Sufficienza delle Equazioni Cardinali Per Corpo Rigido
Dunque, è vero che dalle leggi di Newton per un sistema di punti materiali (ragioniamo così ma si potrebbe estendere il ragionamento a corpi continui, sostituendo le sommatorie con integrali...) risulta:
(purtroppo non riesco a fare i vettori per bene, $F$ sono le forze, $a$ le accelerazioni, $dP$ gli spostamenti tutte grandezze vettoriali...)
$\forall i \qquad \mathbf{F_i}-m_i \mathbf{a_i}=0$
quindi $=> (\mathbf{F_i}-m_i \mathbf{a_i})\cdot \mathbf{dP_i}=0$
$=>\sum_i (\mathbf{F_i}-m_i \mathbf{a_i})\cdot \mathbf{dP_i}=0$
a questo punto utilizzando l'ipotesi di corpo rigido $dP_i=(v(O)+\omega\wedge(P_i-O))\cdot dt$ per un qualsiasi O del corpo rigido.
Insomma a questo punto svolgendo i conti si arriva alle equazioni cardinali, si vede dunque che sono equivalenti alla formula sopra con la sommatoria derivata dalle leggi di Newton per i singoli punti.
Ma come posso dire che sono equivalenti alle singole $F_i-m_i a_i=0$? Cioè perchè è questo che voglio dire, perchè siano sufficienti per il moto? O basta così? Perchè?
Ciao! grazie
(purtroppo non riesco a fare i vettori per bene, $F$ sono le forze, $a$ le accelerazioni, $dP$ gli spostamenti tutte grandezze vettoriali...)
$\forall i \qquad \mathbf{F_i}-m_i \mathbf{a_i}=0$
quindi $=> (\mathbf{F_i}-m_i \mathbf{a_i})\cdot \mathbf{dP_i}=0$
$=>\sum_i (\mathbf{F_i}-m_i \mathbf{a_i})\cdot \mathbf{dP_i}=0$
a questo punto utilizzando l'ipotesi di corpo rigido $dP_i=(v(O)+\omega\wedge(P_i-O))\cdot dt$ per un qualsiasi O del corpo rigido.
Insomma a questo punto svolgendo i conti si arriva alle equazioni cardinali, si vede dunque che sono equivalenti alla formula sopra con la sommatoria derivata dalle leggi di Newton per i singoli punti.
Ma come posso dire che sono equivalenti alle singole $F_i-m_i a_i=0$? Cioè perchè è questo che voglio dire, perchè siano sufficienti per il moto? O basta così? Perchè?
Ciao! grazie
Risposte
Cioè, per essere più espliciti si vede che
Equazioni Cardinali $<=> \sum_i (\mathbf{F_i}-m_i \mathbf{a_i})\cdot \mathbf{dP_i}=0$
ma $\sum_i (\mathbf{F_i}-m_i \mathbf{a_i})\cdot \mathbf{dP_i}=0$ basta per dire $\forall i \qquad \mathbf{F_i}-m_i \mathbf{a_i}=0$?
Perchè mi sembra sia quello che si afferma quando si dice che sono sufficienti... o no?
Equazioni Cardinali $<=> \sum_i (\mathbf{F_i}-m_i \mathbf{a_i})\cdot \mathbf{dP_i}=0$
ma $\sum_i (\mathbf{F_i}-m_i \mathbf{a_i})\cdot \mathbf{dP_i}=0$ basta per dire $\forall i \qquad \mathbf{F_i}-m_i \mathbf{a_i}=0$?
Perchè mi sembra sia quello che si afferma quando si dice che sono sufficienti... o no?
up!
Non mi è molto chiara la tua richiesta e cerco di intuire.
Mi sembra che tu chieda se sono equivalenti
le equazioni della dinamica (equazioni di Newton) $F_i=m_i a_i$
e il principio dei lavori virtuali $\sum (F_i-m_i a_i)*dP_i=0$.
In tal caso la risposta è positiva e non richiede nemmeno che il campo di spostamenti sia rigido.
Mi sembra che tu chieda se sono equivalenti
le equazioni della dinamica (equazioni di Newton) $F_i=m_i a_i$
e il principio dei lavori virtuali $\sum (F_i-m_i a_i)*dP_i=0$.
In tal caso la risposta è positiva e non richiede nemmeno che il campo di spostamenti sia rigido.
esatto! hai espresso in termini tecnici la mia domanda.
dove posso trovare una spiegazione?
dove posso trovare una spiegazione?
La spiegazione è riportata nei testi di meccanica analitica o razionale. Tuttavia, in modo ragionevolmente rigoroso (spero), provo a tracciartela.
Il principio dei lavori virtuali per il caso specifico (grossomodo) dice: per un sistema di punti materiali dato un generico spostamento virtuale (nel caso in esame è infinitesimo ma sostanzialmente è lo stesso) la somma:
$\sum (F_i-m_i a_i)*dP_i$
è sempre identicamente nulla.
Assumiamolo come valido. Siccome tale uguaglianza deve essere soddisfatta per ogni spostamento virtuale $dP_i$, l'unica possibilità è che i coefficienti della combinazione lineare siano tutti identicamente e costantemente nulli, per cui $F_i-m_i a_i=0$. Pertanto, il PLV implica Newton.
L'implicazione inversa è ovvia.
A parte questa 'dimostrazione' che può sembrare un giochetto logico, dalle due formulazioni discendono due filoni di metodi diversi (differenziali e variazionali) entrambi utili per affrontare i problemi di meccanica. In certi casi uno dei due si rivela più adatto dell'altro per risolvere problemi specifici o interpretare particolari fenomeni.
Spero di esserti stato utile.
Il principio dei lavori virtuali per il caso specifico (grossomodo) dice: per un sistema di punti materiali dato un generico spostamento virtuale (nel caso in esame è infinitesimo ma sostanzialmente è lo stesso) la somma:
$\sum (F_i-m_i a_i)*dP_i$
è sempre identicamente nulla.
Assumiamolo come valido. Siccome tale uguaglianza deve essere soddisfatta per ogni spostamento virtuale $dP_i$, l'unica possibilità è che i coefficienti della combinazione lineare siano tutti identicamente e costantemente nulli, per cui $F_i-m_i a_i=0$. Pertanto, il PLV implica Newton.
L'implicazione inversa è ovvia.
A parte questa 'dimostrazione' che può sembrare un giochetto logico, dalle due formulazioni discendono due filoni di metodi diversi (differenziali e variazionali) entrambi utili per affrontare i problemi di meccanica. In certi casi uno dei due si rivela più adatto dell'altro per risolvere problemi specifici o interpretare particolari fenomeni.
Spero di esserti stato utile.
Mi permetto di aggiungere una informazione che può risultare utile (salvo essere smentito da chi ne sa più di me... 
)
Il principio dei lavori virtuali, ovvero $\sum (\vecF_i-m_i \veca_i)*\vec(dP)_i$, risulta particolarmente vantaggioso in caso di moto del sistema in presenza di vincoli lisci. In tal caso infatti poiché le reazioni vincolari non producono lavoro (essendo sempre ortogonali allo spostamento), l'espressione risulta valida anche considerando le sole forze attive. Un vantaggio non da poco, se si considera il fatto che le reazioni vincolari sono spesso incognite e difficili da calcolare.
)Il principio dei lavori virtuali, ovvero $\sum (\vecF_i-m_i \veca_i)*\vec(dP)_i$, risulta particolarmente vantaggioso in caso di moto del sistema in presenza di vincoli lisci. In tal caso infatti poiché le reazioni vincolari non producono lavoro (essendo sempre ortogonali allo spostamento), l'espressione risulta valida anche considerando le sole forze attive. Un vantaggio non da poco, se si considera il fatto che le reazioni vincolari sono spesso incognite e difficili da calcolare.
Grazie ad entrambi per le risposte,
Giusto! mi mancava il "per ogni" n-upla di spostamenti vettoriali $(dP_1,dP_2,....,dP_n)$ considerando che n siano i punti del sistema.
Mi confondeva il fatto che gli spostamenti dei punti in generale possono non essere ortogonali...
ciao!
"mircoFN":
Assumiamolo come valido. Siccome tale uguaglianza deve essere soddisfatta per ogni spostamento virtuale $dP_i$, l'unica possibilità è che i coefficienti della combinazione lineare siano tutti identicamente e costantemente nulli, per cui $F_i-m_i a_i=0$. Pertanto, il PLV implica Newton.
Giusto! mi mancava il "per ogni" n-upla di spostamenti vettoriali $(dP_1,dP_2,....,dP_n)$ considerando che n siano i punti del sistema.
Mi confondeva il fatto che gli spostamenti dei punti in generale possono non essere ortogonali...
ciao!
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