Strutture acceleratrici

[Tomt1]

Salve avrei bisogno di un aiuto su 3 domande che non capisco:

1)Calcolare la velocità di un elettrone (o protone) posto in una struttura acceleratrice con campo elettrico longitudinale costante; stessa cosa per campo elettrico longitudinale oscillante.

2) Calcolare il tempo affinché la particella, partendo da ferma, raggiunga una energia pari al doppio della sua massa a riposo.

Grazie a chiunque abbia voglia di aiutarmi. Magari anche non svolgendo tutti i calcoli ma solo impostando i passaggi, ve ne sarei davvero grato.

[Faussone]

Mi sembra, se non sbaglio, un semplice esercizio di dinamica del punto materiale, a parte la conversione massa energia.
Comunque devi scrivere un tuo tentativo almeno di soluzione.

[Tomt1]

E' che non so come impostare le equazioni...se non volete scrivermele anche solo un'idea sarebbe meglio di niente.

[dRic]

Io troverei il legame tra il campo elettrico e la forza che ne risulta essere applicata alla particella. Poi dal secondo principio della dinamica trovi la velocità.

[Tomt1]

Sì ma il punto è : devo usare l'equazione del moto relativistica o quella classica?

[dRic]

Usa quelle normali... almeno secondo me. Poi se ti vengono velocità esorbitanti e vuoi essere puntiglioso, rifai i calcoli tenendo conto della correzione relativistica.

[Shackle]

"Tomt":Sì ma il punto è : devo usare l'equazione del moto relativistica o quella classica?

Non c'è una equazione del moto relativistica e una classica . Piuttosto, bisogna parlare di energia cinetica relativistica oppure classica. Il problema non dà dei dati, ma dice che il campo elettrico longitudinale è costante. Quindi il moto è accelerato, e in RR è difficile parlare di moti accelerati. Tuttavia, si può dire qualcosa sfruttando la variazione di energia cinetica, poiché esse differiscono nei due casi.

Supponiamo di avere un tubo a raggi catodici, come quelli delle televisioni di una volta. La differenza di potenziale tra catodo e anodo si aggira intorno ai $50kV$ , la distanza è circa 0.5m ( ho trovato questi dati in un vecchio analogo esercizio, perciò li adotto) . L'elettrone ha una massa $m$ ( evito di scrivere con il fastidioso pedice $m_e$ , per non complicare la scrittura ogni volta) , pari a :

$m = 0.511 (MeV)/c^2 $

questo è il modo più comune di scrivere le masse delle particelle elementari . Si Può esprimere, volendo, la massa in $kg$ , visto che :

$1eV = 1.6*10^(-19)J $

ma il modo più comune è quello prima detto. In questo modo , si ha subito che l'energia di quiete vale :

$mc^2 = 0.511 MeV = 511 keV$

Se l'elettrone si muove in un campo dove la differenza di potenziale è $V = 50kV$, sotto l'azione di una forza elettrica costante , evidentemente la sua energia cinetica aumenta di :

$K = 50keV $

Allora , nel caso classico , che si ha quando $v"<<"c$, si può porre : $K \approx 1/2mv^2$ , e facendo i conti risulta :

$v= 0.442c$

SE invece vogliamo adottare la formula relativistica per l'energia cinetica , dobbiamo scrivere che :

$K = (gamma-1)mc^2$

dove , al solito : $gamma = (1-(v/c)^2)^(-1/2) $

Teniamo presente che qui si suppone $v = "cost"$ , quindi anche $gamma = "cost"$ .

Si ha, con un po' di algebra , che : $gamma = (K+mc^2)/(mc^2) \rightarrow $

$v/c = sqrt(1-(1+K/(mc^2))^-2) $

Sostituendo i valori dati per $K$ e per $m$ , si ottiene ( se non ho sbagliato i conti ) : $v= 0.412c$

Cioè , adottando la formula relativistica per l'energia cinetica , la velocità , supposta costante, è leggermente inferiore.

Notiamo che l'espressione classica $K= 1/2mv^2$ si ottiene , per bassi valori di $v$ , dallo sviluppo in serie di $gamma $ fermandosi ai primi termini :

$gamma = (1-(v/c)^2) ^(-1/2) \approx 1 + 1/2(v/c)^2 +...$

e sostituendo nella formula relativistica dell'energia : $K = (1 + 1/2(v/c)^2 -1) mc^2 = 1/2mv^2$