Studio del moto sistemi di rif. inerziali e non inerziali
Ciao a tutti,
Vi scrivo perché ho un dubbio nel descrivere le forze da sistemi di riferimento inerziali e non inerziali.
Studiamo un moto monodimensionale.
Supponiamo di avere un punto materiale $P$ di massa $m$ vincolato a muoversi su di una guida orizzontale.
Il punto $P$ è attaccato ad una molla di costante elastica $k$ e lunghezza a riposo nulla.
La guida è in moto rettilineo uniforme alla velocità $v_0$.
All'istante $t_0$ la guida inizia a decelerare con accelerazione costante $alpha$.
Fissiamo un sistema di riferimento $S$ su tale guida con origine $O$ nel punto in cui la molla sarebbe a riposo.
Fissiamo un altro sistema di riferimento fisso a terra $Sigma$ con origine nel punto $A$ (fisso a terra), coincidente col punto in cui la guida, all'istante $t_0$, incomincia a decelerare.
Voglio adesso scrivere le equazioni di moto del punto $P$ nei due sistemi di riferimento.
Dal sistemi di riferimento non inerziale $S$ osservo la forza fittizia $ma_f$ dovuta all'accelerazione $alpha$, con verso opposto, e la forza elastica della molla.
$m(d^2x)/(dt^2)= -kx + ma_(f)$
Dal sistema di riferimento inerziale $Sigma$ so che l'accelerazione è $a_Sigma (P)= a_S (P) + a_O$ (l'ultimo addendo è uguale all'accelerazione dell'origine del sistema di riferimento $S$, ovviamente non ci sono gli altri termini dovuti a rotazioni)
per cui penserei che
$m(d^2x)/(dt^2)= -kx + ma_(f) - ma_0$
E' ovvio anche a me, purtroppo, che tale equazione è sbagliata.
Qualcuno sarebbe in grado di correggermi??
Vi scrivo perché ho un dubbio nel descrivere le forze da sistemi di riferimento inerziali e non inerziali.
Studiamo un moto monodimensionale.
Supponiamo di avere un punto materiale $P$ di massa $m$ vincolato a muoversi su di una guida orizzontale.
Il punto $P$ è attaccato ad una molla di costante elastica $k$ e lunghezza a riposo nulla.
La guida è in moto rettilineo uniforme alla velocità $v_0$.
All'istante $t_0$ la guida inizia a decelerare con accelerazione costante $alpha$.
Fissiamo un sistema di riferimento $S$ su tale guida con origine $O$ nel punto in cui la molla sarebbe a riposo.
Fissiamo un altro sistema di riferimento fisso a terra $Sigma$ con origine nel punto $A$ (fisso a terra), coincidente col punto in cui la guida, all'istante $t_0$, incomincia a decelerare.
Voglio adesso scrivere le equazioni di moto del punto $P$ nei due sistemi di riferimento.
Dal sistemi di riferimento non inerziale $S$ osservo la forza fittizia $ma_f$ dovuta all'accelerazione $alpha$, con verso opposto, e la forza elastica della molla.
$m(d^2x)/(dt^2)= -kx + ma_(f)$
Dal sistema di riferimento inerziale $Sigma$ so che l'accelerazione è $a_Sigma (P)= a_S (P) + a_O$ (l'ultimo addendo è uguale all'accelerazione dell'origine del sistema di riferimento $S$, ovviamente non ci sono gli altri termini dovuti a rotazioni)
per cui penserei che
$m(d^2x)/(dt^2)= -kx + ma_(f) - ma_0$
E' ovvio anche a me, purtroppo, che tale equazione è sbagliata.
Qualcuno sarebbe in grado di correggermi??
Risposte
Perche le 2 x della derivata seconda a primo membro delle 2 equazioni non sono la stessa x.
Chiama x l'asse del riferimento fisso e $xsi$ quello del riferimento mobile e riprova, vedrai che ti esce
Chiama x l'asse del riferimento fisso e $xsi$ quello del riferimento mobile e riprova, vedrai che ti esce
"professorkappa":
Perche le 2 x della derivata seconda a primo membro delle 2 equazioni non sono la stessa x.
Chiama x l'asse del riferimento fisso e $xsi$ quello del riferimento mobile e riprova, vedrai che ti esce
Ok quindi se chiamo $x_s$ l'asse del SDR mobile, le seguenti due equazioni sono corrette?
$m(d^2x_s)/(dt^2)= -kx_s + ma_(f)$
$m(d^2x)/(dt^2)= -kx_s + ma_(f) - ma_0$
Molto confuso, usi un sacco di termini, ne definisci alcuni e poi non li usi. Sara che scrivo da cell senza occhiali...
Se $x_r$ è la coordinata del punto P relativa al carrello, e $x_t$ è la coordinata del carrello nel sdr fisso, ovviamente la coordinata del punto P nel sdr fisso e la somma di questi 2. Quindi anche l accelerazione assoluta ($(d^2x)/((dt)^2)$ la somma di accelerazione relativa $a_r$, che è $(d^2x_r)/((dt)^2)$ e di accelerazione di trascinamento $a_t$ che è data.
Nel sistema di riferimento mobile, l unica forza esterna la dà la molla a cui va aggiunta algebricamente la forza di inerzia. Questo termine è pari alla massa per l acc. Relativa.
Quindi
$-kx_r+ma_t= m(d^2x_r)/(dt)^2$
Nel sistema fisso, l unica forza e quella della molla, quindi
$-kx_r=m(d^2x)/(dt^2)=m(d^2x_r)/(dt^2)-ma_t$ del tutto identica alla prima
Se $x_r$ è la coordinata del punto P relativa al carrello, e $x_t$ è la coordinata del carrello nel sdr fisso, ovviamente la coordinata del punto P nel sdr fisso e la somma di questi 2. Quindi anche l accelerazione assoluta ($(d^2x)/((dt)^2)$ la somma di accelerazione relativa $a_r$, che è $(d^2x_r)/((dt)^2)$ e di accelerazione di trascinamento $a_t$ che è data.
Nel sistema di riferimento mobile, l unica forza esterna la dà la molla a cui va aggiunta algebricamente la forza di inerzia. Questo termine è pari alla massa per l acc. Relativa.
Quindi
$-kx_r+ma_t= m(d^2x_r)/(dt)^2$
Nel sistema fisso, l unica forza e quella della molla, quindi
$-kx_r=m(d^2x)/(dt^2)=m(d^2x_r)/(dt^2)-ma_t$ del tutto identica alla prima
"professorkappa":
...Relativa.
Quindi
$-kx_r+ma_t= m(d^2x_r)/(dt)^2$
Nel sistema fisso, l unica forza e quella della molla, quindi
$-kx_r=m(d^2x)/(dt^2)=m(d^2x_r)/(dt^2)-ma_t$ del tutto identica alla prima
Innanzitutto ti ringrazio per la tua chiarezza! Mi dispiace invece per la confusione che io ho creato.
Ad ogni modo, se volessi ora trovare la legge oraria di P rispetto al sistema di riferimento fisso a terra, quello inerziale, so che
$-kx_r=m(d^2x)/(dt^2)$
dunque dovrei
1) ricavarmi la legge oraria di P rispetto al sistema di riferimento mobile, dalla equazione di moto:
$-kx_r + ma_t = m(d^2x_r)/(dt^2)$
e ricavare dunque $x_r$,
2) dopodichè sostituirei $x_r$ in
$-kx_r=m(d^2x)/(dt^2)$
e risolvere l'equazione differenziale per trovare la legge oraria di P rispetto al sistema di riferimento fisso a terra.
Sapresti dirmi se quanto ho scritto è corretto e/o se c'è un modo più furbo per trovare tale legge oraria?
E' corretto, ma non occorre risolvere 2 eq. differenziali.
Se scegli un sistema di riferimento furbo, basta sommare alla $x_r(t)$ il termine dovuto alla decelarazione del carrello che comincia a decelerare dalla con accelerazione $a_c$ a partire da velocita' $v_0$.
Quindi, semplicemente, trovata la $x_r(t)$ tramite risoluzione dell'equazione differenziale si trova che
$x(t)=x_r(t)-1/2a_ct^2+v_0t$
Se scegli un sistema di riferimento furbo, basta sommare alla $x_r(t)$ il termine dovuto alla decelarazione del carrello che comincia a decelerare dalla con accelerazione $a_c$ a partire da velocita' $v_0$.
Quindi, semplicemente, trovata la $x_r(t)$ tramite risoluzione dell'equazione differenziale si trova che
$x(t)=x_r(t)-1/2a_ct^2+v_0t$
"professorkappa":
E' corretto, ma non occorre risolvere 2 eq. differenziali.
Se scegli un sistema di riferimento furbo, basta sommare alla $x_r(t)$ il termine dovuto alla decelarazione del carrello che comincia a decelerare dalla con accelerazione $a_c$ a partire da velocita' $v_0$.
Quindi, semplicemente, trovata la $x_r(t)$ tramite risoluzione dell'equazione differenziale si trova che
$x(t)=x_r(t)-1/2a_ct^2+v_0t$
Ottimo.
Come ragionamento fisico non fa una piega, tuttavia studiando la Fisica da poco ed avendo studiato per lo più Analisi, cerco sempre un metodo "matematico" per giungere alla soluzione.
Ho sempre paura di fidarmi delle mie intuizioni in quanto non so se alla fine si riveleranno corrette.
Se avessi pensato di sommare alla legge oraria del punto rispetto al sistema mobile, la legge oraria del carrello, mi sarebbe parsa un'ottima idea, tuttavia, per paura di sbagliare, non l'avrei fatto.
Al di là di questi miei pensieri, ti ringrazio.
In quel caso, prova a fare i conti risolvendo 2 eq. diff. e imponendo le condizioni iniziali e dovrebbe tornarti quella legge oraria
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