Studio del potenziale efficace
Ciao a tutti,
ho un problema nello svolgere l'ultimo punto di un problema di meccanica analitica.
Non riporto tutto il problema con annessa soluzione dei punti precedenti per praticità, ma scrivo direttamente il risultato da cui parto per svolgere l'ultimo quesito.
Essenzialmente, svolgendo tutti i quesiti arrivo a questa domanda:
''Studiare qualitativamente il moto radiale del sistema a seconda dei valori della quantità conservata.''
La quantità conservata in questione è il momento angolare
$ P_\phi=m\rho^2\dot \phi $
Per studiare qualitativamente il moto, ho scritto l'energia totale del sistema, che risulta essere
$ E=1/2 m \dot \rho^2+1/2m4\Gamma^2/\rho^2 \dot \rho^2+1/2 m \rho^2 \dot \phi^2 +k/2\rho^2+mg\Gamma ln((\rho^2)/(\Gamma)^2) $
Quindi, mi dedico allo studio del potenziale efficace, che risulta comprende anche la quantità conservata, ovvero
$ V_(eff)(\rho)=P_\phi ^2/(2m\rho^2)-k/2\rho^2+mg\Gamma ln(\rho^2 /\Gamma^2) $
Ora innanzitutto ho problemi a disegnarlo..
Successivamente, lo 'studio ' del moto al variare del parametro che si conserva consiste in cosa esattamente?
Non mi sono chiari questi due punti
Se qualcuno ha voglia di aiutarmi a capire meglio, ne sarei più che grato,
Grazie
ho un problema nello svolgere l'ultimo punto di un problema di meccanica analitica.
Non riporto tutto il problema con annessa soluzione dei punti precedenti per praticità, ma scrivo direttamente il risultato da cui parto per svolgere l'ultimo quesito.
Essenzialmente, svolgendo tutti i quesiti arrivo a questa domanda:
''Studiare qualitativamente il moto radiale del sistema a seconda dei valori della quantità conservata.''
La quantità conservata in questione è il momento angolare
$ P_\phi=m\rho^2\dot \phi $
Per studiare qualitativamente il moto, ho scritto l'energia totale del sistema, che risulta essere
$ E=1/2 m \dot \rho^2+1/2m4\Gamma^2/\rho^2 \dot \rho^2+1/2 m \rho^2 \dot \phi^2 +k/2\rho^2+mg\Gamma ln((\rho^2)/(\Gamma)^2) $
Quindi, mi dedico allo studio del potenziale efficace, che risulta comprende anche la quantità conservata, ovvero
$ V_(eff)(\rho)=P_\phi ^2/(2m\rho^2)-k/2\rho^2+mg\Gamma ln(\rho^2 /\Gamma^2) $
Ora innanzitutto ho problemi a disegnarlo..
Successivamente, lo 'studio ' del moto al variare del parametro che si conserva consiste in cosa esattamente?
Non mi sono chiari questi due punti
Se qualcuno ha voglia di aiutarmi a capire meglio, ne sarei più che grato,
Grazie
Risposte
Okay a farne un disegno qualitativo son riuscito
Mi rimane il problema dello 'studio' del moto al variare della quantità conservata
Mi rimane il problema dello 'studio' del moto al variare della quantità conservata
Ciao vitunurpo,
non si capisce molto senza sapere qual è il sistema, cosa è un parametro ($\Gamma \quad$?) e cosa è una coordinata, quindi va bene la praticità, però specificando un po' di cose sarebbe più semplice aiutarti.
In ogni caso, se il sistema è sottoposto al potenziale efficace scritto da te, $V_(eff)=V_(eff)(\rho)$, e se $\rho$ è la coordinata radiale, la risposta al punto:
dovrebbe consistere in nient'altro che studiare il potenziale efficace, cosa che mi pare di capire tu stia facendo. In particolare prova a studiare la derivata $(dV_(eff))/(d\rho)$. Trova i punti di equilibrio ponendola uguale a zero e ottieni le condizioni su $P_\phi$. A quel punto ti chiedi (e ti rispondi!) "per quali valori di $P_\phi$ esistono punti di equilibrio del sistema? E se esistono, per quali valori di $P_\phi$ sono stabili e/o instabili?"
non si capisce molto senza sapere qual è il sistema, cosa è un parametro ($\Gamma \quad$?) e cosa è una coordinata, quindi va bene la praticità, però specificando un po' di cose sarebbe più semplice aiutarti.
In ogni caso, se il sistema è sottoposto al potenziale efficace scritto da te, $V_(eff)=V_(eff)(\rho)$, e se $\rho$ è la coordinata radiale, la risposta al punto:
"vitunurpo":
''Studiare qualitativamente il moto radiale del sistema a seconda dei valori della quantità conservata.''
dovrebbe consistere in nient'altro che studiare il potenziale efficace, cosa che mi pare di capire tu stia facendo. In particolare prova a studiare la derivata $(dV_(eff))/(d\rho)$. Trova i punti di equilibrio ponendola uguale a zero e ottieni le condizioni su $P_\phi$. A quel punto ti chiedi (e ti rispondi!) "per quali valori di $P_\phi$ esistono punti di equilibrio del sistema? E se esistono, per quali valori di $P_\phi$ sono stabili e/o instabili?"
allora mando direttamente la foto del testo per una maggiore chiarezza 
Beh, non ho rifatto l'esercizio per verificare l'espressione dell'energia, ma in ogni caso la mia risposta precedente non cambia: devi studiare i punti critici del potenziale efficace, ottenendo così condizioni su $P_(phi)$. Ricordati poi che, in questo caso, anche l'energia meccanica è una quantità conservata.
capisco proverò a farlo!
Grazie
proverò a farlo!Grazie
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