetria genera una quantità conservata, ma il contrario non è vero almeno intendendola come simmetria geometrica. In realtà esiste una generalizzazione del concetto di simmetria, che ricade nella teoria dei campi o dell'elettrodinamica quantistica, che rende vero anche il contrario. Ma ai fini della meccanica classica una quantità conservata potrebbe non essere legata necessariamente ad una simmetria. L'esempio che hai citato tu dello spazio tangente è legato al più semplice concetto che attraverso la composizione di più parentesi di Poisson puoi trovare altre quantità conservate ma queste non necessariamente sono indipendenti le une dalle altre, cioè non è detto siano riferite a singole simmetrie.

[yessa1]

Grazie mille!